《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第3章 一元函数的微分学 §3.1 导数

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 第3章一元函数的微分学 63.1 导数 3.1.1导数的定义 1°曲线的切线 首先要明确什么是“曲线上一点的切线”.在初等几何中，通常将只与圆 周有一个交点的直线，定义为圆的切线.然而，对于一般曲线来说，这种定义 方式就不适合了.例如对于抛物线（图3.1），显然交于抛物线一点A的直线 有多条，其中有的明显就不是切线.而对于图3.2，直线交图示曲线于两点，显 然在交点A处，直线应该是“切线”.对于图3.3中的曲线在A点有一个尖 点.在尖点处，与曲线相交一点的切线却有多条. 11 返回 全屏 关闭 退出 1/41

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 1 3 Ù ¼ê‡©Æ §3.1 ê 3.1.1 ê½Â 1 ◦ ­‚ƒ‚ Äk‡²(Ÿo´/­‚þ:ƒ‚0. 3ÐAÛ¥, Ï~ò† ±k‡:†‚, ½Âƒ‚. , , éu„­‚5`, ù«½Â ªÒØ·Ü . ~XéuԂ£ã 3.1¤, w,uԂ: A †‚ kõ^, Ù¥k²wÒØ´ƒ‚. éuã 3.2, †‚ã«­‚uü:, w ,3: A ?, †‚AT´/ƒ‚0. éuã 3.3 ¥­‚3 A :k‡k :. 3k:?, †­‚ƒ:ƒ‚%kõ^. 1/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ✲ ✻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x y A ã 3.1 ✲ ✻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x y A ã 3.2 ✲ ✻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x y A ã 3.3 @o, X۽„­‚ƒ‚Q? ‡Œ1å»´l‚m©, ë ­‚ C þü: M0 Ú M, Š^‚ L£ã 3.4¤, : M ÷X­‚ C w Ä M0 ž, XJ L k‡/4 0 , ·‚Bòù‡/4 0†‚, ½Â­‚3: M0 ƒ‚. ²¡þL:†‚Œd†‚† x ¶•Y α 5L. ù‡Y  α ´ x ¶7:÷_ž•=Ä, ¿3ÄgC†T†‚²1ž ¤×LÝ, Ïd÷v 0 6 α 6 π. ݃ tan α ¡†‚Ç. 2/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7  α(M) ´‚ M0M † x ¶Y , XJ lim M→M0 α(M) = α K4Š α AT´ M0 :?ƒ‚† x ¶Y. y3b­‚ C d¼ê y = f(x) L«£½ö`­‚´¼ê f(x) ã¤, : M0 ‹I´ ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ❄ ✻ ∆y x0 x α L ` y = f(x) M0 M ã 3.4 M0(x0, f(x0)), Ä: M ‹I´ M(x, f(x)), ¤±‚Ç´ tan α(M) = f(x) − f(x0) x − x0 þã¦4L§Ò´ lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 = lim x→x0 tan α(M) = tan α XJ†>43{, T4Ò´ƒ‚Ç. 3/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 2 ◦ †‚$ğ:]m„Ý  ÷†‚ŠC„$ćŸ:. Ÿ:¤$Äål†žmƒm 'X S = S(t). Ïd3l t0  t ùãžmm…S, Ÿ:$IJþ„Ý´ v¯ = S(t) − S(t0) t − t0 w, ù‡²þ„Ý¿ØU‡NŸ:3 t0  t ùãžmSäN$Ä 5Æ. XJ‡ )Ÿ:3,ž$ÄCz5Æ£=„ݤ, ‡þã²þ žmm…5á. AO, XJ4 lim t→t0 v¯ = lim t→t0 S(t) − S(t0) t − t0 3, K¡3ž t0 ž, Ÿ:$Ä]ž„Ý. ÃØ´AÛþl‚ƒ‚, „´Ôn¥l²þ„Ý]ž„Ý, 4/ªÑ´. Ä/`, Ñ´y¼ê3:Cz„Ç. ½ö` ´3:¼êCzþ†gCþCzþƒm'Ç. ·‚òÙÄÑ5, Òk 'uê½Â. 4/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ½Â 1  y = f(x) 3 x0 ¥k½Â, XJ4 lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 3, Ò¡§ y = f(x) 3 x0 ꣽ‡û¤, P¤ f 0 (x0), df dx   x0 ½ dy dx   x0 , ¿¡ f(x) 3 x0 Œ. lþ¡1‡~fŒ, ¼êêAÛ¿Â, Ò´­‚3: ƒ‚Ç, l1‡~fŒ, êÔn¿ÂÒ´3‡ž]ž „Ý. XJ¼ê3:êØ3, „¹ «ŒU, Ò´4uá Œ. éuù«œ¹AÛ)º´, ¼êã3:ƒ‚ǴáŒ, Ò´ƒ‚²1u y ¶. ¤±·‚„ØIJ1u y ¶ƒ‚. 