线性代数考研辅导讲义
前 言 这份讲义, 是为了辅导 2020 年数学学院考研同学的线性代数所编写, 将来也可能会在我当线性代数助 教的时候拿来用作习题课讲义, 因此, 暂且取名为线性代数习题课讲义好了. 我们把它分成四个章节: 1. 矩阵与 行列式: 包括矩阵与行列式的概念、性质、运算, 相抵标准型, 线性方程组等内容; 2. 线性空间与线性变换: 包 括线性空间, 子空间, 商空间, 直和, 线性变换等内容; 3. 相似标准型: 包括多项式理论, Jordan 标准型, 根子空 间, 多项式矩阵与 Smith 标准型, 有理标准型等内容; 4. 相合与二次型: 包括相合, Euclid 空间, 二次型, 解析几 何等内容. 在内容编排方面, 本讲义主要以整理、总结知识点, 与提供一些例题示范为主, 在此之上适当做出扩展. 当 然, 有些例题是非常困难的, 可能不仅需要大家在课上听, 还需要自己花功夫去演算. 这份讲义只会在每章结尾 有一些问题, 它们的难度是比较大的, 它们没有答案, 但是我们在课上我讲一些, 希望大家能够每当闲暇的时候 就思考一下, 久而久之, 会对思路的养成大有裨益. 而一些简单难度的习题都只被当作例题给出. 如果大家希望 能够多一些题目来帮助自己得到很好的训练, 那么可以参考丘维声《高等代数》(第 2 版) 和李炯生《线性代数》 (第 2 版). 中国首批十八博士之一的李尚志教授曾做一首诗, 其中蕴含了一些线性代数的学习道理, 现分享给大家, 希 望能够对大家有所帮助: 代数几何熔一炉, 乾坤万物坐标书. 图形百态方程绘, 变换有规矩阵筹. 星移斗转落银河, 月印三潭伴碧波. 保短保长皆变换, 能伸能屈是几何. 感谢赵琦学姐撰写欧式空间与内积部分, 魏歆同学撰写正定、二次型部分, 张明月学妹撰写解析几何部分. 笔者水平所限, 如有谬误, 在所难免, 还望广大师生批评指正. 吴天 葛霖 2020 年 于中国科学技术大学
目 录 前 言 i 1 矩阵与行列式 1 1.1 矩阵的定义与基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 行列式的定义与基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 可逆矩阵与初等变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 矩阵与方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 线性空间与线性变换 9 2.1 线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 子空间与直和与商空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 线性变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 相似标准型 19 3.1 多项式理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Jordan 标准型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 多项式矩阵的相抵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 欧式空间与二次型 27 4.1 欧式空间与内积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2 二次型与正定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.3 规范变换与正交变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.4 奇异值分解与酉空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5 空间解析几何 35 5.1 平面与直线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2 二次曲面分类 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.3 二次曲线与二次曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
