《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第4章 原函数 §4.1 原函数及其基本的计算方法

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 第一换元法 第二换元法 分部积分法 第4章原函数 §4.1原函数及其基本的计算方法 4.1.1概念 定义1设函数F(x)与f(x)在区间I上有定义.若对每个x∈I都有 F'(x)=f(x),或 dF(x)=f(x)dx, 则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数. 注意1，如果F(x)是f(x)(在区间I上)的一个原函数，则F(x)加上一 个任意常数后仍然是f(x)的一个原函数； 注意2，f(x)的任意两个原函数只相差一个常数. 11 返回 全屏 关闭 退出 1/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ 1 4 Ù ¼ê §4.1 ¼ê9ÙÄOŽ{ 4.1.1 Vg ½Â 1 ¼ê F(x) † f(x) 3«m I þk½Â. eéz‡ x ∈ I Ñk F 0 (x) = f(x), ½ dF(x) = f(x)dx, K¡ F(x)  f(x) 3«m I þ‡¼ê. 5¿1, XJ F(x) ´ f(x)£3«m I þ¤‡¼ê, K F(x) \þ ‡?¿~ê￾E,´ f(x) ‡¼ê; 5¿2, f(x) ?¿ü‡¼êƒ‡~ê. 1/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ ½Â 2 ¡ f(x) 3«m I þN¼ê {F(x) + C} ¼ê f(x) 3« m I þؽȩ, P Z f(x) dx = F(x) + C, Ù¥ C ´?¿~ê, ¡È©~ê; Z ¡È©Ò; f(x) ¡ȼê; f(x)dx ¡ÈLˆª; x ¡È©Cþ. AÛþ)º¦¼ê f(x) ¼ê¯K: 3 Oxy †‹IX¥éÑ ^­‚ y = F(x), ¦Ù3î‹I x :?ƒ‚Ǐ f(x). ù ^­‚, ¡ f(x) ^È©­‚, ò§÷X y ¶•Š²£, BѤ kÙ{ (ÎÜþ㇦) ­‚. Ïd, 3AÛþ, ؽȩ Z f(x)dx L« ¹þãÜÈ©­‚­‚x. 2/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ £1¤Ÿo¼êk¼ê£½ö`Ÿoȼêkؽȩ¤? £2¤XJ‡¼ê f(x) k¼ê, @oXÛäNŽÑ f(x)¼ê? £3¤duмêêE,´Ð¼ê, @oŠê_$Ž, ‡Ð¼ê¼ê£½ö`ؽȩ¤´Ä½„U L«¤Ð¼ê? Šâ Darboux ½nŒ, ¼ê÷v0Š½n, ،Uk1amä: ¼ê. ÏdÎÒ¼ê y = sgnx ù¼ê´ØUL«¤‡¼ê ê, Ï vk¼ê. , , ·‚ò3eÙ¥y²‡­‡¯¢: éu‰ ½«mþëY¼ê, 3ù«mþ7k¼ê. ِĽÂ3‡«mþëY¼êؽȩ, ¿±¦ÑØ½È ©ŠÌ‡8I. ùp¤¢/¦Ñؽȩ0 , ´ŒòؽȩL«Ð ¼ê. (¢kùмê, §‚ؽȩÃ{L«¤Ð¼ê. ~ X, Œ±y²eÈ© R e −x 2 dx, R 1 ln x dx, R sin x 2 dx ´ØUL«¤ мê. 3/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ 4.1.2 ÄÈ©L dc¡‡©úªL, Œe¡ؽȩúªL. (i) Z 0 dx = C; (ii) Z 1 x dx = ln |x| + C; (iii) Z x α dx = 1 α+1x α+1 + C, (α 6= −1); (iv) Z a x dx = 1 ln a a x + C (a > 0, a 6= 1); (v) Z sin x dx = − cos x + C; Z cos xdx = sin x + C; Z sec2 x dx = tan x + C; Z csc2 x dx = − cot x + C; (vi) Z √ 1 1−x2 dx = arcsin x + C = − arccos x + C1; Z 1 1+x2 dx = arctan x + C = −arccot x + C1. 4/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ 4.1.3 ؽȩ‚55Ÿ (i) e a ´~ê (a 6= 0), K Z a · f(x)dx = a · Z f(x)dx; (ii) Z  f(x) ± g(x)  dx = Z f(x)dx ± Z g(x)dx. ·‚5¿, 'uؽȩª¢Sþ´'u¼êxª (=‡8 ܪ). ª (i) ¹Â´,  a 6= 0 ž, a · f ¼êŒd a ¦ f ¼ ê; … a ¦ f ¼ê7´ a · f ¼ê. ª (ii) äkaq¹ Â. (·‚2gJe, 3¼êëYcJe, ¼ê35® y.) ª (i) Ú (ii) ´‡©{Kw,íØ (~X, du (i) ªüॼê‡ ©Ñ´ af(x)dx, l (i) ¤á; aq/ŒÑ (ii)). d , ´ (ii) éuõ‡ ¼êœ/¤á. dùü‡ª, Œ±ò‡E,ؽȩzeZ‡®Ø½È ©Ú, ? Ñ(J. ù«{, ¡©‘È©{. 5/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ ~ 1 ¦ Z x 2 − 3x + 1 x + 1 dx. ) Z x 2 − 3x + 1 x + 1 dx = Z  x − 4 + 5 x + 1 dx = Z xdx − 4 Z dx + 5Z dx x + 1 = 1 2 x 2 − 4x + 5 ln |x + 1| + C. 5¿, þ¡1‡ªmàz‡Ø½È©Ñ¹k‡?¿~ê,  ￾Ü¿PŠ C; ù:·‚±￾Ø2². 6/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ ~ 2 ¦ Z 1 sin2 x · cos2 x dx. ) Z 1 sin2 x · cos2 x dx = Z sin2 x + cos2 x sin2 x · cos2 x dx = Z sec2 xdx + Z csc2 xdx = tan x − cot x + C. 7/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ ~ 3 ¦ Z 1 x2(1 + x2) dx. ) Z 1 x2(1 + x2) dx = Z (1 + x 2 ) − x 2 x2(1 + x2) dx = Z  1 x2 − 1 1 + x2  dx = Z 1 x2 dx − Z 1 1 + x2 dx = − 1 x − arctan x + C. 8/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ 4.1.4 ؽȩ†{ ½n 1 (1†{)  F(x) ´ f(x) ‡¼ê£= F 0 (x) = f(x)¤, ¿ u = ϕ(x) Œ‡. K·‚k Z f(ϕ(x)) · ϕ 0 (x)dx = F(ϕ(x)) + C. = f(ϕ(x)) · ϕ0 (x) ‡¼ê´ F(ϕ(x)). y² d‡©/ªØC5, 'Xª dF(u) = f(u)du 2±¼ê ϕ(x) OgCþ u žE,¤á, ddѤ`ª. ù{¡“n‡©{”. 9/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ ~ 4 ¦ Z tan x dx. ) ¤¦ؽȩ Z tan x dx = Z sin x cos x dx = − Z (d cos x) cos x = − ln | cos x| + C. 10/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