《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第2章 函数的连续性 §2.2 有界闭区间上连续函数的性质

2.2.1 2.2.2 介值定理 最值定理 一致连续定理 Lipschitz 连续 压缩映射定理 §2.2有界闭区间上连续函数的性质 2.2.1零点定理与介值定理 定理1（零点定理）设 f(x)∈C[a,b],且函数在两个端点的值 f(a)和f(b) 异号，即 f(a)f(b)0，使得f在区间[a,a+δ]上 为负，而在[b-δ，b]为正，因此，集合 a b E={x∈[a,b]|f在[a,x]上为负} 是非空有界集.设ξ是E的上确界， 则根据函数的连续性有 f(ξ)≤0，ξ≤b-δ. 11 返回全屏关闭退出 1/17

2.2.1 2.2.2 0Š½n Š½n ëY½n Lipschitz ëY Ø N½n §2.2 k.4«mþëY¼ê5Ÿ 2.2.1 ":½n†0Š½n ½n 1 (":½n)  f(x) ∈ C[a, b], …¼ê3ü‡à:Š f(a) Ú f(b) ÉÒ, = f(a)f(b) 0, ¦ f 3«m [a, a + δ] þ K, 3 [b − δ, b] , Ïd, 8Ü E = {x ∈ [a, b] | f 3 [a, x] þK} ´šk.8.  ξ ´ E þ(., ✲ ✻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b ξ x f(x) KŠâ¼êëY5k f(ξ) 6 0, ξ 6 b − δ. 1/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.2.1介值定理最值定理2.2.2一致连续定理Lipschitz连续压缩映射定理假设f(E)0, 则令 α =a,bi=b.不管哪种情况都有 f(ai)<0<f(bi),bi - ai = b=a.2再考察区间[α1,bi],若f(1b)=0,则证明结束若f(=t)≠0,则将[a1,bi] 二等分,可得[a2,b2]继续同样的过程,得区间序列[an,bnl.始终有f(an）<0<f(bn),以及bn 一an= bma.由此可知[an}和[bn} 有相同的极限s,满足f(s)= 0.返回全屏关闭退出II2/17

2.2.1 2.2.2 0Š½n Š½n ëY½n Lipschitz ëY Ø N½n b f(ξ) 0, K- a1 = a, b1 = a+b 2 . Ø+=«œ¹Ñk f(a1) < 0 < f(b1), b1 − a1 = b−a 2 . 2 «m [a1, b1], e f( a1+b1 2 ) = 0, Ky²(å. e f( a1+b1 2 ) 6= 0, Kò [a1, b1] ©, Œ [a2, b2]. UYÓL§, «mS [an, bn]. ©ªk f(an) < 0 < f(bn), ±9 bn − an = b−a 2 n . ddŒ {an} Ú {bn} kƒÓ4 ξ, ÷v f(ξ) = 0. 2/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

介值定理最值定理2.2.12.2.2一致连续定理Lipschitz连续压缩映射定理定理 2 (介值定理) 设 f(c) E C[a,b], 且 f(a) ≠ f(b), 则 f(α) 在 [a,b] 能取到介于f(a)和f(b)之间的任意值证明 不妨设 f(a) 0故满足零点定理的条件,因而有 E (a,b) 使 g(s) = 0, 即 f(s) = r. 证毕注：根据零点定理，在一个区间上的连续函数只要在区间内有两点的值是异号的，就一定有零点．当然，在介值定理中，函数一定能取到介于任意两点之间的值.介值定理也可以看成是通过将零值定理沿u轴向上平移到y=r 处的情况返回全屏关闭退出3/17

2.2.1 2.2.2 0Š½n Š½n ëY½n Lipschitz ëY Ø N½n ½n 2 (0Š½n)  f(x) ∈ C[a, b], … f(a) 6= f(b), K f(x) 3 [a, b] U 0u f(a) Ú f(b) ƒm?¿Š. y² Ø f(a) 0 ÷v":½n^‡, Ï k ξ ∈ (a, b) ¦ g(ξ) = 0, = f(ξ) = r. y. 5: Šâ":½n, 3‡«mþëY¼ê‡3«mSkü:Š ´ÉÒ, Ò½k":. , 30Š½n¥, ¼ê½U0u?¿ ü:ƒmŠ. 0Š½nŒ±w¤´ÏLò"Š½n÷ y ¶•þ²£ y = r ?œ¹. 3/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

介值定理最值定理2.2.12.2.2一致连续定理Lipschitz连续压缩映射定理例 1 证明函数 f(c) = 2－ 4α 在区间 (0,) 内有零点证明 显然, f(α) 在 [0,引l 上连续. 且 f(0) = 1 > 0, f() = V2-2 0. 则 P(α) ～ anan,（ → o）. 因为n 是奇数, 所以当 → 士o 时, P(α) → 士o. 故存在两个数 A < B, 使得f(A)< 0 < f(B), 由零点定理知 P(α)一定有零点对于偶次多项式结果就不是这样了,例如 P(α)= α2+ 1,就没有实根例 3 设函数 f(α) E C[a,b] 且 a ≤ f(αc) ≤ b. 则 f(α) 在[a,b] 有不动点,即存在 ≤E[a,b] 使得 f()=.证明 考虑函数 g(a) = f(α) 一a. 则 f(b) ≤ 0 ≤ f(a). 根据零点定理可得证返回全屏关闭退出-4/17

