复变函数A习题课讲义
前 言 复变函数是一门以研究单变量全纯函数的分析性质为主的一门数学分支，其理论主要包 括Cauchy的积分理论、Weierstrass的级数理论、Riemann的几何理论. 同学们在此课程之前已经学 习过了微积分的课程，其中有一些定积分是比较难以计算出解析结果的，而复变函数这门课程中的 留数定理可以有效地解决很多这种问题. 对于一些微分方程，有的阶数较高，难以求解析解，如果通 过此门课程的拉普拉斯变换，可以将微积分运算转化为代数运算，因此可以大大简化微分方程的求 解过程. 由此可见，复变函数的理论对于同学们将来从事物理方面的研究起着至关重要的作用. 本讲义为本门课程习题课的讲稿，主要以补充书本上没有的内容，以及强调重要内容为主， 适当补充一些数学系的专业内容供感兴趣的同学参考. 每一讲的习题建议学习不太吃力的同学做一 做，问题难度较大，也仅供感兴趣的同学参考. 由于水平所限，谬误在所难免，还望广大同学批评 指正. 2018秋-复变函数A助教 吴天 2018年9月5日 于中国科学技术大学
目 录 前 言 i 常用记号 iii 1 复数的性质 1 2 复平面的拓扑与初等函数 6 3 调和函数的性质 9 4 留数定理与积分计算 12 5 解析函数性质的综合应用 16 参考文献 19
常用记号 R 实数域 C 复数域 C∞ 复数域的完备化C S {∞} D 单位开圆盘{z : |z| < 1} D◦ D的内部 D D的闭包 ∂D D的边界 Br(z0) z0的r邻域 BR(∞) 无穷远点的R邻域 H(D) D上的解析函数族
第1讲 复数的性质 正式发车之前，我们需要先来一点开胃小菜. ——某位车技高超的助教 事实上，同学们接触复数能够最早追溯到高中. 但是，仅仅是复数本身的性质就值得好好研究 一番. 本章先抛开复变函数——这门注重研究复变量函数的分析性质的学问，论述复数本身的性质 以及一些有趣的应用. 首先，我们陈述下列几条常用而又漂亮的性质. 定理1.1 取模运算是保乘法和取逆的，即|z1z2| = |z1||z2|，|z −1 | = |z| −1 . 定理1.2 (分部的Cauchy不等式) Re(z1z2) 6 |z1||z2|. (事实上，它关于z1, z2是对称的) 由定理1.2容易推得三角不等式，留作练习. 由以上和教材出现过的性质，以及算子代数理论可 知：(C, | · |, ×, ·) 是一个C ∗代数，且(C, +, ×)是域，因此我们经常称之为复数域. 上述说法听起来很是专业，但这说明了C具有极其优良的结构，以至于我们经常能够随心所欲 地把研究实数的方法推广到复数域中. 从代数的角度来看，复数域相对于实数域是2维的，因此，每 一个复数都可以等价于某个平面直角坐标系中的点，即存在双射： ϕ : C → R 2，ϕ(z) = (x, y)，其中z = x + iy. 而事实上，这个双射还是C到R 2作为线性空间的线性同构，而复数的辐角表示也的确对应于二维欧 式空间的极坐标表示. 既然如此，我们可以用复数的方程表示平面图形. 例1.1 试探究直线与圆用复数表示的方程. 解 设B ∈ C代表一条直线的某个法向量，由于垂直向量的点乘为0，有：ReBz = Ce ∈ R. 整理，得：Bz + Bz + C = 0，其中B ∈ C，C = −2Ce ∈ R. 反之证明其为直线是容易的. 设圆心为z0，半径为R，则|z − z0| = R，即zz − z0z − z0z + |z0| 2 − R2 = 0. 取A = 1, B = −z0, C = |z0| 2 − R2，圆周方程为：Azz + Bz + Bz + C = 0. 想要证明其逆命题，还需要A, C ∈ R，B ∈ C，|B| 2 > AC的条件，证明留作练习. 注 由于形式的一致性，我们通常把直线视作圆周. 1
2 1. 复数的性质 例1.2 试证明：复平面和去掉北极点的球面之间存在一个双射. 证明 考察球极投射ϕ(z) = 4Rez |z| 2 + 4 , 4Imz |z| 2 + 4 , 2|z| 2 |z| 2 + 4 . 注 上述映射实际为C到S 2 \ {N}的拓扑同胚. 然而本例中为何将北极点抠掉？通过几何解释容易看 出，北极点对应于无穷远点. 若令上式右侧为北极点(0, 0, 2)，亦可发现z → ∞. 有时，我们将添加无穷远点的复平面C S {∞}记作C∞，也称作复平面的完备化. 例1.3 在复数域内求解代数方程 X 4 k=0 z k = 0. 解 1 − z 5 = (1 − z) X 4 k=0 z k = 0，且注意到1不是原方程的根，因此原方程的根是除1以外其余4个五次 单位根，即z = exp n2kπi 5 o , k = 1, 2, 3, 4. 更具体地： z1,2 = − √ 5 + 1 4 ± p 10 − 2 √ 5 4 i, z3,4 = p 10 + 2√ 5 4 ± √ 5 − 1 4 i. 