3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor 多项式 Taylor 公式 §3.6Taylor 公式 3.6.1Taylor 公式 设函数f(x)在xo可微，则 f(x)=f(xo)+f'(xo)(x-xo)+R1(xo;x), 其中 lim Rlataian im(a ile)-o 因此，在x0的附近，可以用一个关于x-x0的一次多项式 P1(x)=f(xo)+f'(xo)(x-xo), 代替f(x),由此产生的误差（或称为余项）R1(xo;x)当x →xo时，是比 x-x0更高阶的无穷小量. ‖‖返回全屏关闭退出 1/27
3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õª Taylor úª §3.6 Taylor úª 3.6.1 Taylor úª ¼ê f(x) 3 x0 , K f(x) = f(x0) + f 0 (x0)(x − x0) + R1(x0; x), Ù¥ lim x→x0 R1(x0; x) x − x0 = lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 − f 0 (x0) = 0 Ïd, 3 x0 NC, ±^'u x − x0 gõª P1(x) = f(x0) + f 0 (x0)(x − x0), O f(x), dd)Ø £½¡{¤R1(x0; x) x → x0 , ´' x − x0 p áþ. 1/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õª Taylor úª 3 x0 NC^gõª f(x0) + f 0 (x0)(x − x0) 5O f(x) ¤) Ø Ø¦, g,/±Ä^gõª5O f(x). b3 x0 NC f(x) k ¼ê, 3~ê a0, a1, a2 ¦ f(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0) 2 + o((x − x0) 2 ), (x → x0), K- x → x0 a0 = f(x0), ü>~ f(x0) ر x − x0, 2- x → x0 a1 = f 0 (x0). ,k a2 = lim x→x0 f(x) − f(x0) − f 0 (x0)(x − x0) (x − x0) 2 = lim x→x0 f 0 (x) − f 0 (x0) 2(x − x0) = f 00(x0) 2 . Ò´`3 x0 NC^gõª5O f(x), ¦ÙØ o((x − x0) 2 ) , dgõªU´ f(x0) + +f 0 (x0)(x − x0) + f 00(x0) 2 (x − x0) 2 . 2/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õª Taylor úª ½n 1 ¼ê f(x) 3 x0 (x0 − δ, x0 + δ) Sk n ê. XJ Pn(x) = a0 + a1(x − x0) + · · · + an(x − x0) n 'u x − x0 n gõª, f(x) = Pn(x) + o((x − x0) n ), (x → x0), (3.1) K Pn(x) Xê7L´ ak = f (k) (x0) k! , k = 0, 1, · · · , n, l Pn(x) = Tn(x0; x), ùp Tn(x0; x) = f(x0) + f 0 (x0) 1! (x − x0) + · · · + f (n) (x0) n! (x − x0) n ¡¼ê f(x) 3: x0 ? n g Taylor õª. 3/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õª Taylor úª y² 3 (3.1) ¥- x → x0, = a0 = f(x0). b®y ak = f (k) (x0) k! , k = 0, 1, · · · , m, m < n, â (3.1) k, f(x) − Pm k=0 f (k) (x0) k! (x − x0) k (x − x0)m+1 = am+1 + o(1), (x → x0). Ï , am+1 = lim x→x0 f(x) − Pm k=0 f (k) (x0) k! (x − x0) k (x − x0)m+1 . éþ¡4^ m g L’Hospital {K, am+1 = lim x→x0 f (m) (x) − f (m) (x0) (m + 1)!