2.2.1 2.2.2 0Š½n Š½n ëY½n Lipschitz ëY Ø N½n ~ 1 y²¼ê f(x) = 2x − 4x 3«m ￾ 0, 1 2
Sk":. y² w, f(x) 3 0, 1 2 þëY. … f(0) = 1 > 0, f( 1 2 ) = √ 2 − 2 0. K P (x) ∼ anx n , £x → ∞¤. Ϗ n ´Ûê, ¤± x → ±∞ ž, P (x) → ±∞. 3ü‡ê A < B, ¦ f(A) < 0 < f(B), d":½n P (x) ½k":. éuógõ‘ª(JÒØ´ù , ~X P (x) = x 2 + 1, Òvk¢Š. ~ 3 ¼ê f(x) ∈ C[a, b] … a 6 f(x) 6 b. K f(x) 3 [a, b] kØÄ :, =3 ξ ∈ [a, b] ¦ f(ξ) = ξ. y² ļê g(x) = f(x) − x. K f(b) 6 0 6 f(a). Šâ":½nŒ y. 4/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.2.12.2.2介值定理最值定理一致连续定理Lipschitz连续压缩映射定理定理 3若 f(α) E C[a,b],则它在整个区间上有界。即存在一个常数 M,使得当a≤α≤b时,有If(α)≤M证明（反证）假设f(α)在[a,b] 上无界，则对于任意自然数 n,存在an E [a,b] 使得If(cn)/ ≥ n.因为[an】是有界数列,所以根据 Bolzano-Weierestrass 定理知存在收敛子列设Cnk→α (k→)是一个收敛子列. 显然, E[a,b]. 由 f 的连续性, 得 f(αnk）一→ f(ac). 但是根据 an 的选择,有If(αnk) ≥nk→+o0, (k → 8)这是矛盾的因此，f(α）在[a,b]上有界证毕返回全屏关闭退出二A5/17

2.2.1 2.2.2 0Š½n Š½n ëY½n Lipschitz ëY Ø N½n ½n 3 e f(x) ∈ C[a, b], K§3‡«mþk. =3‡~ê M, ¦  a 6 x 6 b ž, k |f(x)| 6 M. y² (‡y) b f(x) 3 [a, b] þÃ., Kéu?¿g,ê n, 3 xn ∈ [a, b] ¦ |f(xn)| > n. Ϗ {xn} ´k.ê, ¤±Šâ Bolzano-Weierestrass ½n3Âñf.  xnk → x (k → ∞) ´‡Âñf. w, x ∈ [a, b]. d f ëY5,  f(xnk ) → f(x). ´Š â xn ÀJ, k |f(xnk )| > nk → +∞, (k → ∞). ù´gñ. Ïd, f(x) 3 [a, b] þk. y. 5/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.2.1介值定理最值定理2.2.2一致连续定理Lipschitz连续压缩映射定理定理 4 (最值定理)若 f(α) E C[a,b],则 f(aα)在[a,b] 上能取到最大值和最小值. 即存在 a* E [a, b] 和 α* E [a, b], 使得对所有的 α E [a, b], 有f(α*) ≤f(α) ≤f(αc*)证明因为f(a)在[a,b]上连续，所以在[a,b]上有界设M=sup(f(α)|aE[a,b]].对任意自然数n存在anE[a,b]使得M-=<f(an)≤M.这说明【f(an）》收敛到M.根据Bolzano-Weierestrass定理知存在【an】的收敛子列 ank→ a* E [a, b]. 于是M = lim f(ank)= f(a*).这就证明了f在[a,b]上取到上确界M.同理可证f在[a,b]上取到下确界证毕这个定理说明连续函数将闭区间映为闭区间1I返回全屏关闭退出6/17

2.2.1 2.2.2 0Š½n Š½n ëY½n Lipschitz ëY Ø N½n ½n 4 (Š½n) e f(x) ∈ C[a, b], K f(x)3 [a, b] þUŒŠÚ Š. =3 x∗ ∈ [a, b] Ú x ∗ ∈ [a, b], ¦é¤k x ∈ [a, b], k f(x∗) 6 f(x) 6 f(x ∗ ) y² Ϗ f(x) 3 [a, b] þëY, ¤±3 [a, b] þk.  M = sup{f(x)| x ∈ [a, b]}. é?¿g,ê n 3 xn ∈ [a, b] ¦ M − 1 n < f(xn) 6 M. ù`² {f(xn)} Âñ M. Šâ Bolzano-Weierestrass ½n3 {xn}  ñf xnk → x ∗ ∈ [a, b]. u´ M = lim k→∞ f(xnk ) = f(x ∗ ). ùÒy² f 3 [a, b] þþ(. M. ÓnŒy f 3 [a, b] þe( . y. ù‡½n`²ëY¼êò4«mN4«m. 6/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

