直线 平面 点线 点面 线线 面面 曲面 柱面 锥面 旋转面 二次曲面 坐标变换 §8.7直线与平面 8.7.1直线的方程 在空间中，过任意不同两点A,B可作一条直线l.对于直线l上任意 点P,由于向量AP与向量AB平行，故存在实数t使得AP=t.AB于是 op=oA+t.AB (8.1) 称(8.1)式为直线l的参数方程，非零向量AB 称为直线l的方向向量，而t称为参数，当t取 A B P l 遍所有实数时，参数方程给出直线l上的所有 点；当t取遍区间[0,1]时，得到线段AB;当t 取遍区间[0，∞)时，得到射线AB. 0 设点A的坐标为(a1,a2,a3),向量AB的坐标表示为(u1,u2,u3),点P 11 返回全屏关闭退出 1/38
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC §8.7 ²¡ 8.7.1 § 3m¥§L?¿ØÓü: A, B ^ `. éu ` þ?¿ : P , duþ −→AP þ −→AB ²1, 3¢ê t ¦ −→AP = t · −→AB u´ −→OP = −→OA + t · −→AB (8.1) ¡ (8.1) ª ` ëê§, "þ −→AB ¡ ` þ, t ¡ëê, t H¤k¢ê, ëê§Ñ ` þ¤k :; t H«m [0, 1] , ã AB; t H«m [0, ∞) , −→AB. O A B P ` : A I (a1, a2, a3), þ −→AB IL« (u1, u2, u3), : P 1/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC I (x, y, z), u´ ` ëꧤI/ª x = a1 + u1t y = a2 + u2t z = a3 + u3t (8.2) l¥ëê t, K ` :ª§ x − a1 u1 = y − a2 u2 = z − a3 u3 . (8.3) ~ 1 ²L: (2, 1, 5) (1, 0, 7) § x − 2 1 = y − 1 0 = z − 5 7 . 5¿ d?, ©1¥ 0 ´L«¥I©þ, ¿Ø´^5 Øê. 2/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC 8.7.2 ²¡§ ½m¥: M 9"þ ~n§3²¡ π L M ~n R. éu²¡ π þ?¿: P , Ñk −−→MP ⊥ ~n, u´ ª −−→MP · ~n = 0. (8.4) þª¡²¡ π :{ª§. "þ ~n ¡²¡ π {þ. m²¡ 𠩤nÜ©, ÷v −−→MP · ~n > 0 : P 3²¡þý (~n @ý), ÷v −−→MP · ~n < 0 : P 3²¡,ý, ÷v −−→MP · ~n = 0 : P 3²¡ π þ. M P ~n π 3/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC : M I (m1, m2, m3), ~n I (A, B, C), : P I (x, y, z), K:{ª§ (8.4) ¤I/ª A(x − m1) + B(y − m2) + C(z − m3) = 0. òÙÐmÜ¿, ²¡ π § Ax + By + Cz + D = 0. (8.5) Ù¥ D = −(Am1 + Bm2 + Cm3). ~ 2 ¦L: M(1, 1, 1) Ú ` : x + 1 = 2y + 3 = 3z − 5 ²¡ π §. ) ` ²L: A(0, −1, 2), π {þ −−→AM 9 ` þ (1, 1 2 , 1 3 ) ÑR§ π {þ ~n = (1, 2, −1) × (1, 1 2 , 1 3 ) = (7 6 , −4 3 , −3 2 ). l ¦²¡ π § 7x − 8y − 9z + 10 = 0. 4/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC ²¡ëê§ 3m¥, ü^ܤ²¡. ~u = (u1, u2, u3) Ú ~v = (v1, v2, v3) ´²¡ π Süþ. §kúå: M(a, b, c). éu²¡ π þ? ¿: P , Ñ3¢ê s, t ¦ −−→MP = s~u + t~v. u´: P I (x, y, z) L«'u s, t g¼ê M P ~u ~v (x, y, z) = (a + su1 + tv1, b + su2 + tv2, c + su3 + tv3). l x = a + u1s + v1t y = b + u2s + v2t z = c + u3s + v3t. (8.6) ¡ (8.6) ª²¡ëê§, s, t ëê. 5/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC ~ 3 ¦²Ln: A(1, 2, 3), B(1, 3, 5), C(2, 4, 6)²¡ π ëê§ Ú:{ª§. ) −→AB = (0, 1, 2)§ −→AC = (1, 2, 3), π ëê§ x = 1 + t y = 2 + s + 2t z = 3 + 2s + 3t. d²¡{ ~n = −→AB × −→AC = (−1, 2, −1), Ïd§:{ª§ −(x − 1) + 2(y − 2) − (z − 3) = 0. 6/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC § üز1²¡u^ `. ù²¡§ d§ π1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 Ú π2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 L«, òùü§éáÒ ` §: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 (8.7) ¡ ` §. duÏL^±Ãõ²¡, Ïd §Ø. ²¡ π1 { ~n1 = (A1, B1, C1), ²¡ π2 { ~n1 = (A2, B2, C2). du ` Ru π1 Ru π2, Ïd ` ~n1 × ~n2. u´l §¥¦Ñþ:, ÒUÑ:ª§. , d ` :ª§ (8.3)£bÙ¥u1 6= 0¤, éN´/Ñ ` §. 7/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC 8.7.3 :ål ` L: A, þ ~u, P m¥?¿:. L: P ` R, Rv B. Ï |~u × −→AP | ´ ~u −→AP ܤ²1 o>/¡È, ù¡È u |~u| · |−→AP | ·sin θ. u´, : P ` ålL A B P ` ~u θ d = | −−→BP | = | −→AP |sin θ = |~u × −→AP | |~u| . (8.8) ~ 4 : (1, 1, 1) x+1 4 = y+2 5 = z+3 6 ål d = |(4, 5, 6) × (2, 3, 4)| |(4, 5, 6)| = |(2, −4, 2)| |(4, 5, 6)| = r 24 77 . 8/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC 8.7.4 :²¡ål ²¡ π § Ax + By + Cz + D = 0, Ù{þ ~n = (A, B, C), M(x0, y0, z0) ²¡ π þ?¿:, P (x, y, z) m¥? ¿:. L: P ²¡ π R, Rv Q. Ï | −−→MP | 3{ÝK ~n |~n| · −−→MP , ¤ ±: P ²¡ π ål M Q P π ~n d = | −→QP | = |~n · −−→MP | |~n| = |A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0)| √ A2 + B2 + C2 . q: M 3²¡ π þ, ¤± Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, dd d = | −→QP | = |Ax + By + Cz + D| √ A2 + B2 + C2 . (8.9) 9/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC 8.7.5 ü 'X þm¥?¿ü^ `1 Ú `2, §U¡£²1!! ܤ½É¡" `1 L: A(a1, a2, a3), þ ~u = (u1, u2, u3); `2 L: B(b1, b2, b3), þ ~v = (v1, v2, v3), K `1 `2 ¡¿© 7^ ´ ~u, ~v, −→AB ¡, = (~u × ~v) · −→AB = 0. (8.10) ¡/: `1 Ú `2 ¡, XJ ~u ~v ز1, K¡ `1 Ú `2 , §¤Y b½ φ, ¡ùü^Y. þ ~u ~v ²1, XJ B 3 `1 þ½ö A 3 `2 þ, K§Ü, ÄK´²1. `1 Ú `2 , §å lw,"; `1 Ú `2 ²1, `1 Ú `2 ålÒ u: B `1 ål. 10/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