《数学分析》课程教学资源（讲义）数学分析习题课讲义（B2）

数学分析(B2)习题课讲义 本科15级 理科试验1班 吴天 2018年3月16日

前 言 所谓数学分析(B2)，内容以多变量微积分、Fourier分析、一致性问题为主. 就与数 学分析(B1)课程相比较而言，复杂的证明少了很多，更多的是实质性的计算，而这要求计 算能力要过关，尤其是数学分析(B1)中单变量积分的计算要有扎实的功底，方能做到从小 处来说，能够从容应对课程考试；从大处来讲，今后的科研工作中用到的时候能更加娴熟. 第八章是空间解析几何. 它其实可以不放在数学分析这门课中，但它通常是高等数学 教材的重要组成部分，这部分内容对于多变量微积分的理解比较重要. 本章内容可以算是一 个引子，也可以说是教材中最简单的一部分. 不过它需要比较强的计算能力，题目通常运算 量很大，这就需要同学们耐心细致. 第九章是多变量函数的微分学. 从有限维欧式空间的基本拓扑性质开始讲起，直到微 分形式，它与单变量微积分有很多相似的地方，因此难度也相对不大. 真正对于其他学科 方向应用当中比较有用的是R 3的各种微分情况，这是因为我们生活的这个世界表观上就 是R 3的，我们有直觉来帮助我们理解R 3上的微分学，这就是场论. 场论实际上起源于物 理，后来逐渐演变为了一个数学研究方向. 在数学研究的深入过程中，对于R 3上的研究方法 加以推广，可以得到一般流形上的类似结果，这就是微分流形理论. 而至于最开始讲的欧式 空间拓扑性质是教材中最难的几个地方之一，当然对于非数学类要求不高. 第十章是多变量函数的重积分. 它与单变量积分是有很大区别的，尤其是积分区域， 从单变量我们熟悉的区间(一维连通集)变成了一个一般的区域，不过它们的来源是一样 的——Riemann积分. 在计算过程中，由于积分区域的复杂性，通常我们要通过画图像来缕 清变量间的关系，但是有很多时候很难作图，这就需要一些单变量中不曾有的技巧来处理. 这章是很重要的一章，既需要单变量积分的基本功，也需要对于重积分有很深的理解. 在以 后的理工科应用中，重积分的使用次数不会少于单积分，因此一定要重视本章的学习. 第十一章是曲线积分和曲面积分. 这章的内容来源于物理问题——电荷分布、水的流 i

ii 前 言 量等等. 经过数学家的探索，把它在闭合曲线(面)的计算化为高一维的重积分，并抽象出了 著名的Gauss散度定理、Stokes公式、Green公式. 这些定理揭示的正是高一维的重积分与低 一维的曲线(面)积分之间的关系，它们可以称为高维的Newton-Leibniz公式. 而上述提到的 场论就是本章最后的内容，场论的内容主要是梯度、散度、旋度，它们表面上看是微分的 过程，但是它们与积分有密不可分的联系，甚至可以用积分来定义. 事实上，在分析学中， 大多数的微分都是靠积分定义的，因为积分是更本质的东西，它只需要测度就够了. 第十二章是Fourier分析. 它是在物理等学科中应用很多的一块微积分知识. 它起源于人 们想要使用三角函数组成的级数来逼近一个周期函数的问题. 而这里的Fourier变换可以使微 积分运算变得更为简便(例如Fourier变换可以变微分为乘法运算)，这也使解微分方程更加方 便. 通过查表，可以很方便地处理许多复杂的实际问题. 实际上，Fourier分析只是使用三角 函数来逼近，如果使用别的函数是否可以？很多是可以的，但是可能没有比较好的性质(比 如Paserval等式)，而在逼近序列满足特定条件(例如正交规范基)的时候才具有好的性质，这 就是现代调和分析的研究方向. 第十三章是广义积分和含参变量的积分. 这是这门课程最难的部分，尤其是涉及到一 致收敛性那里，比较容易混淆几种变量之间的关系. 这章介绍的一些方法可以处理一些普通 的单变量积分无法解决的问题. 最后一节Euler积分介绍的是在实际应用、简化运算中很常 用的两种函数——Γ函数和B函数. 本学期的课程与单变量最大的区别在于，很多问题的处理要在高维度上，这就需要涉 及很多对于矩阵的处理，需要同学们具有比较好的线性代数素养. 代数、分析、几何，它们 之间本就水乳交融，互相影响. 李尚志老先生有诗为证： 代数几何熔一炉，乾坤万物坐标书. 图形百态方程绘，变换有规矩阵筹. 星移斗转落银河，月印三潭伴碧波. 保短保长皆变换，能伸能屈是几何. 本讲义与上册不同，只是将习题课所涉及内容列出来. 涉及到参考书籍的时候，使用本 书后记的参考书目绿色代号指代(例如[3]指代常庚哲、史济怀《数学分析教程》(第三版)). 这本讲义中的讨论以及记号一切以教材为准，教材出现的不再赘述，仅对于教材未出现的 知识或题目进行一些补充. 然而能力所限，必有不少纰漏之处，望同学们指出. 本科15级 理科试验1班 基础数学专业 吴天 2018年3月 于合肥 中国科技大学

