5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux和 上积分 充要条件 中值定理 Newton-Leibniz公式 5.1.3可积函数类 我们假定在区间[a,b]上的函数f(x)是有界的，并设它的上确界和下确 界分别是M和m,因此 m≤f(x)≤M,x∈[a,b]. 对于区间[a,b]的任意一个分割 T:a=xo<x1<..<xn=b, 设函数f(x)在区间[x1-1,x;]上的上、下确界分别为 M1=sup{f(x):x∈[xi-1,xi]}m=inf{f(x):x∈[x-1,xi]} 并记 w=M-m;wi=Mi-mi,i=1,…,n 分别称为函数f(x)在区间[a,b]和[xi_1,x;]上的振幅. 11 返回全屏关闭退出 1/38
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª 5.1.3 ȼêa ·b½3«m [a, b] þ¼ê f(x) ´k., ¿§þ(.Úe( .©O´ M Ú m, Ïd m 6 f(x) 6 M, x ∈ [a, b]. éu«m [a, b] ?¿© T : a = x0 < x1 < · · · < xn = b, ¼ê f(x) 3«m [xi−1, xi ] þþ!e(.©O Mi = sup f(x) : x ∈ [xi−1, xi ] mi = inf f(x) : x ∈ [xi−1, xi ] ¿P ω = M − m; ωi = Mi − mi, i = 1, · · · , n ©O¡¼ê f(x) 3«m [a, b] Ú [xi−1, xi ] þÌ. 1/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª ½Â 1 éuþ¡½k.¼ê f(x) Ú«m [a, b] ©, Úª S(T ) = X n i=1 Mi∆xi, S(T ) = X n i=1 mi∆xi ©O¡¼ê f(x) /Darboux þÚ0/Darboux eÚ0. w, éu?¿: ξi ∈ [xi−1, xi ], k m 6 mi 6 f(ξi) 6 Mi 6 M, i = 1, · · · , n Ïd¼ê f(x) ?¿ Riemann Ú S(T ) = X n i=1 f(ξi)∆xi ½0u§ Darboux þÚ Darboux eÚm, n«ÚÑ´k. m(b − a) 6 S(T ) 6 S(T ) 6 S(T ) 6 M(b − a) 2/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª Darboux þÚeÚã«: O a b x y 3/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª y3Ä©Czé Darboux ÚK. 5¿, XJ T 0 ´© T ¥ O\©: x 0 k /¤©, = T : a = x0 M0 k = sup f(x) : x ∈ [xk−1, x0 k ] , Mk > M00 k = sup f(x) : x ∈ [x 0 k , xk] Ïd, ·k S(T ) − S(T 0 ) = Mk(xk − xk−1) − M0 k (x 0 k − xk−1) − M00 k (xk − x 0 k ) > Mk(xk − xk−1) − Mk(x 0 k − xk−1) − Mk(xk − x 0 k ) = 0. 4/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª ,¡, k S¯(T ) − S¯(T 0 ) 6 M(xk − xk−1) − m(x 0 k − xk−1) − m(xk − x 0 k ) = ω(xk − xk−1) 6 ωkT k. = S¯(T ) > S¯(T 0 ) > S¯(T ) − ωkT k. © T 0 ´ÏLò T O\õ©:¤©, kaq(J; ±Ä Darboux eÚ¹. ½n 1 T 0 ´ÏLé© T V\ l ©:¤#©, K S (T ) 6 S (T 0 ) 6 S (T ) + lωkT k, S¯(T ) > S¯(T 0 ) > S¯(T ) − lωkT k. ½n 1 `², 3é©\£=©:ÝO\¤L§¥, þÚØO, eÚØ~, äk«/üN50. 5/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª ½n 2 éu«m [a, b] ?¿ü© T1 Ú T2, òü©©:Ü å5/¤#© T , K T Q´é T1 \, ´é T2 \, Ïd k S(T1) 6 S(T ) 6 S(T ) 6 S(T2). ù`²©éAeÚ, o´ØL,©éAþÚ. ·y3* Darboux þÚeÚ kT k → 0 4. ÏþÚ eÚÑ´k., äk,«üN5£½n 1¤, a'u/üNk.êk 4, 4Ò´êþ(.½e(.0¯¢, ¤±éu¼ê f(x), · ĤkþÚ£eÚ¤|¤8Üe(.£þ(.¤, P I = sup T S(T ), I = inf T S(T ) ©O¡¼ê f(x) eÈ©ÚþÈ©. ½n 2 íØ, éu?¿ü ©, kØ ª S(T1) 6 I 6 I 6 S(T2) 6/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª ½n 3 éu?¿k.¼ê f(x), k lim kT k→0 S(T ) = I, lim kT k→0 S(T ) = I. y² ·y²1úª, 1úªy²´aq. âþ( .½Â, éu?¿½ê ε, 3«m [a, b] © T0 : a = x0 0, éu?¿© T , kT k < δ , ò T Ú T0 ©:Üå5|¤ #© T 0 , ù T 0 ´3 T ©:Ä:þ, õO\ T0 l © 7/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª :£/õ0¹Â´kU©:kE¤. Ïd, d½n 1 , S(T ) > S(T 0 ) − lωkT k > S(T0) − lωkT k > I − ε 2 − lω ε 2lω + 1 > I − ε 5¿w,k S(T ) 6 I, ¤± |S(T ) − I| 6 ε. ùÒy² lim kT k→0 S(T ) = I. 8/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª ½n 4 k.¼ê f(x) Darboux þÚeÚ4 , du lim kT k→0 X n i=1 ωi∆xi = 0 ù(Jy²´{ü, 5¿u?¿© T , X n i=1 ωi∆xi = S(T ) − S(T ) =. 9/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.3 5.1.4 5.1.5 Darboux Ú þÈ© ¿^ ¥½n Newton-Leibniz úª ½n 5 ¼ê f(x) 3«m [a, b] þk., K¼ê f(x) 3«m [a, b] þ È¿©7^´§ Darboux þÚeÚ4 , ½ö` lim kT k→0 X n i=1 ωi∆xi = 0 Ù¥, ωi = Mi − mi ´¼ê f(x) 3«m [xi−1, xi ], (i = 1, · · · n) þÌ. y² éuk.¼ê f(x), kT k → 0 , ,¿Ø§?¿ Riemann Ú S(T ) ´Äk4, § Darboux þÚ S(T ) eÚ S(T ) 4´3. d'un«ÚØ ª S(T ) 6 S(T ) 6 S(T ) á, XJ Darboux þÚeÚ4 , K?¿ Riemann Úk Ó4, =, f(x) È. , XJ¼ê f(x) È, =§ Riemann Úk4, =3ê I, 10/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