有了复数这个工具，我们可以研究三次、四次代数方程根的结构. 考察三次方程ax3 + bx2 + cx + d = 0, a 6= 0. 作变量代换y = x + b 3a ，可得Cardano型三次方 程：y 3 + py + q = 0. 设解具有y = √3 A + √3 B的形式. 经过代入计算可以得到： y = 3 s − q 2 + r q 2 4 + p 3 27 + 3 s − q 2 − r q 2 4 + p 3 27 . 如果置判别式∆ = q 2 4 + p 3 27 ，则分情况有： (1)∆ > 0，原方程具有两个复根，一个实根. (2)∆ = 0，原方程具有重根，但全部为实根. (3)∆ < 0，原方程具有三个实根，可直接利用此求根公式结合de Moivre公式求得. 如果一个高次代数方程能够观察出有理根，固然没必要如此操作，这是因为即便具有一个很简 单的根的三次方程，如果强行使用求根公式，结果会很繁杂. 考察x 3 − 6x + 5 = 0，它具有显然的根1，如果强行使用求根公式，∆ = − 7 4 ，这时 x = 3 s −5 + √ 7i 2 + 3 s −5 − √ 7i 2 . 上述形式是难以观察出包含1这个根的，除非再反过来解三次方程，而这个过程多见于初中数学 竞赛. 例如： 例1.4 化简：x = p3 2 + √ 3 + p3 2 − √ 3
3 解 注意到x 3 = 4 − 3x，即x 3 + 3x − 4 = 0. 观察到1为它的一个根，并且∆ = 3 > 0，故1是它的唯一 实根，所以x = p3 2 + √ 3 + p3 2 − √ 3 = 1. 例1.5 求解方程的所有复根：8x 3 − 6x + 1 = 0. 解 首一化，得x 3 − 3 4 x + 1 8 = 0. 考察∆ = − 3 256 ，此时 x = 1 2 3 s − 1 2 + √ 3 2 i + 3 s − 1 2 − √ 3 2 i . 化简，得：x1 = cos 40◦，x2 = − cos 20◦，x3 = sin 10◦ . 考察四次方程ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, a 6= 0，置y = x + b 4a ，可化为Cardano标准形 式：y 4 + py2 + qy + r = 0. 考察配方：y 4 + 2my2 + m2 = (2m − p)y 2 − qy + m2 − r. 由于参数m是待定的，令右侧为一个完全平方式，即4(2m − p)(m2 − r) = q 2 . 这是一个关于m的 三次方程，可用前面的办法任意确定m的一个解即可. 如果注意观察三次方程的求根公式，不难将其推广到五次甚至任意奇数次的特殊型代数方程 中，例如：x 5 + px3 + p 2 5 x + q = 0，它的求根公式为 x = 5 s − q 2 + r q 2 4 + p 5 3125 + 5 s − q 2 − r q 2 4 + p 5 3125 某一年北京大学自主招生的一道试题：x 5 + 10x 3 + 20x − 4 = 0正是满足这种形式的五次方程， 可惜当年无人做出此题. 标准答案给出的做法是变量代换x = t − 2 t ，但是这种做法除了出题人以外 很难想到. 使用上述公式可以轻松得到结果，留作练习. 我们试着把实数中的Cauchy不等式推广到复数中，结论依旧成立： 定理1.3 (Cauchy)设z1, · · · , zn和w1, · · · , wn是2n个复数，则 Xn k=1 zkwk 2 6 Xn k=1 |zk| 2 Xn k=1 |wk| 2 . 它是可以由下述更强的结论直接推得的，下面结论的证明留作练习. 定理1.4 (Lagrange)条件同定理1.3，则 Xn k=1 zkwk 2 = Xn k=1 |zk| 2 Xn k=1 |wk| 2 − X 16j<k6n |zjwk − zkwj | 2 . 下面，我们考察关于圆周的对称性问题
4 1. 复数的性质 定理1.5 z1, z2关于直线` : Bz + Bz + C = 0对称当且仅当Bz1 + Bz2 + C = 0. 证明 由题意，z2 − z1与iB正交，且 z1 + z2 2 ∈ `. 列成式子，有： Re iB(z2 − z1) = 0，且B z1 + z2 2 + B z1 + z2 2 + C = 0. 第一个式子可以推得Bz2 + Bz1 = Bz1 + Bz2，代入第二个式子即得必要性. 在Bz1 + Bz2 + C = 0两侧取共轭：Bz2 + Bz1 + C = 0. 上述两个等式分布相加、相减即可得到充分性一侧的两个条件. 定义1.6 称z1, z2关于以z0为圆心、以R为半径的圆周K对称，如果(z1 − z0)(z2 − z0) = R2 . 