《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第9章 多变量函数的微分学（3/8）

微分梯度偏导数切平面方向导数高阶偏导数向量值函数$9.3多变量函数的微分偏导数和微分9.3.1对于单变量函数来说，导数就是函数关于变量的变化率.由于多元函数有多个变量，我们可以看看函数关于某个变量的变化率定义 1 设 z=f(α,y)在 Mo(co,o)的邻域中有定义,如果f(co + h, yo) - f(co, yo)limhh-→0存在，则称它为 z=f(αc,y)在 Mo关于α 的偏微商（或偏导数）：记为%(Mo)或者f(Mo)或者 fi(Mo).类似地,如果极限f(co, yo + k) - f(co, yo)limkk-→0存在，则称极限值为f(α,y)在 Mo关于y的偏微商，记为 f(Mo）或者f'(Mo)或者 f,(Mo).这里为了方便,我们用 h = Aa,k = Ay表示自变量的增量返回全屏关闭退出1/19

ê ‡© ƒ²¡ •ê FÝ p ê •þŠ¼ê §9.3 õCþ¼ê‡© 9.3.1  êڇ© éuüCþ¼ê5`, êÒ´¼ê'uCþCzÇ. duõ¼ê kõ‡Cþ, ·‚Œ±ww¼ê'u,‡CþCzÇ. ½Â 1  z = f(x, y) 3 M0(x0, y0) ¥k½Â, XJ lim h→0 f(x0 + h, y0) − f(x0, y0) h 3, K¡§ z = f(x, y) 3 M0 'u x  ‡û£½ ê¤. P ∂f ∂x(M0) ½ö f 0 x (M0) ½ö f 0 1 (M0). aq/, XJ4 lim k→0 f(x0, y0 + k) − f(x0, y0) k 3, K¡4Š f(x, y) 3 M0 'u y  ‡û, P ∂f ∂y(M0) ½ö f 0 y (M0) ½ö f 0 2 (M0). ùp B, ·‚^ h = ∆x, k = ∆y L«gCþ Oþ. 1/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

微分梯度偏导数切平面方向导数高阶偏导数向量值函数1(α + 0),求器,%例1设z=/2+7解1a8z2.2ada2V(c? + y°)3y0ayV(c2 + y2)32ry(c, y) ≠ (0, 0)22+y29在 M。= (0,0) 的偏例 2考察函数f(α,y)0,(α, y) = (0, 0)导数.解设h≠0,k≠0,则f(h, 0) - f(0, 0)f(0, k) - f(0, 0)limlim0.0.hkh-→0k-→0所以 z(0, 0) = z,(0, 0) = 0.II-返回全屏关闭退出2/19

ê ‡© ƒ²¡ •ê FÝ p ê •þŠ¼ê ~ 1  z = √ 1 x2+y2 (x 2 + y 2 6= 0), ¦ ∂z ∂x, ∂z ∂y. ) ∂z ∂x = − 1 2 (x 2 + y 2 ) −3 2 · 2x = − x p (x2 + y2) 3 , ∂z ∂y = − y p (x2 + y2) 3 . ~ 2  ¼ê f(x, y) =    2xy x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) 3 M0 = (0, 0)   ê. )  h 6= 0, k 6= 0, K lim h→0 f(h, 0) − f(0, 0) h = 0, lim k→0 f(0, k) − f(0, 0) k = 0, ¤± z 0 x (0, 0) = z 0 y (0, 0) = 0. 2/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

梯度偏导数微分切平面方向导数高阶偏导数向量值函数在单变量的情形，函数在一点可导便可以推出在该点连续，但是从上面第二个例子可知各个偏导数在一点存在不能保证函数在这点连续.我们需要更强的条件仿照单变量函数可微的定义，给出如下二元函数可微的定义定义2设z=f(α,y)是定义在区域D C R2上的二元函数.对于D中一点 Mo(ao,yo),如果存在实数 A 和 B,使得函数值的增量Az = f(αo + h, yo + k) - f(co, yo)能够表示成(9.1)f(co + h, yo + k) - f(co, yo) = Ah + Bk + o(l(h, k)l):其中(h,k)[=Vh2+k2,则称函数f在Mo处可微如果函数f在D中每一点都可微，则称函数在D中可微返回全屏关闭退出13/19

