¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ §9.6 õ¼êVúª4 9.6.1 õ¼ê¥½n D ⊂ Rn ´m8. eé?¿ü: a, b ∈ D, ë a, b ãÑ ¹u D ¥, K¡ D ´ Rn ¥à«. ½n 1 (©¥½n) D ⊂ Rn ´à«, f : D → R 3 D ¥, Ké D ¥?¿ü: a, b, 3ë a, b ãþ3: ξ, ¦ f(b) − f(a) = Jf(ξ)(b − a). 5¿, a, b Ñn)þ. 1/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ y² ë a, b ãþ:L x(t) = a + t(b − a), t ∈ [0, 1]. - ϕ(t) = f(x(t)), t ∈ [0, 1]. K ϕ(t) ´ [0, 1] þ¼ê. â¼ê©¥½n, 3 θ ∈ (0, 1), ¦ ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ 0 (θ). Ï ϕ 0 (t) = J(f ◦ x) = Jf(x(t) · Jx(t) = Jf(x(t)(b − a), ¤±k f(b) − f(a) = Jf(ξ)(b − a), Ù¥ ξ = a + θ(b − a). 2/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ ½n 2 D ⊂ Rn ´«, f : D → R 3 D ¥. e3 D ¥k Jf = 0, K f 3 D þ´~þ. y² D ´à«, (Ød¥½níÑ. y3y(Øé «¤á. x0 ∈ D. yé?¿ y ∈ D k f(x0) = f(y). Ï D ´ëÏ, ¤ ±3 D ¥ L ë x0 Ú y. L ´ D ¥k.48, § D > .ål δ > 0. u´3km¥ B0, B1, · · · , Bk ⊂ D ¦¥, x0 ∈ B0, y ∈ Bk. 5¿¥´à«, 3z¥þEk Jf = 0, ¤± f 3z¥þ´~ þ. duù ¥´ëX. Ïdk f(y) = f(x0). 3/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ 9.6.2 õ¼êVúª Ún 1 k, n ´ê, x1, x2, · · · , xn ´¢ê. @ok (x1 + · · · + xn) k = X α1+···+αn=k k! α1! · · · αn! x α1 1 · · · x αn n , (9.1) Ù¥¦ÚÒL«H¤kÚ k Kê α1, · · · , αn. `²: dÚn´ÚîªÐmªí2, le¡y²±wÑ, Ún ¥ x1, · · · , xn ±Ø´¢ê, §±\Ú¦, \{Ú¦{ ÷vÆÒ±. 'X^ ∂ ∂xi O xi ±. α = (α1, · · · , αn) ¡õ I, P |α| = α1 + · · · + αn, α! = α1! · · · αn!. éuþ x = (x1, · · · , xn) P x α = x α1 1 · · · x αn n . u´ (9.1) L« (x1 + · · · + xn) k = X |α|=k k! α! x α . 4/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ y² é n ^8B{. n = 1 , ÃIy². n = 2 , (9.1) Ò´Ú îªÐm. yéu n − 1 \Ðmª¤á. Ï (x1 + · · · + xn) k = (x1 + · · · + xn−1) + xn k = X k αn=0 k! αn!(k − αn)! (x1 + · · · + xn−1) k−αnx αn n = X k αn=0 k! αn!(k − αn)! X α1+···+αn−1=k−αn (k − αn)! α1! · · · αn−1! x α1 1 · · · x αn−1 n−1 x αn n = X α1+···+αn=k k! α1! · · · αn! x α1 1 · · · x αn n . ùÒ`² (9.1) éu n \Ðmª¤á. u´Úny. 5/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ f(x1, · · · , xn) ´ n ¼ê, k« ê, «·Ü êÑ ëY, d ∂ ∂xi ∂ ∂xj \Ú¦, \{Ú¦{kÆ. éuõI α = (α1, · · · , αn) Ú©f D = ( ∂ ∂x1 , ∂ ∂x2 , · · · , ∂ ∂xn ), P Dα = ∂ |α| ∂xα1 1 · · · ∂xαn n , Dαf = ∂ |α|f ∂xα1 1 · · · ∂xαn n . ½n 3 (Taylor úª) U ⊂ Rn ´à«, f : U → R ¿ f ∈ Cm+1(U). 