类似地，也可以得到下述关于圆周对称的充要条件，证明留作练习. 定理1.7 设A, C ∈ R，B ∈ C，|B| 2 > AC，圆周K : Azz + Bz + Bz + C = 0，则z1, z2关于K对称当 且仅当Az2z1 + Bz2 + Bz1 + C = 0. 下面给出一个四点共圆的条件，而这个条件也是将来要学习的分式线性变换的不变量. 定义1.8 z1, z2, z3, z4 ∈ C∞至少有三点不同，称 z1 − z3 z2 − z3 : z1 − z4 z2 − z4 为z1, z2, z3, z4的交比，记作(z1, z2, z3, z4). 定理1.9 如果四个不同的点满足交比为实数，则四点共圆(包括共线的情况). 证明留作练习. 练习 1. 试使用定理1.2推出复数的三角不等式. 2. 证明：A, C ∈ R，B ∈ C，|B| 2 > AC时，Azz + Bz + Bz + C = 0为圆周方程. 3. 求解方程的所有实根：x 5 + 10x 3 + 20x − 4 = 0. 4. 试证明定理1.4(Lagrange恒等式)，并讨论定理1.3(Cauchy不等式)的取等条件. 5. 试证明定理1.7. 6. 试证明定理1.9. 7. z1, z2 ∈ C，z1 + z2 ∈ R，z1z2 ∈ R，求证：z1, z2 ∈ R或z1 = z2. 8. 若|z1| = λ|z2|，λ > 0，证明：|z1 − λ 2 z2| = λ|z1 − z2|. 9. 证明：|1 − az| 2 − |z − a| 2 = (1 − |a| 2 )(1 − |z| 2 ). 10. 求出关于虚轴和圆周|z − 2| = 1的公共对称点. 11. 求出关于圆周|z| = 1和|z − 1| = 5 2 的公共对称点. 12. 求复数z0 6= 0关于直线` : x + y = 0的对称点. 13. 设z, w是正方形的两个顶点，试求出所有可能情况的另外两个顶点. 问题 1. 设0 < an 6 an−1 6 · · · 6 a0，求证：方程 Xn k=0 akz k = 0在D内无根
5 2. 证明：z1, z2, z3三点共线，当且仅当z1z2 + z2z3 + z3z1 ∈ R. 3. 设|a| 1 6 Xn j=1 |zj |. 5. 设z1 6= z2，0 2
第2讲 复平面的拓扑与初等函数 复平面的拓扑，是以复数的模作为范数诱导的拓扑，即以模长为度量，定义出极限、开集等概 念. 类似于数学分析，我们同样可以得到各种极限定理. 这些理论我们只作叙述. 定义2.1 记Br(z0) = {z : |z − z0| R}，称为无穷远点 的R邻域. 定理2.2 若z0 6= 0，则 limn→∞ zn = z0当且仅当 limn→∞ |zn| = |z0|且 limn→∞ Argzn =Argz0. 注 limn→∞ Argzn =Argz0理解为任取θ0 ∈Argz0，存在θn ∈Argzn，使得lim n→0 θn = θ0. 定义2.3 复平面中非空的连通开集称为区域. 定义在[a, b] 上的一个复值连续函数γ : [a, b] → C， 记作z = γ(t)，把它称为[a, b]上的连续曲线. 如果γ(a) = γ(b)，称γ为闭曲线. 如果γ是单射， 称γ为Jordan曲线. 一般，我们将Jordan闭曲线称作围道. 定义2.4 称域D是单连通的，若任意D内的围道的内部仍在D内. 非单连通域称为多连通的. 定理2.5 (闭集套定理)若非空闭集列{Fn}单调递减，且 limn→∞ diamFn = 0，则 \∞ n=1 Fn是独点集. 定义2.6 称E是紧的，如果对任意开覆盖E ⊂ [ G∈Λ G，存在G1, · · · , Gn ∈ Λ，使得E ⊂ [n j=1 Gj . 定理2.7 在C中，紧集等价于有界闭集. 同样的，紧集上的连续函数具有很好的性质. 定理2.8 紧集上的连续函数是一致连续且有界，并且能取到最值. 定理2.9 (Bolzano-Weierstrass)任意无穷集合都存在聚点，这个聚点允许是∞. 例2.1 证明： 若 limn→∞ zn = z0，则 limn→∞ 1 n Xn k=1 zk = z0. 证明 不妨z0 = 0. ∀ε > 0，∃N ∈ N ∗，当n > N时，|zn| < ε. 此时有： 1 n Xn k=1 zk 6 1 n X N k=1 |zk| + n − N n ε. 令n → ∞：lim sup n→∞ 1 n Xn k=1 zk 6 ε. 例2.2 研究f(z) = 1 1 − z 在D上的连续性与一致连续性. 解 连续性显然成立. 考察点列zn = 1 − 1 n 即知f(z)在D上不一致连续. 下面研究如何将数学分析中的初等函数推广至复变函数中. 6