5/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ½Â 2 ¼ê f(x) 3: x0 m>Ck½Â, XJ ∆x > 0, … lim ∆x→0+ f(x0 + ∆x) − f(x0) ∆x 3, K¡§ f(x) 3 x0 mê, P¤ f 0 + (x0), ¿¡ f(x) 3 x0 mŒ. aqŒ½Â y = f(x) 3 x0 †ŒÚ§†ê f 0 −(x0). w, f(x) 3 x0 Œ¿©7‡^‡´ f(x) 3 x0 †!mŒ, ¿k f 0 + (x0) = f 0 −(x0). ½Â 3 XJ y = f(x) 3«m I z:ь, K¡ f(x) 3 I þŒ, f 0 (x) ´ I þ‡¼ê¡ f(x) ¼ê. XJ«m I ¹kà:, K3 Tà:?, f(x) IkƒAüýŒ5. y = f(x) ¼ê, ŒP¤ y 0 , dy dx . 6/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ~ 1  y = c (~ê), ¦ y 0 . ) y 0 = lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0 0 ∆x = 0. ~ 2  y = x n, x ∈ (−∞, +∞), Ù¥ n ´g,ê. ¦ y 0 . ) éu?¿¢ê x, d‘ª½n ∆y = (x + ∆x) n − x n = nxn−1∆x + n(n − 1) 2! x n−2 (∆x) 2 + · · · + (∆x) n  y 0 = lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0  nxn−1 + n(n − 1) 2! x n−2∆x + · · · + (∆x) n−1  = nxn−1 . = y = x n ¼ê´ y 0 = nxn−1 , ¼ê½Â´ (−∞, +∞). AO,  n = 1 ž, ¼ê y = x ¼ê~Š¼ê y = 1, = y = x 3z: ƒ‚ÇÑ´ 1. 7/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ~ 3 ¦¼ê f(x) = e x ¼ê. ) Ϗ lim ∆x→0 e x+∆x − e x ∆x = e x lim ∆x→0 e ∆x − 1 ∆x = e x ¤± (e x ) 0 = e x . 8/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ~ 4 ¦éê¼ê y = loga x, x ∈ (0, +∞) ¼ê, ùp a > 0, … a 6= 1. ) éu?¿ x > 0, k loga x = ln x ln a , … ∆y ∆x = loga ￾ 1 + ∆x x
∆x = 1 ln a ln ￾ 1 + ∆x x
∆x |^4 lim x→0 ln(1 + x) x = 1  (loga x) 0 = 1 x ln a . AO a = e ž, þ¡(J (ln x) 0 = 1 x , x ∈ (0, +∞) ddŒ„, éu± e .g,éêêAO{ü. 9/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 ~ 5 ¦u¼êÚ{u¼ê¼ê. ) P y = sin x, x ∈ (−∞, +∞). Ké?¿: x, ∆y = sin(x + ∆x) − sin x = 2 cos  x + ∆x 2  sin ∆x 2 d cos x ëY5±9Ä4 lim x→0 sin x x = 1  lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim ∆x→0 cos  x + ∆x 2  lim ∆x→0 sin ∆x 2 ∆x 2 = cos x = (sin x) 0 = cos x. aqŒ (cos x) 0 = − sin x. 10/41 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