《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第2章 函数的连续性 §2.1 连续函数的基本概念

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 第2章函数的连续性 §2.1连续函数的基本概念 2.1.1连续的定义 直观上讲，函数连续，就是指函数的图象是一条“没有断开”的“连续” 的曲线.首先观察以下几个例子.第一个例子是符号函数： y 1, x>0 1 sgn x= 0, x=0 x -1,x<0 中 1 从图形上看，它在x=0处是断开的.而在“间断点”x=0处的显著特点是， 当x→0时，函数没有极限（因为左右极限分别为-1和1，两者不相等）. ‖‖返回全屏关闭退出 1/17

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 1 2 Ù ¼êëY5 §2.1 ëY¼êÄVg 2.1.1 ëY½Â †*þù, ¼êëY, Ò´¼êã´^/vkäm0/ëY0 ­‚. Äk* ±eA‡~f. 1‡~f´ÎÒ¼ê: sgn x =    1, x > 0 0, x = 0 −1, x < 0 x y ◦ ◦ • −1 1 lã/þw, §3 x = 0 ?´äm. 3/mä:0 x = 0 ?wÍA:´,  x → 0 ž, ¼êvk4£Ï†m4©O −1 Ú 1, üö؃¤. 1/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 1‡~f´Xe¼ê: f(x) =    1, x 6= 0 0, x = 0 x y 1 w, §3 x = 0 ?´äm, Ï´¼ê,3 x = 0 ± 1 4, 4Š†¼ê3ù:¼êŠ£f(0) = 0¤ØƒÎ. XJUCù‡¼ê3 x = 0 ½Â, ¦¼ê3 x = 0 Šu¼ ê3 x = 0 4Š, @o§3 x = 0 ?ÒëY . UC￾¼ê´ f(x) = 1, x ∈ (−∞, +∞). 2/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 Šâ* , ¼ê3: x0 ?XJëY, ATäü‡‡ƒ: Ù´¼ê 3ù: x0 ?ATk4, Ù´4ŠATu¼ê3ù:Š. ½Â 1  y = f(x) 3 x0 S£¹ x0 ‡m«m¤k½Â, XJ lim x→x0 f(x) = f(x0) Ò¡ y = f(x) 3 x0 ?ëY, x0 ´ f(x) ëY:, ÄK¡ f(x) 3: x0 ? ØëY, ½ x0 ´ f(x) mä:. XJ f(x) 3«m I ¥?:ëY, K ¡ f(x) 3«m I þëY, ¡ f(x) ´ I þëY¼ê. Šâþã½Â, ¼ê f(x) 3: x0 ?ëY5, ûu f 3ù:NC ŠÚ3ù:Š, ù‡¯¢L²£3:¤ëY5, ´«/ÛÜ5Ÿ0. XJ^/ ε − δ0ŠóQã, Ò´: ¡¼ê3½ÂS: x0 ëY, X Jéu?¿‰½ê ε, o3‡ δ > 0, ¦ |x − x0| < δ ž, k |f(x) − f(x0)| < ε. 3/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 l±c~fŒ, sin x, a x , ln x, xn Ñ´ëY¼ê. ¯K 1 ¼ê f(x) =    sin x x , x 6= 0 1, x = 0 3 x = 0 ´ÄëY? ¯K 2 ¼ê f(x) =    x sin 1 x , x 6= 0 0, x = 0 3 x = 0 ´ÄëY? ¯K 3 ¼ê D(x) =    1, x ´knê 0, x ´Ãnê kvkëY:? ¯K 4 ¼ê f(x) =    x 2 , x ´knê 0, x ´Ãnê kvkëY:? ¯K 5 UØUE‡3 0 Ú 1 ëY¼ê? 4/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.2 †(m)ëY†mä ½Â 2  f(x) 3 x0 ‡Sk½Â. XJ f(x0 + 0) = f(x0) Ò ¡ f(x) 3 x0 mëY; XJ f(x0 − 0) = f(x0), Ò¡ f(x) 3 x0 †ëY. ~Xe¡¼ê3 x = 0 mëY. f(x) =    1, x > 0 0, x < 0 x y 1 f(x) 3 x0 ëY¿©7‡^‡´ f(x) 3 x0 †ëYӞmëY. f(x) 3‡¹à:«mþëY, ´ f(x) 3«mSÜz:Ñë Y, ¿…3à:þkƒAüýëY5. 5/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 ¼ê3: x0 u)mä¬ken«ª: 1 ◦ (Œmä:) ¼ê3: x0 †m4Ñ3…ƒ£¤±3ù: k4¤, Øu f(x0), =, f(x0 + 0) = f(x0 − 0) 6= f(x0). ~X: f(x) =    1, x 6= 0 0, x = 0 x y 1 6/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2 ◦ (a:) ¼ê3: x0 †m4Ñ3, ´Øƒ, = f(x0 + 0) 6= f(x0 − 0). ¡ |f(x0 + 0) − f(x0 − 0)| aÝ. ~X: sgn x =    1, x > 0 0, x = 0 −1, x < 0 x y ◦ ◦ • −1 1 7/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 3 ◦ (1amä:) ¼ê3: x0 †m4k‡Ø3. ~X: f(x) =    sin( 1 x ), x 6= 0 0, x = 0 x y w, f(x) 3½Â«mà:Ґkü«m䜹: Œmä£3Tà : f(x) ƒAüý43†¼êŠØ¤Ú1amä:£3Tà: f(x) ƒAüý4Ø3¤. 8/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.3 ëY¼ê$Ž 5Ÿ 1 (ÛÜk.5) XJ¼ê f(x) 3 x0 ëY, K f(x) 3 x0 NCk. 5Ÿ 2 (Ò5) XJ¼ê f(x) 3 x0 ëY… f(x0) > 0, K f(x) 3 x0 N C. 5Ÿ 3 (ëY¼êoK$Ž)  f(x) Ú g(x) Ñ3 x0 ëY, K¼ê f(x) ± g(x), f(x)g(x), f(x) g(x) 3 x0 ?ëY£, éu￾‡¼ê, 7L b½ g(x0) 6= 0¤. 5Ÿ 4 (ëY¼êEÜ)  u = g(x) 3«m I þk½Â, ¼ê y = f(u) 3«m J þk½Â, … g(I) ⊆ J. e u = g(x) 3 x0 ∈ I ëY, y = f(u) 3 u0 = g(x0) ?ëY£= f(u) 3 u0 ëY, u0 = g(x0)¤, KEܼê f(g(x)) 3 x0 ëY. 9/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 y² éu?¿‰½ê ε, Ϗ f 3 u0 ëY, K3‡ê η > 0, ¦ |u − u0| 0, qϏ g 3 x0 ëY, ¤±3 δ > 0, ¦ |x − x0| < δ ž, k |g(x) − g(x0)| = |u − u0| < η u´,  |x − x0| < δ ž, lþ¡ü‡Øª |f(g(x)) − f(g(x0))| = |f(u) − f(u0)| < ε =¼ê f(g(x)) 3 x0 ëY. y. d5ŸŒ±L«e¡/ª lim x→x0 f(g(x)) = f( lim x→x0 g(x)) = f(g(x0)) =3ëY^‡e, ŒòEܼê4$Ž£S￾¼ê5$Ž. 10/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