ê ‡© ƒ²¡ •ê FÝ p ê •þŠ¼ê 3üCþœ/, ¼ê3:ŒBŒ±íÑ3T:ëY, ´lþ¡ 1‡~fŒˆ‡ ê3:3ØUy¼ê3ù:ëY. ·‚I‡ r^‡. •ìüCþ¼êŒ‡½Â, ‰ÑXe¼êŒ‡½Â: ½Â 2  z = f(x, y) ´½Â3« D ⊂ R2 þ¼ê. éu D ¥: M0(x0, y0), XJ3¢ê A Ú B, ¦¼êŠOþ ∆z = f(x0 + h, y0 + k) − f(x0, y0) U L«¤ f(x0 + h, y0 + k) − f(x0, y0) = Ah + Bk + o(|(h, k)|), (9.1) Ù¥ |(h, k)| = √ h2 + k2 , K¡¼ê f 3 M0 ?Œ‡. XJ¼ê f 3 D ¥z:ь‡, K¡¼ê3 D ¥Œ‡, 3/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

梯度偏导数微分切平面方向导数高阶偏导数向量值函数当 f(α,y)在 (αo, yo) 可微时, 在上面的定义中令 k = 0, f(c, yo) 作为 c的函数在 o 可微,因而在 o 可导,即,f(ac,y)关于 的偏导数存在,且f(co, yo) = A.同理,f(co,y) 作为 y 的函数在 yo 可导, 即,f(a,y) 关于 y 的偏导数存在,且f,(co, yo) = B.类似于单变量函数的微分，称df(co, yo) := (co, yo)da + f(ao, yo)dy(9.2)为 f(α, y) 在(αo, yo) 的微分从（9.1)，立刻可以得到定理1如果函数f(α,y）一点（aco,yo）可微,则它在这一点一定连续返回全屏关闭退出II-l4/19

ê ‡© ƒ²¡ •ê FÝ p ê •þŠ¼ê  f(x, y) 3 (x0, y0) Œ‡ž, 3þ¡½Â¥- k = 0, f(x, y0) Š x ¼ê3 x0 Œ‡, Ï 3 x0 Œ, =, f(x, y) 'u x  ê3, … f 0 x (x0, y0) = A. Ón, f(x0, y) Š y ¼ê3 y0 Œ, =, f(x, y) 'u y  ê 3, … f 0 y (x0, y0) = B. aquüCþ¼ê‡©, ¡ df(x0, y0) := ∂f ∂x(x0, y0)dx + ∂f ∂y(x0, y0)dy (9.2)  f(x, y) 3 (x0, y0) ‡©. l (9.1), Ꮜ± ½n 1 XJ¼ê f(x, y) : (x0, y0) Œ‡, K§3ù:½ëY. 4/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

偏导数微分切平面梯度方向导数高阶偏导数向量值函数设f(α,y）在（aco,yo）可微，则（9.1)成立，也可以写成(9.3)f(c, y) - f(co, yo) = A(c - co) + B(y - yo) +o(p);其中 p= V(α - ao)2 + (y - yo)2Z9.3）表明函数在一点的增量与在这点的微分相差一个比p更高阶的无穷小Af量.称平面Mz - zo = A(α - co) + B(y - yo)Zoo+dy为 f(α,y)在(aco,yo)的切平面,其中Zo = f(co, yo), A = fi(Co, yo), B =-XOXoXo+dxf,(co, yo).返回全屏关闭退出5/19

ê ‡© ƒ²¡ •ê FÝ p ê •þŠ¼ê  f(x, y) 3 (x0, y0) Œ‡, K (9.1) ¤á, Œ±¤ f(x, y) − f(x0, y0) = A(x − x0) + B(y − y0) + o(ρ), (9.3) Ù¥ ρ = p (x − x0) 2 + (y − y0) 2 . (9.3) L²¼ê3:Oþ†3ù: ‡©ƒ‡' ρ pá þ. ¡²¡ z − z0 = A(x − x0) + B(y − y0)  f(x, y) 3 (x0, y0) ƒ²¡, Ù¥ z0 = f(x0, y0), A = f 0 x (x0, y0), B = f 0 y (x0, y0). x x y y z 0 x z y 0 0 0 +dx 0+dy df f O 5/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

偏导数微分切平面梯度方向导数高阶偏导数向量值函数9.3.2方向导数与梯度平面上的单位向量=（，）（u?+=1）称为一个方向若极限f(co+tu,yo+tu)-f(co,yo)limtt→0存在，则称f(a,y）在（aco,yo）沿方向e=（u,u）的方向导数存在，这个极限就称为在这点的方向导数，记为af(o,yo).Deaf显然，是沿方向（1,0）的方向导数，是沿方向（0,1）是的方向导数du前面已证明了，若f在一点可微，则它在这点的偏导数存在，也就是在坐标轴方向的方向导数存在，事实上，有更强的结果返回全屏关闭退出6/19