介值定理最值定理2.2.12.2.2一致连续定理Lipschitz连续压缩映射定理2.2.2一致连续性函数f(α）在区间I上连续时，对于I中每一点co,f在aco连续，因此任意>0存在>0使得只要-col<I就有f(aα)-f(ao)/<e.一般来说其中的不仅依赖于，也依赖于Co.f(a)观察一个例子f(α) =α E (0, 1)r显然它是区间（0，1）上的连续函数，即在每一点cE（0,1)都连续L1Co返回全屏关闭退出7/17

2.2.1 2.2.2 0Š½n Š½n ëY½n Lipschitz ëY Ø N½n 2.2.2 ëY5 ¼ê f(x) 3«m I þëYž, éu I ¥z: x0, f 3 x0 ëY, Ïd, ?¿ ε > 0, 3 δ > 0 ¦‡ |x − x0| < δ, x ∈ I, Òk |f(x) − f(x0)| < ε. „5`Ù¥ δ Ø=6u ε, 6u x0. * ‡~f f(x) = 1 x , x ∈ (0, 1) w,§´«m (0, 1) þëY¼ê, = 3z: x ∈ (0, 1) ÑëY. ✲ ✻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 0 0 x0 1 x f(x) 7/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

介值定理最值定理2.2.12.2.2一致连续定理Lipschitz连续压缩映射定理对于 Co =！,要使[f(α) - f(αo)lCo必须1EEn(n +)nmin因此,对于 &o 三,取EE8=n2n(n +e)则当 l 一 ol < , 时有 f(α) 一 f(co)l< ε.而对于同一个正数 ε,在点 α=1一1处,要使11nIf(α) - f(c)/ =Saoaan返回全屏关闭退出18/17

2.2.1 2.2.2 0Š½n Š½n ëY½n Lipschitz ëY Ø N½n éu x0 = 1 n , ‡¦ |f(x) − f(x0)| =     1 x − 1 x0     =     1 x − n     < ε 7L − ε n(n + ε) < x − 1 n < ε n(n − ε) Ïd, éu x0 = 1 n ,  δ = ε n(n + ε) ∼ ε n2 K |x − x0| < δ, žk |f(x) − f(x0)| < ε. éuӇê ε, 3: x 0 0 = 1 − 1 n ?, ‡¦ |f(x) − f(x 0 0 )| =     1 x − 1 x 0 0     =     1 x − n n − 1     < ε 8/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

介值定理最值定理2.2.12.2.2一致连续定理Lipschitz连续压缩映射定理必须e(n - 1)2< -n(n +e(n - 1)e(n - 1)2n(n - ε(n - 1))因此,对于α=1一1,取e(n - 1)28:VEn(n +e(n - 1)则当 l -ol<s,时有 lf(α)一f(co)< 显然，对于同一个正数ε,当o越靠近0,对的要求越严，而当αo越靠近1.的选择越宽.所以对于不同的连续点来说，对应的8是不一致的因此，对于任何一个给定的正数e.如果对于所有的点o.存在统一的正数 ,使得[α一ol<时,有If(α)一f(co)I< ε,则说这样的连续性是“—致”的返回全屏关闭退出I49/17

2.2.1 2.2.2 0Š½n Š½n ëY½n Lipschitz ëY Ø N½n 7L − ε(n − 1)2 n(n + ε(n − 1)) < x − x 0 0 = x −  1 − 1 n  < ε(n − 1)2 n(n − ε(n − 1)) . Ïd, éu x 0 0 = 1 − 1 n ,  δ 0 = ε(n − 1)2 n(n + ε(n − 1)) ∼ ε K |x − x0| < δ0 , žk |f(x) − f(x0)| < ε. w, éuӇê ε,  x0 ‚C 0, é δ ‡¦î,  x0 ‚ C 1, δ ÀJ°. ¤±éuØÓëY:5`, éA δ ´Ø. Ïd, éu?ۇ‰½ê ε, XJéu¤k: x0, 3Ú ê δ, ¦ |x − x0| < δ ž, k |f(x) − f(x0)| < ε, K`ùëY5´/ 0. 9/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

2.2.12.2.2介值定理最值定理一致连续定理Lipschitz连续压缩映射定理定义 1 设 y =f(α)在区间 I 上有定义,对任给的 ε>0, 如果存在 > 0.使得任取一点 αo E I, 只要[ 一 ol 0.存在>0,只要α1,α2EI及[a1一2l0,及数列n，YnEI使得If(cn)-f(yn)I ≥E, [Cn -ynl <n =1,2,..n返回全屏退出关闭10/17

2.2.1 2.2.2 0Š½n Š½n ëY½n Lipschitz ëY Ø N½n ½Â 1  y = f(x) 3«m I þk½Â, é?‰ ε > 0, XJ3 δ > 0, ¦?: x0 ∈ I, ‡ |x − x0| 0, 3 δ > 0, ‡ x1, x2 ∈ I 9 |x1 − x2| 0, 9ê xn, yn ∈ I ¦ |f(xn) − f(yn)| > ε0, |xn − yn| 6 1 n , n = 1, 2, · · · 10/17 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