3.5.1 3.5.2 Jensen 不等式 Holder 不等式 凸点 §3.5凹凸性和曲率 3.5.1函数的凹凸性 y y T1 1+x2 工2 2 图3.1下凸 图3.2上凸 如果曲线L作为区间I上函数f(x)的图象是下凸的（上凸的），就称 函数f(x)是是I上的凸函数（凹函数）. 11 返回 全屏 关闭 退出 1/32
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: §3.5 ]à5ÚÇ 3.5.1 ¼ê]à5 ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x1 x2 x1+x2 2 ã 3.1 eà ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ã 3.2 þà XJ L «m I þ¼ê f(x) ã´eà£þà¤, Ò¡ ¼ê f(x) ´´ I þà¼ê£]¼ê¤. 1/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: éuà¼ê f(x), ±9§ã L£^à¤, ? L þü: (x1, f(x1)) Ú (x2, f(x2))£Ø x1 < x2¤, ëùü:§´ y = g(x) = f(x1) + f(x2) − f(x1) x2 − x1 (x − x1), x ∈ [x1, x2]. âþãà£]¤5AÛ£ã, T3 L þ, = f(x) 6 f(x1) + f(x2) − f(x1) x2 − x1 (x − x1), x ∈ [x1, x2]. é I ¥?¿ü: x1, x2 ¤á. du x1 x2 mêL« x = αx1 + (1 − α)x2, Ù¥ α = x2−x x2−x1 ∈ (0, 1). òþ¡Ø ª¥ x αx1 + (1 − α)x2, f(αx1 + (1 − α)x2) 6 αf(x1) + (1 − α)f(x2). Ïd·ÑXe½Â. 2/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: ½Â 1 f(x) ´«m I þ¼ê, XJ? I ¥ü: x1, x2, ±9?¿ α ∈ (0, 1) k f (αx1 + (1 − α)x2) 6 αf(x1) + (1 − α)f(x2), K¡¼ê´«m I þà¼ê, þªØ ÒU/<0, Ò¡ f(x) îà 5¿, ¼ê½öàÚ], ´wãÝØÓ ®, ØÓÖþ ¬ÑyØÓ½Â. `Öþ½Âà, %´¯Öþ½Â], vk éÚ`{. Ïd, ©z, Äkw©z¥éà]5½Â. 3/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: ½n 1 f(x) 3«m I þëY, XJ? I ¥ü: x1, x2, k f x1 + x2 2 6 f(x1) + f(x2) 2 , K f(x) ´«m I þà¼ê. y² éu x1, x2, x3, x4 ∈ I, P y1 = x1+x2 2 , y2 = x3+x4 2 , K x1 + x2 + x3 + x4 4 = y1 + y2 2 . Ïd, f x1 + x2 + x3 + x4 4 = f y1 + y2 2 6 f(y1) + f(y2) 2 6 1 2 f(x1) + f(x2) 2 + f(x3) + f(x4) 2 = f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) 4 . 4/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: Ud{, ¿|^8Bn, é.X m = 2n g,ê, k f x1 + x2 + · · · + xm m 6 f(x1) + f(x2) + · · · + f(xm) m . (3.1) - x0 = x1 + · · · + xm−1 m − 1 , K x0 = x1 + · · · + xm−1 + x0 m . Ïd, lþª f(x0) 6 f(x1) + · · · + f(xm−1) + f(x0) m , =, f x1 + x2 + · · · + xm−1 m − 1 6 f(x1) + f(x2) + · · · + f(xm−1) m − 1 . ¤±l½n^, é?¿g,ê m, Ø ª (3.1) ¤á. 5/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: y x, y ∈ I, 9?¿g,ê n, m (n < m), 3 (3.1) ¥- x1 = · · · = xn = x, xn+1 = · · · = xm = y, f n m x + (1 − n m )y 6 n m f(x) + (1 − n m )f(y). =, é?¿knê r ∈ (0, 1), k f (rx + (1 − r)y) 6 rf(x) + (1 − r)f(y). éu?¿¢ê α ∈ (0, 1), ªu α knê rn ∈ (0, 1). òþª¥ r ¤ rn, ¿- n → ∞, â f ëY5, Ò f (αx + (1 − α)y) 6 αf(x) + (1 − α)f(y). ùÒy² f ´ I þà¼ê. y. 6/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: y{ 2 (y{) e f(x) Ø´ I þà¼ê, K3 x1, x2 ∈ I, 9 x0 ∈ (x1, x2) ¦ f(x0) − f(x1) x0 − x1 > f(x2) − f(x1) x2 − x1 , =, f(x0) > f(x1) + f(x2) − f(x1) x2 − x1 (x0 − x1). E5¼ê g(x) = f(x1) + f(x2) − f(x1) x2 − x1 (x − x1). §ã´ë (x1, f(x1)) Ú (x2, f(x2)) u, Ïdk g(x1) = f(x1), g(x2) = f(x2), f(x0) > g(x0). - h(x) = f(x) − g(x). K h(x1) = h(x2) = 0, h(x0) > 0. 7/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: du h(x) ´ëY¼ê, 3 x0 (a, b) ⊂ (x1, x2), x0 ∈ (a, b), ¦ h(a) = h(b) = 0, h(x) > 0, x ∈ (a, b). dk h a + b 2 > 0, =, f a + b 2 > g a + b 2 . Ï g ´5¼ê, ¤± g a + b 2 = g(a) + g(b) 2 = f(a) + f(b) 2 . Ïd f a + b 2 > f(a) + f(b) 2 . ù^gñ! 8/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: ½n 2 f(x) ´«m I þà¼ê, x1, x2, x3 ´ I n:, x1 < x2 < x3. @ok f(x2) − f(x1) x2 − x1 6 f(x3) − f(x1) x3 − x1 6 f(x3) − f(x2) x3 − x2 . y² - α = x3−x2 x3−x1 , K x2 = αx1 + (1 − α)x3. d f à5, f(x2) 6 αf(x1) + (1 − α)f(x3). ò α \dª, ²C/=½n¥Ø ª. y. 9/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
3.5.1 3.5.2 Jensen Ø ª H¨older Ø ª à: ½n 3 f(x) ´«m I þà¼ê, @o f(x) 3 I S:´ëY. y² x0 ´ I S:. 3 I ¥Ào: x1, x2, y1, y2 ¦ x1 < x2 < x0 < y1 < y2. â½n 2, x ∈ (x2, y1) x 6= x0 , k f(x2) − f(x1) x2 − x1 6 f(x) − f(x0) x − x0 6 f(y2) − f(y1) y2 − y1 . dª`² x ∈ (x2, y1) x 6= x0 , f(x)−f(x0) x−x0 ´k., =3ê M, ¦ f(x)−f(x0) x−x0 6 M. Ï |f(x) − f(x0)| 6 M|x − x0|, x ∈ (x2, y1). ldªBÑ f 3 x0 ëY. y. l±þ½ny²wÑe f(x) ´m«m I þà¼ê, K f 3 I þ ëY, [a, b] ´ I ¥k4«m, f 3 [a, b] þ´ Lipschitz ëY. 10/32 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