中科大数学分析(B1)习题课讲义 本科15级 理科试验1班 吴天 2018年1月23日
前言 数学分析，一般都是作为大学当中数学系的最基础的一门专业课出现的。但是在 中科大，少年班学院未选择数学专业的同学与大多数院系英才班的同学会学习数学分 析(B1)、(B2)两门课程。这门课程知识的深度和广度介于普通的高等数学和数学专业的数 学分析(A)之间。虽说如此，但此门课程的主要内容依旧是以极限理论、微积分和级数理论 为主。因此，这本讲义肯定不会脱离这些内容. 今年秋季学期，我有幸担任本门课程李平教授班级的助教，看到了同学们问的题目， 想到了这个棘手的问题。由于大多数同学以后不会进入数学专业，因此不可以在习题课中 讲解过难的知识；但是与此同时，有些同学会对数学的精妙之处产生好奇心，从而很容易 就问出了达到甚至超越数学专业难度的问题。例如，在本学期第一次习题课之前，有些同 学就询问有关实数六大基本定理的推导。事实上，这个结论虽说奠定了分析学的基础，但 是它的证明对于数学专业A类课程来讲都算是比较难的，更不用提我们的B类课程。 于是我想到发动同学们的力量，让同学们日常做题的同时，将一些好的题目发给我， 我整理成讲义的形式于习题课讲解。当然，我也会从个人的角度加入部分典型题或稍有难 度但比较有意义的题目。尽管这样，我还是希望以同学们的题目为主，因为只有同学们想 到才是他们所需要的，也是最适合大家的。因此，讲义中选择的题目有如下几种类型： (1)典型题目，具有常用技巧或容易造成学习误区的； (2)作业中错误较多的题目，尤其是反映出共性问题的； (3)比较难的题目，但都反映了更本质、更深入的一些理论，它们一般出现在问题中。 华罗庚老前辈曾经说过：“数学教材不应该有答案。”诚如是，学习数学，思考的过程 很重要。正所谓：“数学是思维的体操。”数学分析中的证明题目尤其如此。如果附带详细 的解答过程，同学们可能会对它产生依赖，从而减少思考量，影响了思维的训练。不过既 然这是一份讲义，它就需要引用一些例题来讲解方法。所以，对于每个类型的题目，例题 i
ii 前言 会给出详细的过程。在每章最后两节的习题和问题中，如果是基本的计算题，则仅给出参 考答案供同学们检验，证明题不会给出答案，部分题目会视情况在习题课讲解。这里的习 题虽没有提示，但大多是比较简单的题目，稍微用一些基本性质即得。但是问题大都很 难，或者有些章节的最后几题是需要深入思考的探究类题目。每一章的问题仅供感兴趣的 同学选做，对于以后不想从事数学专业的同学完全可以大致浏览，即使对于数学专业的同 学也没必要题题都做。在题目前括号中标有年号-决赛或初赛-数学或非数-题号的，表示全 国大学生数学竞赛的真题。 还有一点就是针对我们这门课程需要强调的，就是讲义从第二章开始，凡是标明【定 义】、【定理】、【推论】、【性质】等字样的概念或结论，均可在数学分析(B)的考试 中(当然是没有特殊指明要求用什么做法的情况下)直接使用。此外，对于一些可能会用到、 但是证明比较困难(不要求掌握)的内容(例如附录(A)中的实数理论)，以及一些备查的公 式(例如附录(B)、附录(C)的微积分常用公式)放在了附录中，此外还有若干套中国科学技 术大学往年的数学分析(B)课程的考试题目，供感兴趣的同学参考。 此讲义为本人第一次的试验版本，限于一些原因，目前暂时写这些内容。讲义的参考 教材主要为课堂教材以及课程主页上的参考书目(详见附录中的参考书目)，其余均为本人当 时学习以及现在再次学习的一些见解，现暂时在17 年秋季学期李平教授的数学分析(B1)课 程班级使用。恰巧正值中科大建校60周年校庆年来临之际，同时也是少年班成立40周年， 仅以此讲义献给科大，祝愿科大的数学课程教育越来越好。在此，感谢广大同学提供的素 材以及解法，也特别鸣谢吴迪硕士、本科15级理科试验1班计算数学专业的张恩培同学和应 用数学专业吴逍雨同学的校对工作，也特别感谢本科16级创新班周潇翔同学所做的提供习 题和校对习题的工作，以及他提供的由13级基础数学专业曲昊男同学在担任数学分析(A)助 教期间所做的材料. 鉴于本人水平有限，谬误难免，还望广大同学指正。 本科15级 理科试验1班 基础数学专业 吴天 2018年1月 于齐齐哈尔
目 录 前言 i 1 基础知识 1 1.1 常见数学符号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 映射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 等价关系、等价与分拆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 一些函数的常见性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4.1 和差化积与积化和差公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4.2 双曲函数与反双曲函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4.3 反三角函数与其他三角函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 极坐标系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 多项式的因式分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6.1 多项式除法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6.2 代数方程有理根的判别法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6.3 其他可能需要的定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 数列的极限理论 9 2.1 常用不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 常用性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 上、下极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 O.Stolz公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 第2章习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.7 第2章问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 iii