(x − x0) = f (m+1)(x0) (m + 1)! . u´â8Bn, (Øy. 4/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õª Taylor úª ½n 2 ¼ê f(x) 3: x0 (x0 − δ, x0 + δ) Sk n ê, Tn(x0; x) ´¼ê f 3 x0 ? n g Taylor õª, K x → x0 , { Rn(x0; x) = f(x) − Tn(x0; x) ´ (x − x0) n p áþ, = lim x→x0 Rn(x0; x) (x − x0) n = lim x→x0 f(x) − Tn(x0; x) (x − x0) n = 0. é{`, x → x0 , k f(x) = f(x0) + f 0 (x0) 1! (x − x0) + · · · + f (n) (x0) n! (x − x0) n + o((x − x0) n ) ¡¼ê f(x) 3: x0 ? Peano { Taylor úª. 5/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õª Taylor úª y² 5¿ f(x) − Tn(x0; x) 9Ù n ê x → x0 , Ѵáþù¯¢, ,3O4 lim x→x0 f(x) − Tn(x0; x) (x − x0) n L§¥ëY¦^ L’Hospital {K, =¤y². AO, XJ¼ê f 3 x = 0 NC n ê, ½n 2 ¥ x0 = 0, K Taylor úª f(x) = f(0) + f 0 (0) 1! x + · · · + f (n) (0) n! x n + o(x n ), x → 0 ¿¡¼ê f(x) n äk Peano { Maclaurin úª£½Ðmª¤. 6/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õª Taylor úª ½n 3 ¼ê f(x) 3«m I Sk n + 1 ê, n ê3 I þëY. x Ú x0 ´ I ¥?¿üØÓê, Tn(x0; x) ´ f 3 x0 ? n Taylor õª. K3 x Ú x0 m3ê ξ, ¦ f(x) = Tn(x0; x) + Rn úª¥{ Rn äke/ª Rn = f (n+1)(ξ) (n + 1)! (x − x0) n+1 , Ù¥ Rn ¡ Lagrange {, þ¡ùúª¡ Lagrange { Taylor úª. ½ö` f(x) 3 x :?±L«¤ f(x) = f(x0)+f 0 (x0) 1! (x−x0)+· · ·+ f (n) (x0) n! (x−x0) n+ f (n+1)(ξ) (n + 1)! (x−x0) n+1 . 7/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õª Taylor úª y² ļê G(x) = 1 (n+1)!(x − x0) n+1 Ú R(x) = f(x) − X n k=0 f (k) (x0) k! (x − x0) k , w,k G(x0) = G0 (x0) = · · · = G(n) (x0) = 0, R(x0) = R0 (x0) = · · · = R(n) (x0) = 0, EA^ Cauchy ¥½n, 3 x0 x m3 ξ1, ξ2, · · · , ξn, ξ ¦ R(x) G(x) = R(x) − F(x0) G(x) − G(x0) = R0 (ξ1) G0(ξ1) = · · · = R(n+1)(ξ) G(n+1)(ξ) . u´ R(x) (x−x0) n+1 (n+1)! = f (n+1)(ξ) 1 , =, R(x) = f (n+1)(ξ) (n + 1)! (x − x0) n+1 . 8/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õª Taylor úª ½n 4 ¼ê f(x) 3«m I Sk n + 1 ê, n ê3 I þëY. x Ú x0 ´ I ¥?¿üØÓê, Tn(x0; x) ´ f 3 x0 ? n Taylor õª. Kéu?¿3± x0 Ú x à:4«mþëY, 3ÙSÜ êØ u"¼ê ϕ(x), Ñ3 x Ú x0 mê ξ, ¦ f(x) = Tn(x0; x) + ϕ(x) − ϕ(x0) ϕ0(ξ)n! f (n+1)(ξ)(x − ξ) n . (3.2) y² 3± x0 Ú x à:4«m J þÄ9ϼê F(t) = f(x) − f(t) + f 0 (t) 1! (x − t) + · · · + f (n) (t) n! (x − t) n . 9/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.6.1 3.6.2 3.6.3 Taylor õª Taylor úª w, F(t) 3 J þëY, 3 J SÜ, F 0 (t) = − f 0 (t) − f 0 (t) 1! + f 00(t) 1! (x − t) − f 00(t) 2! · 2(x − t) + f 000(t) 2! (x − t) 2 − · · · + f (n+1)(t) n! (x − t) n = − f (n+1)(t) n! (x − t) n éu J þ¼ê F(t) Ú ϕ(t) ^ Cauchy ¥½n, 3 x Ú x0 m 3ê ξ, ¦ F(x) − F(x0) ϕ(x) − ϕ(x0) = F 0 (ξ) ϕ0(ξ) . ò F 0 (t) Lª\, ¿5¿ F(x) − F(x0) = 0 − F(x0) = − (f(x) − Tn(x0; x)) Ò (3.2). y. 10/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