长治学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）04 矩阵

第四章矩阵81矩阵概念的一些背景在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象1.在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴（反时针方向转轴），那么平面直角坐标变换的公式为x=xcosg-y'sin g,(1)y=x'sinの+y'cosg其中6为x轴与x轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排成的2×2矩阵(cos-sin 0)(2)(sincosa)表示出来通常，矩阵(2)称为坐标变换（1)的矩阵.在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换有公式x=ax'+ai2y'+ai=",(3)y=a2ix'+a22y'+a22",z=a3x'+a32J'+a33z".同样，矩阵(α α2 α)(4)a21a22α23(a31a32a33)就称为坐标变换(3)的矩阵.2.二次曲线的一般方程为

第四章 矩 阵 §1 矩阵概念的一些背景 在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在 它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变 换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都 提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的 研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩 阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概 念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象. 1. 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴(反时针方 向转轴)，那么平面直角坐标变换的公式为    =  +  =  −  sin cos , cos sin ,     y x y x x y (1) 其中  为 x 轴与 x  轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系 数所排成的 2  2 矩阵         −     sin cos cos sin (2) 表示出来.通常，矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵.在空间的情形，保持原点不 动的仿射坐标系的变换有公式      =  +  +  =  +  +  =  +  +  . , , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 z a x a y a z y a x a y a z x a x a y a z (3) 同样，矩阵           31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a (4) 就称为坐标变换(3)的矩阵. 2. 二次曲线的一般方程为

ax?+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0(5)(5)的左端可以简单地用矩阵abd(6)bcdef来表示.通常，6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到，这种表示法不只是形式的3．在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说煤，有s个产地A,A，A，n个销地B,B，，B.，那么一个调动方案就可以用一个矩阵ana2..ana21a22..a2(asias2..asm来表示，其中α，表示由产地A,运到销地B,的数量4.n维向量也可以看成矩阵的特殊情形.n维行向量就是1×n矩阵，n维列向量就是nx1矩阵以后用大写的拉丁字母A,B,，或者(a,),(b,),..来表示矩阵有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把sxn矩阵写成Asm,Bsm"，或者(ag). (b,)m..(注意矩阵符号与行列式的符号的区别)设A=(au),(bu)k，如果m=l,n=k，且a=bu，对i=1,2,m,j=1,2,n都成立，我们就说A=B.即只有完全一样的矩阵才叫做相等

2 2 2 0 2 2 ax + bxy + cy + dx + ey + f = (5) (5)的左端可以简单地用矩阵           d e f b c e a b d (6) 来表示.通常，(6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到，这种表示法不只 是形式的. 3. 在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵.例如，假设在某一地 区，某一种物资，比如说煤，有 s 个产地 A A As , , , 1 2  ，n 个销地 B B Bn , , , 1 2  ， 那么一个调动方案就可以用一个矩阵               s s sn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 来表示，其中 ij a 表示由产地 Ai 运到销地 Bj 的数量. 4. n 维向量也可以看成矩阵的特殊情形. n 维行向量就是 1n 矩阵， n 维列向量就是 n1 矩阵. 以后用大写的拉丁字母 A, B,  ，或者 (aij),(bij),  来表示矩阵. 有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把 sn 矩阵 写 成 Asn ,Bsn ,  ，或者 (aij) sn ,(bij) sn ,  (注意矩阵符号与行列式的符号的区别). 设 ( ) ( ) lk A aij mn bij = , ，如果 m = l, n = k ， 且 aij = bij ， 对 i = 1,2,  ,m; j = 1,2,  ,n 都成立，我们就说 A = B .即只有完全一样的矩阵才 叫做相等

一

82矩阵的运算教学目的熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置的定义和运算律，了解矩阵运算产生的一些背景，重点矩阵乘法，矩阵的转置难点矩阵乘法的定义和运算律；矩阵乘法不适合交换律、消去律.教学过程现在来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的1.加法定义1设ana12aina21a22. a2nA=(ag)m::：asta..asn(bub2.bnb21b22..b2nB=(by)m:……bslbs2..bsm是两个sxn矩阵，则矩阵(aji+bai2+b2..ain+bina2 +b21 a22 +b22 .. a2m+bmC=(cu)=(a, +b,)：：as+bslas2+b2.:asn+bsn称为A和B的和，记为C=A+B矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法