ê ‡© ƒ²¡ •ê FÝ p ê •þŠ¼ê 9.3.2 •ê†FÝ ²¡þü •þ ~e = (u, v) (u 2 + v 2 = 1) ¡‡•. e4 lim t→0 f(x0 + tu, y0 + tv) − f(x0, y0) t 3, K¡ f(x, y) 3 (x0, y0) ÷• ~e = (u, v) •ê3, ù‡4 Ò¡3ù:•ê, P ∂f ∂~e (x0, y0). w, ∂f ∂x ´÷• (1, 0) •ê, ∂f ∂y ´÷• (0, 1) ´•ê. c¡®y² , e f 3:Œ‡, K§3ù: ê3, Ò´3‹ I¶••ê3. ¯¢þ, kr(J. 6/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

微分梯度偏导数切平面方向导数高阶偏导数向量值函数定理2如果函数f(c,y）在一点（ao,yo）可微，则它在这一点沿任意方向e=(u,)的方向导数存在，且%(a0 0) = u%(a0 ) + %(20, y0),.(9.4)证明因为f(a,）在（ao,yo）可微，所以(9.3）成立，即f(ac, y) - f(co, yo) = A(α - co) + B(y - yo) +o(p),其中p=α-ao)2+(y-yo)2.在此式中令=ao+tu,y=yo+tu可得f(o +tu, yo +to) -f(ao, yo) =t ((ao, yo) + v%(a0, yo) + o(t).两边除以t在令t→0即得所证注意（9.4）可以表示为((ao, yo), f(ao, yo) .e.(ao, yo) = (返回全屏关闭退出7/19

ê ‡© ƒ²¡ •ê FÝ p ê •þŠ¼ê ½n 2 XJ¼ê f(x, y) 3: (x0, y0) Œ‡, K§3ù:÷?¿• ~e = (u, v) •ê3, … ∂f ∂~e (x0, y0) = u ∂f ∂x(x0, y0) + v ∂f ∂y(x0, y0). (9.4) y² Ϗ f(x, y) 3 (x0, y0) Œ‡, ¤± (9.3) ¤á, = f(x, y) − f(x0, y0) = A(x − x0) + B(y − y0) + o(ρ), Ù¥ ρ = p (x − x0) 2 + (y − y0) 2 . 3dª¥- x = x0 + tu, y = y0 + tv Œ f(x0 + tu, y0 + tv) − f(x0, y0) = t  u ∂f ∂x(x0, y0) + v ∂f ∂y(x0, y0)  + o(t). ü>ر t 3- t → 0 =¤y. 5¿ (9.4) Œ±L« ∂f ∂~e (x0, y0) =  ∂f ∂x(x0, y0), ∂f ∂y(x0, y0)  · ~e. 7/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

偏导数微分切平面方向导数梯度高阶偏导数向量值函数定理3设函数f(αc,y)在区域D中存在两个偏导数1° 如果偏导数 f'(α,y), fi(α,y) 在 D 中有界, 则 f 在 D 内连续2° 如果偏导数 f(α,y),f'(α,y) 在 D 中连续,则 f 在 D 中可微证明 设存在常数 M 使得 If'(c,y)I< M，If'(c,y)I< M，(c,y)ED.任取一点（c,y)E D,因为是内点,只要取增量 h =△a，k = △y 足够小就一定能够使得 (α + h,y+k)(当然还有 (α + h,y))落在 D 中以 (α,y)为中心的圆盘内.于是f(r+h, y+k)-f(a, y) = (f(c+h, y+k)-f(c+h,y)+(f(a+h, y)-f(a, y)右端第一个括号内只是第二个变量不同，而第二个括号内只是第一个变量不同.因此分别对第二个变量和第一个变量使用通常的微分中值定理f(a +h,y + k) - f(c +h,y) = kf'(c + h,y+0zk)f(c +h,y) - f(c, y) = hf(α + aih, y)返回全屏关闭退出8/19

ê ‡© ƒ²¡ •ê FÝ p ê •þŠ¼ê ½n 3 ¼ê f(x, y) 3« D ¥3ü‡ ê. 1 ◦ XJ ê f 0 x (x, y), f0 y (x, y) 3 D ¥k., K f 3 D SëY. 2 ◦ XJ ê f 0 x (x, y), f0 y (x, y) 3 D ¥ëY, K f 3 D ¥Œ‡. y² 3~ê M ¦ |f 0 x (x, y)| < M, |f 0 y (x, y)| < M, (x, y) ∈ D. ?: (x, y) ∈ D, Ϗ´S:, ‡Oþ h = ∆x, k = ∆y v , Ò½U ¦ (x + h, y + k) (,„k (x + h, y)) á3 D ¥± (x, y)  ¥%S. u´ f(x+h, y+k)−f(x, y) =  f(x+h, y+k)−f(x+h, y)  +  f(x+h, y)−f(x, y)  mà1‡)ÒS´1‡CþØÓ, 1‡)ÒS´1‡CþØ Ó. Ïd©Oé1‡CþÚ1‡Cþ¦^Ï~‡©¥Š½n. f(x + h, y + k) − f(x + h, y) = kf0 y (x + h, y + θ2k) f(x + h, y) − f(x, y) = hf0 x (x + θ1h, y) 8/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