第 1 章 矩阵与行列式 §1.1 矩阵的定义与基本性质 设 F 是数域, aij ∈ F, 1 ⩽ i ⩽ m, 1 ⩽ j ⩽ n, 称下面的 m 行 n 列的长方形表为数域 F 上的 m × n 矩阵: A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn , 有时也简记为 A = (aij )m×n. 其中, aij 被称作 A 的 (i, j) 元, aii 称为 A 的主对角元素. 通常, 我们习惯于用 Eij 表示 (i, j) 元为 1, 其余元素为 0 的矩阵. 如果 aij = 0, ∀i, j, 则称 A 为零矩阵, 记作 A = 0; 如果 aij = 0, ∀i 6= j, 称 A 为对角矩阵; 如果 aij = 0, ∀i > j, 称 A 为上三角矩阵; 如果 aij = 0, ∀i ⩾ j, 称 A 为严格上三角 矩阵. 类似可以定义下三角矩阵和严格下三角矩阵. 如果 F = R, 称 A 为实矩阵; F = C, 称 A 为复矩阵. 在后 面的叙述中, 没有特殊指明的情况下, 总是默认 F 为一个代数闭域. 我们把 F 上的 m × n 矩阵全体组成的集 合记作 F m×n. 特别地, 在 m = n 时, 称 A 为 n 阶方阵. 考虑 A = (aij ), B = (bij ) ∈ F m×n, λ ∈ F, 定义 A + B := (aij + bij ), λA := (λaij ). 因此, 在定义负矩阵 −A = −1F A 以后, 我们就有了加减法、数乘的概念, 并且它们显然继承了 F 上的加法交换律、结合律; 数乘交 换律、结合律; 加法和数乘共同具有分配律. 考虑 A = (aij ) ∈ F m×n, B = (bij ) ∈ F n×p , 定义矩阵乘法 AB := Xn k=1 aikbkj! ∈ F m×p . 显然, 乘法与数 乘之间具有交换律, 乘法与加法之间具有分配律: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC. 特别地, 在 m = n = p 的时候, AB ∈ F n×n, 这样, 我们有机会研究方阵的交换律和结合律. 结论留作练习: 例题 1.1.1 方阵乘法具有结合律: (AB)C = A(BC), A, B, C ∈ F n×n, 但是并没有交换律. 定义 In = (δij )n×n 为 n 阶单位阵, 容易验证它是矩阵乘法的幺元. 通过上述讨论, 我们得到: (F n×n, +, ·) 是含幺非交换环, 其中 · 表示矩阵乘法. 设 A ∈ F n×n. 定义 A 的 k 次幂 Ak 为 n 个 A 相乘, 这样就可以继 续定义 A 的多项式. 如果存在 k ∈ N ∗ , 使得 Ak = 0, 称 A 为幂零矩阵, 更进一步, 若 k ⩾ 2 且 Ak−1 6= 0, 称 A 为 k 次幂零矩阵. 我们把零矩阵看作一次幂零矩阵. 定义方阵的 Lie 括号运算: [A, B] := AB − BA, 如果 [A, B] = 0, 称 A 和 B 可交换. 请尝试证明如下结论: 例题 1.1.2 F n×n 中与任何方阵都可交换的方阵全体是所有纯量阵 (能够写成单位阵的若干倍), 即 F n×n 的中 心化子 Z(F n×n) = {λIn : λ ∈ F}. 下面通过若干具体例子的计算, 巩固刚刚介绍的概念. 1
例题 1.1.3 计算 1 1 −1 −1 2020 . 提示 注意到 1 1 −1 −1 = 1 −1 1 1 , 并使用乘法结合律. 在你对于一些幂次计算一筹莫展的时候, 尝试计算几项, 观察规律, 配合上归纳法是一种好选择. 例题 1.1.4 计算 0 1 −1 −1 2020 . 例题 1.1.5 计算 λ 1 λ 1 . . . . . . λ 1 λ n n×n . 例题 1.1.6 证明: 方阵 A 与 B 可交换时, Newton 二项式成立: (A + B) n = Xn k=0 n k A kB n−k . 对于方阵 A = (aij ) ∈ F n×n, 还可以定义 A 的迹 tr A = Xn i=1 aii. 它显然是保持加法和数乘的, 换句话说, 它是 F n×n 上面的一个线性函数. 下面的性质十分重要, 证明留作练习: 例题 1.1.7 设 A ∈ F m×n, B ∈ F n×m. 证明: tr(AB) = tr(BA). 回到 A ∈ F m×n 的情况, 定义 A 的转置 AT = (aji) ∈ F n×m. 