常用记号 P T 矩阵P的转置 P −1 矩阵P的逆 |P|, det P 矩阵P的行列式 rank P 矩阵P的秩 P(i,j) 矩阵P的(i, j)元 In n阶单位方阵 P, Q , S , T 大型运算符 R d d维Euclid空间 AC 集合A的补集 A◦ 集合A的内部 A 集合A的闭包 A0 集合A的导集 ∂A 集合A的边界 a · b 向量的内积 a × b 向量的外积 ∇, grad 梯度 ∇·, div 散度 ∇×, rot 旋度 iii

目 录 前 言 i 常用记号 iii 1 解析几何简介 1 1.1 坐标变换公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 平面二次曲线方程的化简 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 二次曲线的不变量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 二次曲线分类理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 空间上的平面、直线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 二次曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Euclid空间与度量拓扑 9 2.1 有限维Euclid空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 度量拓扑的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 连通与道路连通 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 点列收敛与实数公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 多变量函数的连续性与微分学 15 3.1 极坐标与极限计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 多变量函数的可微性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 换元与隐函数求导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 参考文献 19

§1 解析几何简介 如果你认为这是高中接触过的内容，那就图样了. §1.1 坐标变换公式 鉴于大家不久之后会学空间的坐标变换，直接理解可能会有些阻碍，因此我们先从二 维开始，并且利用平面的坐标变换来研究一般的二次曲线理论. 感兴趣的同学可以具体参 考[6]的4.1 4.3 5.1 5.2，不过本文中是以点的角度来考察，丘维声教授的书上是以坐标轴为 考察对象，因此二者的符号使用正好相反. 之所以我用点的角度考察，是因为这样更加直 观，并且避免出现坐标系之间的过渡矩阵等概念. 对于平面的坐标变换，我们只考虑平移、旋转. 其中平移是简单的，只要分别在横纵 坐标上加上一个数即可. 下面我们考察旋转，先从最简单的情况—— 一个点绕着原点的旋 转，而事实上，在允许使用平移的情况下，我们也只需考虑绕原点的旋转. 设点P(x, y)，考虑它绕着原点O逆时针旋转θ角得到P 0，则|OP0 | = |OP| = p x 2 + y 2 . 定义r = p x 2 + y 2，设 # » OP与x 轴正方向夹角为ϕ，那么我们有 # » OP的极坐标表示：    x = r cos ϕ y = r sin ϕ . 类似地， # » OP0的极坐标表示为：    x 0 = r cos(ϕ + θ) = r(cos ϕ cos θ − sin ϕ sin θ) = x cos θ − y sin θ y 0 = r sin(ϕ + θ) = r(sin ϕ cos θ + cos ϕ sin θ) = x sin θ + y cos θ . 1

2 §1. 解析几何简介 而在通常情况下，我们在对一个曲线做旋转的时候，最后处理方程时如能得到(x, y)关 于(x 0 , y0 )的关系更好：    x = x 0 cos θ + y 0 sin θ y = −x 0 sin θ + y 0 cos θ (1.1) 方程(1.1)叫做旋转公式. 注记 上述处理问题的手法，灵感来源于平面点与复数的对应. 实际上，平面点的直角坐标 对应于复数的分部形式；平面点的极坐标对应于复数的辐角形式. 若仅考察平移，那么P点经过沿(−x0, −y0)平移变为P 0点的方程(1.2)称为平移公式：    x = x 0 + x0 y = y 0 + y0 (1.2) 结合式(1.1)和(1.2)，我们得到一般的坐标变换公式均可表示为：    x = x 0 cos θ + y 0 sin θ + x0 y = −x 0 sin θ + y 0 cos θ + y0 很多时候，我们更愿意用矩阵形式来表达:   x y   =   x0 y0   +   cos θ sin θ − sin θ cos θ     x 0 y 0   (1.3) 注记 在我们考虑的问题中，不会考虑手性改变以及非刚体的坐标变换. 例1.1 试考察分式线性函数y = ax + b cx + d 的图像. 提示  y − a c x + d c  = bc − ad c 2 . 练习 试做出分式线性函数y = 2x + 3 x + 4 的图像. §1.2 平面二次曲线方程的化简 平面上二次曲线的一般方程是： a11x 2 + 2a12xy + a22y 2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 0 (a 2 11 + a 2 12 + a 2 22 > 0)