3 函数的连续性 24 3.1 函数极限理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 函数的连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 闭区间上的连续函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 函数的一致连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.5 第3章习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.6 第3章问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 单变量微分学 37 4.1 微分和导数的基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 导数运算法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 高阶导数及其运算法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4 微分学的中值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.4.1 Rolle中值定理及其推论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.4.2 微分中值定理及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4.3 Cauchy中值定理与L’Hospital法则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.5 函数的单调性理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.6 函数的凹凸性理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.7 Taylor展开 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.8 第4章习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.9 第4章问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5 单变量积分学 55 5.1 不定积分的基本理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 有理函数的不定积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.3 可有理化函数的原函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3.1 Z R(cosx,sinx )dx形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3.2 Z R(coshx,sinhx )dx形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.3.3 Chebych¨ev型积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.4 定积分的基本理论与计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.4.1 定积分的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.4.2 定积分的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.3 微积分基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.5 Riemann可积性理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.6 反常积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.7 积分不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.8 Stirling公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.9 第5章习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.10 第5章问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6 单变量微积分的应用 69 6.1 Taylor公式与数值计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.2 函数作图问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.3 平面曲线的曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.4 面积、体积的计算问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.5 常微分方程基本理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.6 一、二阶常系数线性微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.7 一般的二阶线性微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.8 高阶常系数线性微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.9 第6章习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.10 第6章问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 A 实数理论简介 72 A.1 实数系的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 A.2 实数基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 A.3 集合论初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 B 常见函数微分学公式 77 C 常用积分表 78 C.1 基本积分表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 参考文献 79