容易验证, 转置运算是保持加法、数乘的, 而对于乘法具有“穿脱原理”: (AB) T = BT AT . 此外, 两次转置显然相当于不动. 若 AT = A, 称 A 是对称矩阵; 若 AT = −A, 称 A 是反对称矩阵. 显然, 只有方阵有机会成为上述两类矩阵. 不仅如此, 不管 A 是否为方阵, AAT 总是对称方阵. 如果 F = C, 还可以定义 A 的共轭 A = (aij ). 显然, 共轭运算保持加法、数乘、乘法. 不 难验证的是, 转置与共轭运算可交换: AT = A T , 我们通常称它为 A 的 Hermite 元: AH := A T . 称复方阵 A 是 Hermite 方阵, 如果 AH = A; 称复方阵 A 是反 Hermite 方阵, 如果 AH = −A. 显然, AAH 总是 Hermite 的. 例题 1.1.8 证明: 任何方阵都可以唯一分解为对称矩阵与反对称矩阵之和. 提示 当 A 是方阵时, A + AT 总是对称的. 例题 1.1.9 证明: 实对称的二次幂零矩阵一定是零矩阵. 把二次幂零的条件去掉, 结论是否依旧成立? 提示 后者的确是成立的, 不过只使用这节的知识很难证明, 在学完实对称矩阵的相似对角化之后再做比较好. 矩阵的分块, 是处理问题的一个重要技巧. 所谓分块, 相当于把一个矩阵划分为若干个小矩形, 每个矩形内 都是小矩阵, 进而把它们当作元素来进行处理. 容易看出, 恰当地分块在处理实际问题中会有极大的帮助. 称 A 为准上三角矩阵, 如果它在某种分块下能够写上三角的形式, 同理可以定义准严格上三角矩阵、严格下三角矩 阵、准严格下三角矩阵、准对角阵. 通常我们把准对角阵的对角分块简记为 A = diag(A1, · · · , Ak). 例题 1.1.10 设 A, X ∈ F n×n, 考虑 X 的列向量分块 X = (X1, · · · , Xn), 满足 AXi = λiXi, λi ∈ F, ∀1 ⩽ i ⩽ n. 求矩阵 B, 满足 AX = XB
§1.2 行列式的定义与基本性质 称 (j1 · · · jn) 为 n 元排列, 如果 {ji : 1 ⩽ i ⩽ n} = {i : 1 ⩽ i ⩽ n}. n 元排列的全体记为 Sn, 显然 |Sn| = n!. 称排列 (j1 · · · jn) 的逆序数为满足 p jq 的 (p, q) 的个数, 记作 τ (j1 · · · jn). 如果排列 的逆序数为奇数, 称之为奇排列, 否则为偶排列. 如果只交换排列中的两个数, 称做了一次对换. 容易验证, 对 换必定会改变排列的奇偶性. 通过对换的概念, 结合上述逆序数的定义, 我们可以证明任何排列通过对换, 变为 (12 · · · n) 的对换次数不是固定的, 但是对换次数奇偶性是固定的, 且与排列的奇偶性相同. 因此, 定义排列的符 号 sgn(j1 · · · jn) = (−1)τ(j1···jn) . 有了这些准备工作, 我们定义 n 阶方阵 A = (aij ) 的行列式: det A = |A| = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann = X (j1···jn)∈Sn sgn(j1 · · · jn) Yn k=1 akjk . 结合排列的性质, 以及上述定义, 我们能够得到行列式的按第 i 行 (列也是可以的) 展开: |A| = Xn j=1 aijAij , 其中 Aij = (−1)i+j a11 · · · a1,j−1 a1,j+1 · · · a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ai−1,1 · · · ai−1,j−1 ai−1,j+1 · · · ai−1,n ai+1,1 · · · ai+1,j−1 ai+1,j+1 · · · ai+1,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 · · · an,j−1 an,j+1 · · · ann 被称作 aij 的代数余子式. 将此展开式推 广到更一般的情况: 定义 A i1 · · · ir j1 · · · jr 为 A 的第 i1, · · · , ir 行和第 j1, · · · , jr 列的交叉元按照原来的顺序 排列而成的 r 阶方阵的行列式 (这被称作 A 的一个 r 阶子式). 我们有 Laplace 展开定理: |A| = X 1⩽k1 m, 则 |AB| = 0; 如果 n = m, 则 |AB| = |A||B|; 如果 n m 时, AB 比 A 和 B 的尺寸都要大, 看起来像是被稀 释了一样, 进而 |AB| = 0; 而 n < m 时, AB 比 A 和 B 的尺寸都要小, 看起来被浓缩了, 进而 |AB| 不一定为