§1.3. 二次曲线的不变量 3 也可以写成矩阵式  x y 1    a11 a12 a1 a12 a22 a2 a1 a2 a0     x y 1   = 0 (1.4) 首先考察旋转，由式(1.1)，可知一次项不受影响，而在θ取恰当值的时候，可以将二次 交叉项消掉. 经过计算，在承认arc cot+∞ = 0 (即不旋转)的情况下： θ = − 1 2 arc cot a11 − a22 2a12 . 之后通过配方，即可得到没有一次项的标准形式，从而可判断二次曲线的种类. 例1.2 研究二次曲线5x 2 + 4xy + 2y 2 − 24x − 12y + 18 = 0. 提示 tan θ可取为2，这条曲线是个椭圆！ 例1.3 研究二次曲线4x 2 + 8xy + 4y 2 + 13x + 3y + 4 = 0. 提示 tan θ可取为−1，这条曲线是个抛物线！ §1.3 二次曲线的不变量 我们考察在进行平移和旋转变换之后，有哪些量是不变的. 引入记号： α =   x y   , α0 =   x 0 y 0   , α0 =   x0 y0   , T =   cos θ sin θ − sin θ cos θ   I1 = a11 + a22, I2 =       a11 a12 a12 a22       , I3 =          a11 a12 a1 a12 a22 a2 a1 a2 a0          . 定理1.1.1 在作坐标变换α = T α0 + α0(即(1.3))之后，I1, I2, I3 均不变. 证明 规定在变换以后，方程的系数记号均带有0 . 1. 直接计算： a 0 11 = a11 cos2 θ − 2a12 sin θ cos θ + a22 sin2 θ a 0 22 = a11 sin2 θ + 2a12 sin θ cos θ + a22 cos2 θ

4 §1. 解析几何简介 从而I 0 1 = a 0 11 + a 0 22 = a11 + a22 = I1，这是显然的. 2. 利用矩阵分块理论，把(1.3)代入(1.4)得：  α 0T T T + α T 0 1    A δ δ T a0     T α0 + α0 1   =  α 0T 1    T TAT T TAα0 + T T δ α T 0 AT + δ T T aT 0 Aα0 + 2δ Tα0 + a0     α 0 1   其中A =   a11 a12 a12 a22  ，δ =   a1 a2  . 从而I 0 2 = |T TAT| = |T T ||A||T| = |A| = I2. 3. 由定义知：I 0 3 =       T TAT T TAα0 + T T δ α T 0 AT + δ T T aT 0 Aα0 + 2δ Tα0 + a0       ，但是注意到：   T TAT T TAα0 + T T δ α T 0 AT + δ T T aT 0 Aα0 + 2δ Tα0 + a0   =   I2 0 α T 0 T 1     T T 0 0 1     A δ δ T a0     T 0 0 1     I2 T Tα0 0 1   所以I 0 3 =       I2 0 α T 0 T 1             T T 0 0 1             A δ δ T a0             T 0 0 1             I2 T Tα0 0 1       = |T T |I3|T| = I3. 沿用上述记号，考察只在旋转情况，即α0 = 0的情况下，定义 K1 =       a11 a1 a1 a0       +       a22 a2 a2 a0       . 则K0 1 = (a 0 11 + a 0 22)a0 − (a 02 1 + a 02 2 ) = I 0 1a0 − δ 0T δ 0 = I1a0 − (T δ) T (T T δ) = I1a0 − δ T T T T δ = I1a0 − δ T δ = I1a0 − (a 2 1 + a 2 2 ) = K1. 但是在平移的情况下，K1并不一定是不变量，因此它被称为半不变量. 不过， 当I2 = I3 = 0的时候，K1便成为了不变量. 感兴趣的同学可以尝试证明或去查阅有关资料. 正是因为有了不变量，我们可以利用标准形式下的不变量与原方程的不变量相等的条件， 不需要进行坐标变换的复杂过程，从而直接通过原方程得知二次曲线的形状信息

§1.4. 二次曲线分类理论 5 §1.4 二次曲线分类理论 有了上一节的不变量理论作为铺垫，我们推导系数与二次曲线种类的关系： 一、当I2 6= 0时，在消去二次交叉项之后的I2正是x 02和y 02的系数之积，因此这种情况下两个 二次项均存在，从而可以继续通过对横纵坐标的平移使两个一次项退化. 因而在I2 6= 0情况 下，最终的标准方程为a 0 11x 02 + a 0 22y 02 + a 0 0 = 0. 此时有：I1 = a 0 11 + a 0 22, I2 = a 0 11a 0 22, I3 = a 0 11a 0 22a 0 0，因而a 0 0 = I3 I2 ，且a 0 11和a 0 22是λ 2 − I1λ + I2 = 0 的两根，这个方程被称为特征方程. 1. 当I2 > 0时，a 0 11与a 0 22同号，这种类型叫椭圆型. (1)I1I3 > 0，说明a 0 11, a0 22与a 0 0同号，此时二次曲线是空集. (2)I1I3 0，说明a 0 11和a 0 0同号，二次曲线为空集. (ii)K1 < 0，说明a 0 11和a 0 0异号，二次曲线退化为一对平行直线. (iii)K1 = 0，说明a 0 0 = 0，二次曲线退化为一条直线(一对平行直线重合). 例1.4 考察x 2 − 3xy + y 2 + 10x − 10y + 21 = 0. 直接计算得： I1 = 1 + 1 = 2, I2 =        1 − 3 2 − 3 2 1        = − 5 4 , I3 =           1 − 3 2 5 − 3 2 1 −5 5 −5 21           = − 5 4 . 由I2 < 0，I3 6= 0知这是双曲线. 解特征方程λ 2 − 2λ − 5 4 = 0，得λ1 = − 1 2 , λ = 5 2