¡ÈÚúª 2ÂÈ© §10.2 È© 3OüCþ½È©, {uL^. @, È©«m ¤,È©«m, È©«Ø¬C{ü, Ïd, 8´r ȼêC{ü . È©k{, dkü8. 1´rȼêC{ü . 1´rÈ©«C{ü . du3OÈ©, E,È©«JuAG, ¤±18 Òw , k È©«C{ü rȼêCE, ´. 1/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¡ÈÚúª 2ÂÈ© 10.2.1 ¡ÈÚúª D ´ Oxy ²¡þk¡È«, f(x, y) ´½Â3 D þ ȼê. D0 ´ O0uv ²¡þk¡È«. C (N) ϕ : x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) ∈ D0 (10.1) ò D0 N¤ D. ·bN ϕ ´K, =, ϕ ∈ C1 (D0 ), ÷v |Jϕ| 6= 0, = ∂(x,y) ∂(u,v) = ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v 6= 0. (10.2) ¤±b ϕ ´K, ´Ï·F"3Ne, k¡È«o C¤k¡È«, ü^EC¤ ( Ø´) . 2/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¡ÈÚúª 2ÂÈ© O f(x, y) 3« D þÈ©, kò« D0 ?1Ý/©: T 0 : u0 < u1 < · · · < un; v0 < v1 < · · · < vm. d D0 ©¤Nõ«, Ù¥;.«´Ý/«: D0 ij = [ui−1, ui ] × [vj−1, vj]. u v u v O x y O' i j D'ij Dij éu ∂(D0 ) @ «© T 0 \[, ù « ¡ÈoÚªu". ÏdÝ/«ÑØO. 3/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¡ÈÚúª 2ÂÈ© 3C ϕ e, éAu u = ui (i = 1, 2, · · · , n), v = vj (j = 1, 2 · · · , m) I/¤ Oxy ²¡þ« D © T . b Dij ´ D0 ij 3N e. 3 D0 ij ¥: (ui, vj), d:N¤ Dij ¥: Pij = (ξij, ηij), = ξij = x(ui, vj), ηij = y(ui, vj). ¼ê f(x, y) 'u© T Riemann Ú X n i=1 X m j=1 f(Pij)σ(Dij), ùp σ(Dij) ´ Dij ¡È. ©°Ý¿©, Dij Cqu²1 o>/. Xe㤫, Ù¥ (u0, v0) = (ui−1, vj−1), h = ui − ui−1, k = vj − vj−1. 4/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¡ÈÚúª 2ÂÈ© (u0, v0) (u0, v0 + k) (u0 + h, v0) (u0 + h, v0 + k) ϕ D0 ij Dij ϕ(u0, v0) ϕ(u0, v0 + k) ϕ(u0 + h, v0) ϕ(u0 + h, v0 + k) Ïdk σ(Dij) ≈ k ϕ(u0 + h, v0) − ϕ(u0, v0) × ϕ(u0, v0 + k) − ϕ(u0, v0) k. ÏN ϕ ´, ¤±k ϕ(u0 + h, v0) − ϕ(u0, v0) = ∂ϕ ∂u(u0, v0)h + o(h) ϕ(u0, v0 + k) − ϕ(u0, v0) = ∂ϕ ∂v (u0, v0)k + o(k) 5/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¡ÈÚúª 2ÂÈ© Ï k σ(Dij) ≈ ∂ϕ ∂u(u0, v0) × ∂ϕ ∂v (u0, v0) hk + o(hk) = ∂(x,y) ∂(u,v) (u0, v0) ∆ui∆vj + o(∆ui∆vj) (10.3) u´k X n i=1 X m j=1 f(Pij)σ(Dij) ≈ X n i=1 X m j=1 f ◦ ϕ(ui, vj) ∂(x,y) ∂(u,v) (ui, vj) ∆ui∆vj. kT 0k → 0 , k kT k → 0, dþªXe½n. 6/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¡ÈÚúª 2ÂÈ© ½ n 1 D, D0 ´ d © ã 1 w ¤ « . N ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) ò D0 N D, ϕ ´K, = ϕ ∈ C1 (D0 ), ∂(x,y) ∂(u,v) (u, v) 6= 0. e f(x, y) 3 D þÈ, Kk ZZ D f(x, y)dσ = ZZ D0 f(x(u, v), y(u, v)) ∂(x,y) ∂(u,v) (u, v) dudv. (10.4) ùÒ´È©úª, { ZZ ϕ(D0) fdσ = ZZ D0 f ◦ ϕ|Jϕ|dudv. (10.5) Cqª (10.3) 34Ge dσ = ∂(x,y) ∂(u,v) (u, v) dudv. (10.6) ù´Cc« D0 þ¡ÈC« D þ¡Èm'X, § )äÇ ( Ïf) ∂(x,y) ∂(u,v) (u, v) . l/ªþw, È©úªüCþÈ©úªvkõØÓ. 7/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¡ÈÚúª 2ÂÈ© ~ 1 ¦ý¥ x 2 a2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 6 1 NÈ V . ) ý¥þÜ©¼ê´ z = c r 1 − x2 a2 − y2 b 2 , (x, y) ∈ D = {(x, y) : x 2 a2 + y 2 b 2 6 1}, ¤± V = 2c ZZ D r 1 − x2 a2 − y2 b 2 dxdy. - x = as, y = bt, K ∂(x,y) ∂(s,t) = ab, (s, t) ∈ D0 = {(s, t) : s 2 + t 2 6 1}, ¤ ± V = 2abc ZZ D0 p 1 − s 2 − t 2dsdt. - s = r cos ϕ, t = r sin ϕ, K ∂(s,t) ∂(r,ϕ) = r; D00 : 0 6 r 6 1, 0 6 ϕ 6 2π V = 2abc ZZ 06r61 06ϕ62π p 1 − r 2rdrdϕ = 2abc Z 2π 0 dϕ Z 1 0 p 1 − r 2rdr = 4 3 πabc. 8/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¡ÈÚúª 2ÂÈ© ~ 2 ¦¥N x 2 + y 2 + z 2 6 a 2 Ρ x 2 + y 2 = ay ¤ eNÈ V . ) dé¡5 V = 4 ZZ D p a2 − x2 − y2dxdy, Ù¥« D : x 2 + y 2 6 ay, x > 0. z¤4I/ª D0 : 0 6 r 6 a sin ϕ, 0 6 ϕ 6 π 2 . V = 4 Z π 2 0 dϕ Z a sin ϕ 0 p a2 − r 2rdr = 4 3 a 3 Z π 2 0 (1 − cos3 ϕ)dϕ = 4 3 π 2 − 2 3 a 3 . x y z O 9/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
¡ÈÚúª 2ÂÈ© ~ 3 ¦VÝ (x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 (x 2 − y 2 ) ¤¤¡È. ) ^4IL«, Vݧ r 2 = 2a 2 cos 2ϕ. ¤ã/31Ü©« D : 0 6 ϕ 6 π 4 , 0 6 r 6 a p 2 cos 2ϕ. dé¡5, Vݤ¡È S = 4 ZZ D dxdy = 4 Z π 4 0 dϕ Z a √ 2 cos 2ϕ 0 rdr = 4a 2 Z π 4 0 cos 2ϕdϕ = 2a 2 . x y D 10/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