0; n = m 时, |AB| = |A||B| 很自然, 这说明 det 是方阵乘法的同态. 上面提到的性质有的可以很容易地使用上述讨论直接证明, 有的可能在之后学习完初等矩阵、矩阵的秩之 后才会理解地更透彻一些. 以上所有性质的证明在任何一本合格的线性代数教材上都能找到, 此处省略. 值得 一提的是, 行列式有一个更加抽象的定义: n 维线性空间 F n 上的规范反对称 n 重线性函数. 它与我们的定义 是完全等价的, 感兴趣的同学可以参考李炯生《线性代数》的 2.1、2.2 节. 例题 1.2.1 写出行列式 x 1 2 3 x x 1 2 2 3 x 1 x 2 3 x 中含 x 4 和 x 3 的项. 提示 这道题考验你是否真正理解了行列式的定义. 例题 1.2.2 设 aij (x) 在 R 上可导, ∀1 ⩽ i, j ⩽ n, A(x) = |aij (x)|n×n, 记 Ai(x) 为 A(x) 的第 i 行求导, 其余 不变组成的行列式. 证明: A′ (x) = Xn i=1 Ai(x). 提示 按行展开, 再利用归纳法应该是可以的. 例题 1.2.3 n 元排列 (n,(n − 1), · · · 3, 2, 1) 是奇排列还是偶排列? 例题 1.2.4 计算 1 2 3 4 1 2 0 −5 3 −1 −1 0 1 0 1 2 . 很多时候, 所有行 (列) 的元素之和相同是一个很好利用的条件. 例题 1.2.5 证明: x a · · · a a x · · · a . . . . . . . . . . . . a a · · · x = [x + (n − 1)a](x − a) n−1 . 例题 1.2.6 证明: 1 2 3 · · · n − 1 n 2 3 4 · · · n 1 3 4 5 · · · 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . n 1 2 · · · n − 2 n − 1 = n(n + 1) 2 (−1) n(n−1) 2 n n−2 . 还有些时候, 需要利用行列式的特点, 把尽可能多的位置变为 0(打洞), 方便进一步地计算. 例题 1.2.7 证明: a1 b2 · · · bn c2 a2 . . . . . . cn an = Yn k=1 ak − Xn j=2 bj cj Y k̸=1,j ak
例题 1.2.8 证明: 1 3 3 · · · 3 3 2 3 · · · 3 . . . . . . . . . . . . 3 3 · · · n − 1 3 3 3 · · · 3 n = −7, n = 2, 6(n − 3)!, n ⩾ 3. 有些问题可以使用归纳法, 尝试递归或求处关于阶数的递推式. 注意到行列式的本质是多项式, 一定是连 续的, 因此在求含参数的行列式时, 参数的某些特殊情况是无需特别考察的, 只需用连续性取极限即可. 例题 1.2.9 证明: 2 cos θ 1 0 · · · 0 1 2 cos θ 1 · · · 0 0 1 2 cos θ · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 2 cos θ = n + 1, θ = 0, sin(n + 1)θ sin θ , θ 6= 0. 例题 1.2.10 证明 Vandermonde 行列式: 1 1 · · · 1 x1 x2 · · · xn x 2 1 x 2 2 · · · x 2 n . . . . . . . . . x n−1 1 x n−1 2 · · · x n−1 n = Y 1⩽j<i⩽n (xi − xj ) 例题 1.2.11 证明友矩阵的行列式: x 0 · · · 0 an −1 x · · · 0 an−1 0 −1 · · · 0 . . . . . . . . . x a2 0 0 · · · −1 x + a1 = x n + Xn k=1 akx n−k . 不要忘记, Laplace 展开也是很好用的方法, 尤其是针对稀疏矩阵 (0 的个数很多的矩阵). 