Chapter 1 基础知识 西江月·证明 即得易见平凡，仿照上例显然. 留作习题答案略，读者自证不难. 反之亦然同理，推论自然成立. 略去过程QED，由上可知证毕. ——数学虐我千百遍，我待数学如初恋. 来数院吧，柯西永远爱你. 本章主要介绍一些关于高中与大学衔接的数学预备知识. 1.1 常见数学符号 数学中有一些常见符号需要了解. 大多数情况下，一种符号上被打了一个斜杠，有可能是向左，也可能向右，表示的是 对该符号的否定. ∀表示任意，∃表示存在，∃!表示存在唯一，¬表示否命题，⇒表示推出，⇔ 表示等价 于. 此外，还有一部分专门记号，比如：:=表示定义为. s.t.表示使得. i.e.表示即为. 常见集合符号有：Z+或N ∗表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q 表示有理 数集，R表示实数集，C表示复数集. A × B := {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}表示A与B的笛卡尔积或直积. 1
2 CHAPTER 1. 基础知识 A4B := (A\B) S (B\A)叫做A与B的对称差集，它表示这两个集合的差别. 关于求和号的使用： Xn i=m f(i) = f(m) + f(m + 1) + . + f(n). 类似地，也有求积号： Yn i=m f(i) = f(m)f(m + 1).f(n). 其中的i被称为求和(积)指标， 是一种哑符号. 当然，求和号的使用是为了便于书写，它的上下标也可以多种多样，具体情况会有具 体说明. 此外，对于 S、 T、取最大值max、取最小值min等运算也可以做类似地上下标以简 化书写. 我们使用B(x, r)表示R n中x以为中心，r为半径的球，也被称作邻域. 设f(x)和g(x)为多项式，则f(x)|g(x)表示f(x)整除g(x). 组合数在大学中习惯表示为 x m = 1 m! mY−1 k=0 (x − k). 值得注意的是，其中的x可以为任 意实数. 对于n ∈ N ∗，我们定义(2n − 1)!! = Yn k=1 (2k − 1)，(2n)!! = Yn k=1 (2k). 取整函数[x]表示不超过x的最大整数，并定义取小数函数{x} := x − [x]. ≡是恒等的意思，例如一个函数f(x) ≡ c表示恒为常数. 在证明的结尾，通常我们会写 或Q.E.D.表示证明完毕的意思. 1.2 映射 数学的研究通常离不开集合，而一个不具有好的性质的集合通常是“无趣的”.我们经常 在那些好的集合内部定义一些结构，例如：代数结构(群、环、域)、拓扑结构(连通、紧 性)等等，而在集合之间需要映射来构造它们的联系. 【定义1.1】映射是指两个集合之间元素的相互对应关系. 考虑集合A到B的一个映射f : A → B. 我们称A为原像集 或定义域，B为值域，Imf = f(A) := {f(a) ∈ B|a ∈ A}为 像集. 有一些特殊的映射具有良好的性质，比如说： 【定义1.2】单射是指对∀x, y ∈ A，x 6= y，则有f(x) 6= f(y). 【定义1.3】满射是指f(A) = B. 【定义1.4】既是单射，又是满射的映射，我们称之为 双射. 对于单射，我们可以定义它的逆映射，即f −1如果一个映射不是单射，我们可以对 于b ∈ B定义它的原像集f −1 (b) := {a ∈ A f(a) = b}. 显然，当且仅的f为单射时，它的原像 集才至多只有唯一的元素，从而逆映射才有意义
1.3. 等价关系、等价与分拆 3 【定义1.5】映射的复合是指：(f ◦ g)(x) = f g(x) . 容易验证，映射的复合满足结合律，但是同样容易举出反例，映射的复合不满足交换 律. 由此可知，结合律是更一般的规律. 当A、B为数集(狭义地，可以理解为R n或C n的子 集)的时候，f称为函数. 当A、B为一般的集合，f称为泛函，在有的学科中也被称为算子. 1.3 等价关系、等价与分拆 【定义1.6】集合A中的元素之间的关系∼，若具有如下性质，我们称其为等价关系，并记 作x ∼ y： (1)(自反性) 对所有a ∈ A，a ∼ a. (2)(对称性)如果a ∼ b，则b ∼ a. (3)(传递性)如果a ∼ b且b ∼ c，则a ∼ c. 【性质1.7】其中的任意两条均不可推出第三条. 注意(2)(3)无法推出(1)的反例要找一个元 素在这个集合中没有任意一个元素(包括它本身)和它等价. 读者可自行验证. 【定义1.8】我们将集合A分解为若干子集的无交并(即两两不相交的集合之并)，称作A的一 个 分拆. 【定义1.9】对于集合A上的任一元素a，我们定义a所在的等价类[a] = {b ∈ A|b ∼ a}，即 所有与a等价的元素组成的集合. 记A/ ∼为A中所有等价类组成的集合，即A/ ∼:= {[a]|a ∈ A}(去掉重复项. 故A = [ [a]∈A/∼ [a]为A的无交并表示，从而我们由这个等价关系得到了一个 分拆. 同理，我们可以从任意一个分拆得到一种等价关系，请读者自行完成思考. 于是我们 有： 【定理1.10】集合A的分拆与定义在A上的等价关系一一对应. 1.4 一些函数的常见性质 1.4.1 和差化积与积化和差公式 【定理1.11】(和差化积) sin x + sin y = 2 sin x + y 2 cos x − y 2 cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x − y 2 sin x − sin y = 2 cos x + y 2 sin x − y 2 cos x − cos y = −2 sin x + y 2 sin x − y 2 . 【定理1.12】(积化和差)
4 CHAPTER 1. 基础知识 sin x sin y = − cos (x + y) − cos (x − y) 2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x − y) 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x − y) 2 cos x sin y = sin (x + y) − sin (x − y) 2 . 1.4.2 双曲函数与反双曲函数 大学中还会接触一类双曲函数. 它们的定义如下： 双曲正弦sinh x := e x − e −x 2 ， 双曲余弦cosh x := e x + e −x 2 ， 双曲正切tanh x := e x − e −x e x + e −x . 【定理1.13】它们有如下的类似三角函数的常见公式： sinh(x±y) = sinh x cosh y±cosh x sinh y cosh(x±y) = cosh x cosh y±sinh x sinh y cosh2 x − sinh2 x = 1 cosh2 x + sinh2 x = cosh 2x sinh 2x = 2 sinh x cosh x. 考虑它们的反函数，下面给出结论，希望读者试着自己推导并求定义域： arcsinh x = ln(x + √ x 2 + 1)， arccosh x = ln(x + √ x 2 − 1)， arctanh x = 1 2 ln 1 + x 1 − x . 最后给出双曲函数与反双曲函数的图像： 图1.1中由上之下依次是双曲余弦函数、y = e x 2 (当x → +∞时它们的公共渐近曲线)、双 曲正弦函数. 图1.2 中间的是双曲正切函数，上下是它的两条渐进线y = ±1. 图1.3上面的是反双曲正弦函数，下面的是反双曲余弦函数. 图1.4为双曲正切函数. 由 这些函数图像不难得出它们的定义域. −3 −2 −1 1 2 3 −2 2 x y −3 −2 −1 1 2 3 −2 2 x y 图1.1 双曲正弦与双曲余弦函数 图1.2 双曲正切函数