5.1.1 5.1.2 积分的定义 可积的必要条件 第5章单变量函数的积分学 §5.1积分 5.1.1积分的定义 曲边梯形的面积 对于多边形，定义面积时，我们接受几何直观，即承认对于每一个（平 面)多边形P都有面积，其面积是一个正数A(P),并具有下面两个性质： 1°两个全等的多边形有相同的面积； 2°整体面积是它的各部分面积之和：如果两个多边形P'与P"拼凑在 一起形成一个新的多边形P,则P的面积是 A(P)=A(P')+A(P") 所谓“拼凑”或者说“并”，即是P'与P"仅有某些边为公共部分. 返回全屏关闭退出 1/18
5.1.1 5.1.2 È©½Â È7^ 1 5 Ù üCþ¼êÈ©Æ §5.1 È© 5.1.1 È©½Â >F/¡È éuõ>/, ½Â¡È, ·ÉAÛ*, =«@éuz£² ¡¤õ>/ P Ñk¡È, Ù¡È´ê A(P ), ¿äke¡ü5: 1 ◦ ü õ>/kÓ¡È; 2 ◦ N¡È´§Ü©¡ÈÚ: XJüõ>/ P 0 P 00 ©n3 å/¤#õ>/ P , K P ¡È´ A(P ) = A(P 0 ) + A(P 00) ¤¢/©n0½ö`/¿0 , =´ P 0 P 00 =k, >úÜ©. 1/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.1 5.1.2 È©½Â È7^ 3 ◦ ¡ÈAëY6Ù>. 4 ◦ ½> 1 /¡È 1. / â¡È5, >knê r /¡È r 2 . · F"/¡ÈAëY6Ù>, Ïd, >¢ê a /¡ È a 2 . / du/±^/© ¤, Uì¡Èü5±9 ëY5±y²> a Ú b /¡È ab. n/ ? ±y²n/¡È u: .×p÷2. õ>/ Ïõ>/±^kn/© ¤, Ïdõ>/¡È ±(½. >ã/ éudµ4¤²¡ã/, XJ§´k¡È, @ o·F"Ù¡È´÷v51 ◦ !52 ◦ Ú53 ◦ . 2/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.1 5.1.2 È©½Â È7^ µ4¤²¡ã/±©¤±en«ã/¿. ã 5.1 ã 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ã 5.3 ã5.2 ã5.3 ´ã5.1ðz/: Ù¥^>½ü^> ¤:. Ïd, ·ÄXã4.1>F/¡ÈÒ± . ã5.1kn>´ã, =k>´, ·b½§¤¤«´ k¡È, y3Ò´¦Ñù¡È. ·òæ^3S/±0 {, k¦Ñ¤¦¡ÈCq. 3/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.1 5.1.2 È©½Â È7^ ½IX Oxy, ¦¤Ä>F/dëY y = f(x) (f(x) > 0), x ¶, ü x = a 9 x = b ¤¤ (Xã5.4). ✲ ✻ x y y=f(x) a b ã 5.4 ✲ ✻ x y a b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ã 5.5 3 a b ¥\ n − 1 ©: x1, · · · , xn−1, Ù¥ x1 F/©¤ n /^0(Xã5.5). 4/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.1 5.1.2 È©½Â È7^ ¦ù ^¡È, JÝ¿ü$, ±Ä^Ý/^5 Cq£ùL§, u3z«mþ^ f 3Ù¥,:O f(x)¤. ·^ Sn L«ù n Ý/¡ÈÚ. 3*þ±wÑ, e« m [a, b] ©5[, = n ÃO, ëmݪu", K/Cq0Sn ªu>F/¡È. ù, >F/¡ÈL«¤ ù Ý/¡ÈÚ4. ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ã 5.6 ✲ ✻ x y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ã 5.7 5/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.1 5.1.2 È©½Â È7^ y3·Ø*ýk@½¤`>F/3¡È, ´ÄkÄþ ¡½ÂÚ Sn, ©5[, XJù Úªu(½4, · Òòù4½Â>F/¡È. ù·ÒÑ ½Â¡È« ª. (/`, ·3z«m [xi−1, xi ] ¥?¿: ξi , P ∆xi = xi − xi−1 (i = 1, 2, · · · , n), Kz¬Ý/¡È´ f(ξi)∆xi , §Úª Sn = X n i=1 f(ξi)∆xi. XJ max 16i6n ∆xi → 0 (n → ∞) , ÃØ©: x1, · · · , xn−1 9: ξ1, · · · , ξn NÀ, Ú Sn Ñk4; ù4ҽ¤`>F/ (ã5.4) ¡È. 6/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.1 5.1.2 È©½Â È7^ :÷$ÄrL´§ :÷$Ä, 3m«m [a, b] S? t Ý v = v(t), ·Ä:3ùãmSrL´§. lÔn¿Âþ5w, ¤`´§,3. ¦Ñù´§, ·^ ©: a = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b, ò«m [a, b] © n «m [ti−1, ti ](i = 1, · · · , n). 3z«m [ti−1, ti ] þ?: ξi , ò:3m« m [ti−1, ti ] þ$ÄCq±Ý v(ξi) !$Ä. dd, :l t = a t = b rL´§Cq S 0 n = X n i=1 v(ξi)∆ti. *þw, max 16i6n ∆ti → 0(n → ∞) , Cq S 0 n Bªu¤¦´§. 7/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.1 5.1.2 È©½Â È7^ ½Â 1 ¼ê f(x) 34«m [a, b] þk½Â. ^©: T : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b ò«m [a, b] ©¤ n «m [xi−1, xi ](i = 1, · · · , n). 3z«m [xi−1, xi ] þ?: ξi , ¿P kT k = max 16i6n ∆xi, ∆xi = xi − xi−1 ¡©/°Ý0. Úª Sn(T ) = X n i=1 f(ξi)∆xi, ¡¼ê f(x) 3«m [a, b] þéAu© T Riemann£iù¤Ú. X J kT k → 0 (n → ∞) , ÃØ©: xi : ξi NÀ, Sn ok4, K¡¼ê f(x) 3«m [a, b] þÈ; ¿òù4¡ f(x) 3 [a, b] þ½ È©, P Z b a f(x)dx. 8/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.1 5.1.2 È©½Â È7^ ~ 1 «m [a, b] þ~¼ê f(x) = c ´È, §È©´ Z b a c dx = c(b − a). y² Ï~¼ê3?Û:Ñ´, ¤± Sn = X n i=1 f(ξi)∆xi = c X n i=1 ∆xi = c(b − a). Ïd kT k → 0 , Sn k4, 4 c(b − a). c > 0 , d~A Û¿Â: !°©O c b − a Ý/¡È´ c(b − a), ùÐ AÛ ¥½Â. 9/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
5.1.1 5.1.2 È©½Â È7^ ~ 2 y0 ∈ [a, b] K¼ê Jy0 (x) = 1, x = y0, 0, x 6= y0 3 [a, b]þÈ, È©". y² éu [a, b] ?¿© T : a = x0 < x1 < · · · < xn = b, ±9« m [xi−1, xi ] ¥ ξi (i = 1, 2, · · · , n), õk ξi u y0. Ïd X n i=1 f(ξi)∆xi 6 kT k → 0. dd Jy0 (x) È, È©". 10/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