偏导数微分切平面方向导数梯度高阶偏导数向量值函数其中 0< 1, 02< 1. 由此得If(α +h, y+ k) - f(c, y)l = [kf'(c +h, y +0zk) +hf'(α +oih, y)l≤ M(|h/ + [kl)显然, 当 (h,k)→(o,0) 时 f(α +h,y+k)-f(ac,y)→ 0, 即函数f在 (c,y)处连续当 f(ac,y),f(ac,y)在 D 中连续时, 有f(α + h, y + k) - f(c,y) - hf'(c,y) - kf'(c,y)= k[f'(α + h, y + 02k) - f'(c, y)) + h[f'(α + Qih, y) - f'(a,y)]而当 (h,k)→ (0,0) 时,有[k[f,(α + h, y + 22k) - f,(c, y)] +h[f'(α + Qih, y) - f'(c, y)]lVh2 + k2≤ If,(α + h, y + 02k) - f,(ac,y)l + If(ac + 0ih,y) - f'(a, y)/ → 0.因此，函数f可微.证毕I返回全屏关闭退出-I9/19

ê ‡© ƒ²¡ •ê FÝ p ê •þŠ¼ê Ù¥ 0 < θ1, θ2 < 1. dd |f(x + h, y + k) − f(x, y)| = |kf0 y (x + h, y + θ2k) + hf0 x (x + θ1h, y)| 6 M(|h| + |k|) w,  (h, k) → (0, 0) ž f(x + h, y + k) − f(x, y) → 0, =¼ê f 3 (x, y) ?ëY.  f 0 x (x, y), f0 y (x, y) 3 D ¥ëYž, k f(x + h, y + k) − f(x, y) − hf0 x (x, y) − kf0 y (x, y) = k[f 0 y (x + h, y + θ2k) − f 0 y (x, y)] + h[f 0 x (x + θ1h, y) − f 0 x (x, y)]  (h, k) → (0, 0) ž, k |k[f 0 y (x + h, y + θ2k) − f 0 y (x, y)] + h[f 0 x (x + θ1h, y) − f 0 x (x, y)]| √ h2 + k2 6 |f 0 y (x + h, y + θ2k) − f 0 y (x, y)| + |f 0 x (x + θ1h, y) − f 0 x (x, y)| → 0. Ïd, ¼ê f Œ‡. y. 9/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

梯度偏导数微分切平面方向导数高阶偏导数向量值函数梯度对于二元函数z=f(ac,y),记gradf = fi + of3.arOu这是一个由函数的偏导数所决定的向量，称为函数z=fα,y）在点（α，y)处的梯度，因此由定理2可知函数沿任何方向的方向导数为该方向与函数的梯度的内积afgradf.é=Igradflcos0一e其中是gradf和e的夹角.也就是说，f(c,y)在点（α，y）处沿方向e的方向导数等于梯度在方向色上的投影.由此可见，方向导数的大小取决于方向与梯度的夹角，我们在日常生活中所见到的地图上的“等高线”或“等温线”显示，线条越密集的地方，高度（温度）的变化率越大，山体（气温）也就越陡返回退出全屏关闭10/19

ê ‡© ƒ²¡ •ê FÝ p ê •þŠ¼ê FÝ éu¼ê z = f(x, y), P gradf = ∂f ∂x ~i + ∂f ∂y ~j. ù´‡d¼ê ê¤û½•þ, ¡¼ê z = f(x, y) 3: (x, y) ?FÝ. Ïdd½n2 Œ¼ê÷?ې••êT•†¼ê FÝSÈ ∂f ∂~e = gradf · ~e = |gradf| cos θ Ù¥ θ ´ gradf Ú ~e Y. Ò´`, f(x, y) 3: (x, y) ?÷• ~e •êuFÝ 3• ~e þÝK. ddŒ„, •êŒ ûu•†FÝY. ·‚3F~)¹ ¥¤„/ãþ/p‚0½/§‚0 w«, ‚^8/, pÝ£§Ý¤Cz ÇŒ, ìN£í§¤ÒÍ. x y 10/19 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