例题 1.2.12 证明: a1 b1 c1 d1 0 0 a2 b2 c2 d2 0 0 a3 b3 c3 d3 0 0 0 0 a1 b1 c1 d1 0 0 a2 b2 c2 d2 0 0 a3 b3 c3 d3 = AD − BC, 其中 A, B, C, D 依次是由 a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3 删 掉第 1, 2, 3, 4 列得到的三阶行列式. 例题 1.2.13 设 A = (aij ), aij 对应的代数余子式为 Aij , 证明: Xn j=1 aijAkj = δik det A. 下面看一些综合性的题目. 例题 1.2.14 证明: c1 a2 a3 · · · an a1 c2 a3 · · · an a1 a2 c3 · · · an . . . . . . . . . . . . a1 a2 a3 · · · cn = Yn i=1 (ci − ai) +Xn j=1 aj Y i̸=j (ci − ai)
提示 与我们按行 (列) 展开相反, 加行 (列) 在某些题目中会收到奇效. 例题 1.2.15 证明: 奇数阶反对称矩阵的行列式为 0; 偶数阶反对称矩阵的所有元的代数余子式之和为 0. 例题 1.2.16 证明: ∆n = x a1 a2 · · · an−1 a1 x a2 · · · an−1 a1 a2 x · · · an−1 . . . . . . . . . . . . a1 a2 a3 · · · x = x + nX−1 k=1 ak ! nY−1 k=1 (x − ak). 提示 把它看作关于 x 的多项式, 你是否能尝试找出所有的根呢? 行列式的计算题目纷繁复杂, 上面只能介绍基本的一些方法, 如何能够更加熟练, 还要靠自己多下功夫. §1.3 可逆矩阵与初等变换 我们把方阵 A ∈ F n×n 的逆矩阵记作 A−1 , 满足 A−1A = AA−1 = In. 此时, 我们称 A 是可逆矩阵. 这样 的话, 我们就可以理解前面所讲的 F n×n 是一个含幺环的原因了. 记 GLn(F) 为 F 上所有 n 阶可逆矩阵全体, 那么它是 F n×n 的单位群. 由于群中元素的逆是唯一的, 因此逆矩阵如果存在总是唯一的, 并且逆矩阵的逆矩 阵是本身. 矩阵的逆是保持数乘的: (λA) −1 = λ −1A−1 ; 矩阵的逆也有穿脱原理: (AB) −1 = B−1A−1 ; 矩阵的逆 和共轭、转置都是可交换的. 例题 1.3.1 已知 A 是方阵, Ak = 0. 证明: k X−1 j=0 Aj j! −1 = k X−1 j=0 (−1)jAj j! . 提示 可以直接计算验证. 不过想想, 为什么是这种形式呢? 你是否能联想到某个函数的 Taylor 级数? 那么矩 阵是否可以定义指数函数呢? 这些我们后面会讨论. 那么, 如何具体地计算逆矩阵呢? 定义 A 的伴随矩阵 A∗ = A11 A21 · · · An1 A12 a22 · · · An2 . . . . . . . . . A1n A2n · · · Ann , 其中 Aij 为 aij 的 代数余子式. 容易发现: AA∗ = A∗A = |A|In, 因此 A−1 = 1 |A| A ∗ . 直接利用伴随矩阵的构造, 我们能够证明: A 可逆当且仅当 |A| 6= 0. 不仅如此, 结合逆矩阵的定义和例题 1.2.13, 我们还可以得到著名的 Cramer 法则: 设 A ∈ GLn(F), b ∈ F n×1 , 则线性方程组 Ax = b 存在唯一解 x = A−1 b, 满足 x 的第 k 个分量为 δk δ , 其中 δ = |A|, δk 为把 A 的第 k 列换成 b 的矩阵的行列式. 这个法则直观地给出了如何求解满秩方程组的算法, 从 数值的角度来看, 它的运算复杂度为 O(n!), 这显然是不可接受的, 但是它具有深刻的理论意义. 例题 1.3.2 验证伴随矩阵的几条性质: (1) (λA) ∗ = λ n−1A∗ ; (2) (AB) ∗ = B∗A∗ ; (3) (A∗ ) ∗ = |A| n−2A. 称以下三种操作为对矩阵的初等行变换: (1) 交换第 i, j 行; (2) 把第 j 行的 λ 倍加到第 i 行; (3) 第 i 行乘以 非零的 λ 倍. 易知, 上述情况分别相当于把下述矩阵乘到被操作矩阵的左侧: (1) Pij = In−Eii−Ejj+Eij+Eji, (2) Tij (λ) = In + λEij , (3) Di(λ) = In + (λ − 1F )Eii. 这些矩阵被称为初等矩阵. 通过转置可知, 初等列变换 是相当于矩阵右侧乘以对应的初等矩阵, 这个规律被称为“行左列右”. 之所以定义初等变换的概念, 是因为这些变换正好对应我们求解线性方程组的必要操作: (1) 调整方程、变 量位置; (2) 加减消元; (3) 乘以倍数. 这也是研究矩阵理论的重要原因之一. 而通过求解方程组的过程, 以及初 等行 (列) 变换等价于在左 (右) 侧乘初等矩阵的结论, 我们能够总结出李炯生 118 页例 1 求逆矩阵的方法. 如