2 a = (a1, · · · , an) Ú a + h = (a1 + h1, · · · , an + hn) ´ U ¥ü:. K3 θ ∈ (0, 1) ¦ f(a + h) = X m k=0 X |α|=k Dαf(a) α! h α + Rm, (9.2) Ù¥ Rm = X |α|=m+1 Dαf(a + θh) α! h α . (9.3) 6/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ y² ò f a a + h ëþ, =- ϕ(t) = f(a + th), t ∈ [0, 1]. ù´ [0, 1] þk m + 1 ëYê¼ê. â¼ê Taylor úª, ϕ(1) = X m k=0 ϕ(k) (0) k! + 1 (m + 1)! ϕ (m+1)(θ), θ ∈ (0, 1). (9.4) w, ϕ(1) = f(a + h), ϕ(0) = f(a). â¦óª{K, k ϕ 0 (t) = Jf(a + th)h = ∂f ∂x1 (a + th)h1 + · · · + ∂f ∂xn (a + th)hn = h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn f(a + th) := ϕ1(a + th). ù`²é ϕ(t) = f(a + th) ¦, Ò´òÎ h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn ^ f(a + th) þ, Ïd ϕ 00(t) = h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn 2 f(a + th), /, k ϕ (k) (t) = h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn k f(a + th). 7/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ âÚn 1, k h1 ∂ ∂x1 + · · · + hn ∂ ∂xn k = X α1+···+αn=k k! α1! · · · αn! h α1 1 · · · h αn n ∂ α1+···+αn ∂xα1 1 · · · ∂xαn n = X |α|=k k! α! h αDα . Ïd ϕ (k) (0) = X |α|=k k! α! Dαf(a)h α . òd\ (9.4) =¤y. o, õ¼ê Taylor úªy²Ò´ò¼êþ, ,| ^¼ê Taylor úª, ±9 êÎ\{Ú¦{5. õ¼ê Taylor úª/ª¼ê/úªaq. 8/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ AO´ Taylor úª¥cn: f(a + h) = f(a) + ∂f ∂x1 (a)h1 + · · · + ∂f ∂xn (a)hn + 1 2 X n i,j=1 ∂ 2f ∂xi∂xj (a)hihj + · · · = f(a) + Jf(a) · h + 1 2 hHf(a)h T + · · · Ù¥ Hf(a) = ∂ 2f ∂x2 1 (a) · · · ∂ 2f ∂x1∂xn (a) . . . . . . ∂ 2f ∂xn∂x1 (a) · · · ∂ 2f ∂x2 n (a) (9.5) ´ n é¡ , ¡ f 3 a : Hessian. 3:Ðm Taylor úª¡Maclaurin úª. 9/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¥½n Ún Taylor úª 4 ^4 Lagrange ¦ê{ 3¼ê f(x, y) /, Taylor úªcnÐm´ f(x + h, y + k) = f(x, y) + f 0 x (x, y)h + f 0 y (x, y)k + 1 2 Ah2 + 2Bhk + Ck2 + · · · (9.6) Ù¥ A = f 00 xx(x, y), B = f 00 xy(x, y), C = f 00 yy(x, y). ~ 1 ò¼ê f(x, y) = e x cos y Maclaurin úªÐmg. ) kò f 3 (0, 0) ±9 êÑÑ5. f(0, 0) = 1, f0 x (0, 0) = 1, f0 y (0, 0) = 0, f 00 xx(0, 0) = 1, f00 xy(0, 0) = 0, f00 yy(0, 0) = −1, l e x cos y = 1 + x + 1 2 (x 2 − y 2 ) + R2. Ù¥ R2 ´{. 10/27 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