果把其中右侧的单位矩阵替换为一般矩阵, 做类似操作之后, 可以直接求解矩阵方程 AX = B. 我们尝试研究分块矩阵的初等变换. 给出几道例题: 例题 1.3.3 (Schur 公式) 设 A ∈ GLm(F), B ∈ F m×n, C ∈ F n×m, D ∈ F n×n. 证明: A B C D = |A||D − CA−1B|. 例题 1.3.4 设 A, B ∈ C n×n. 证明: A −B B A = |A + iB||A − iB|. 李炯生 118 页例 1 建议大家仔细阅读, 从中不难发现: 任何可逆矩阵可以表示为有限个初等矩阵乘积. 对于一般的矩阵 A ∈ F m×n , 我们允许你同时使用行、列初等变换, 在有限次操作之后, 总可以将 A 变换为 Ir 0 0 0 的形状. 定义 r = rank A 为矩阵 A 的秩, 矩阵 Ir 0 0 0 为 A 的相抵标准型. 这里要解释一下所谓 的相抵: 设 A, B ∈ F m×n, 称 A 与 B 相抵, 如果存在 P ∈ GLm(F), Q ∈ GLn(F), 使得 B = P AQ. 所谓相抵标准型, 指的是所有的矩阵都可以唯一相抵与 Ir 0 0 0 型矩阵, 换句话说, 相抵是一个等价关系, 它按照秩, 把所有矩阵分成了若干等价类, 同一等价类中的所有矩阵之间两两相抵. 因此, 两个矩阵相抵, 当且 仅当二者形状一样且秩相等. 在第三章, 大家还会接触到相似标准型的概念. 请尝试证明如下几条秩的性质: 例题 1.3.5 矩阵的秩正好是它的所有非零子式的最高阶数. 例题 1.3.6 A ∈ F m×n, 证明: rank A ⩽ min{m, n}. 特别地, 不等式取等时, 我们称 A 是满秩的. 例题 1.3.7 A ∈ F m×n, B ∈ F n×p , 证明: rank(AB) ⩽ rank A. 取等一定说明 B 满秩吗? 例题 1.3.8 证明: rank A 0 C B ⩾ rank A + rank B. 特别地, 当 C = 0 时, 不等式取等. 例题 1.3.9 证明: rank(A, B) ⩽ rank A + rank B. 例题 1.3.10 设 A ∈ F n×n, 证明: (1) 如果 A 满秩, 则 A∗ 满秩; (2) 如果 rank A = n − 1, 则 rank A∗ = 1; (3) 如果 rank A ⩽ n − 2, 则 A∗ = 0. 例题 1.3.11 设 A ∈ F m×n, rank A = r. 证明: 存在两个满秩矩阵 P ∈ F m×r , Q ∈ F r×n, 使得 A = P Q. 上述例题的证明只要使用秩的概念、初等变换即可, 留给大家作为练习. 例题 1.3.11 是满秩分解定理. 下 面介绍著名的 Frobenius 秩不等式: 设 A ∈ F m×n, B ∈ F n×p , C ∈ F p×q , 则 rank AB + rank BC − rank B ⩽ rank ABC. 大家可以尝试自己想一想证明方法, 如果未能成功, 请参考李炯生 130 页. 令 B = In, 得到 Sylvester 秩不等式: rank A + rank C − n ⩽ rank AC. 上述两个秩不等式在一些秩不等式的证明题中会有巧妙的运用, 此处不再赘述. 秩不等式的证明, 也需要 大家花功夫做一些题目, 来巩固提升自己对于秩的性质的运用能力. 在本节的最后, 我们讨论一个重要的行列式恒等式, 它是使用分块矩阵的初等变换证明的. 例题 1.3.12 设 A ∈ F m×n, B ∈ F n×m, λ ∈ F. 证明: λ n det(λIm − AB) = λ m det(λIn − BA). 提示 仿照 Schur 公式的证明, 对 Im A B In 进行两种方式初等变换. 例题 1.3.12 的结论如果灵活运用, 在一些行列式的计算中会有简便许多