§2 矩阵的运算 教学目的 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置的定义和运算律，了解 矩阵运算产生的一些背景. 重 点 矩阵乘法，矩阵的转置. 难 点 矩阵乘法的定义和运算律；矩阵乘法不适合交换律、消去律. 教学过程 现在来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系. 下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置. 为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的 数组成的. 1. 加法 定义 1 设 ( )               = = s s sn n n sn ij a a a a a a a a a A a       1 2 21 22 2 11 12 1 , ( )               = = s s sn n n sn ij b b b b b b b b b B b       1 2 21 22 2 11 12 1 是两个 sn 矩阵，则矩阵 ( ) ( )               + + + + + + + + + = = + = s s s s s n s n n n n n s n i j i j s n i j a b a b a b a b a b a b a b a b a b C c a b       1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 称为 A 和 B 的和，记为 C = A+ B. 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同 的行数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法

所以不难验证，它有结合律：A+(B+C)=(A+B)+C;交换律：A+B=B+A.元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O，在不致引起含混的时候，可简单地记为O.显然，对所有的AA+O=A.矩阵-au-ai2..-ain-a21-a22...-a2n-a-as2..-asm称为矩阵A的负矩阵，记为-A.显然有A+(-A)=O矩阵的减法定义为A- B= A+(-B)例如在s1我们看到，某一种物资如果有s个产地，n个销地，那么一个调动方案就可表示为一个s×n矩阵.矩阵中的元素α,表示由产地A,要运到销地B，的这个物资的数量，比如说吨数.如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销地，那么，这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵.于是从产地到销地的总的运输量也可以表示为一个sxn矩阵.显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质，很容易看出：秩（A+B）≤秩（A）+秩（B）2.乘法在给出乘法定义之前，先看一个引出矩阵问题设x,x2,x3,x和yi,y2y是两组变量，它们之间的关系为

所以不难验证，它有 结合律： A + (B + C) = (A + B) + C ; 交换律： A + B = B + A . 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 Osn ，在不致引起含混的时候，可 简单地记为 O.显然，对所有的 A ， A+O = A. 矩阵               − − − − − − − − − s s sn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 A 的负矩阵，记为− A .显然有 A + (−A) = O 矩阵的减法定义为 A − B = A + (−B) 例如 在§1 我们看到，某一种物资如果有 s 个产地， n 个销地，那么一 个调动方案就可表示为一个 sn 矩阵.矩阵中的元素 ij a 表示由产地 Ai 要运 到销地 Bj 的这个物资的数量，比如说吨数.如果从这些产地还有另一个物资 要运到这些销地，那么，这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵.于是 从产地到销地的总的运输量也可以表示为一个 sn 矩阵.显然，这个矩阵就 等于上面两个矩阵的和. 根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质，很容易看出： 秩（ A + B ）≤ 秩（ A ）+秩（ B ） 2. 乘法 在给出乘法定义之前，先看一个引出矩阵问题. 设 1 2 3 4 x , x , x , x 和 1 2 3 y , y , y 是两组变量，它们之间的关系为

X, =ay +ai2y2 +ay3,X2=a2iyi+a22yz+a23y3,(1)X,=aiyi+a2y2 +ay3,xy=a4iy+a42y2+a433又如z,=,是第三组变量，它们与yi,y2,y的关系为[yi = bl121 +b1222 ,(2)y2=b212f +b222,[y3 = b3121 +b3232.由(1)与(2)不难看出x1,x2,x3,x4与z1,z,的关系：3=x=a(b=)=abp-k=lj=lk=l j=l(3)2aub==2(ab),(i=1,2,3,4)台台如果我们用(4)(i=1,2,3,4)c"jx=j=l来表示x,x2,x3,x4与z1,=,的关系，比较(3),(4)，就有NZaxbu(i=1,2,3,4;j=1,2)(5)Cu=k=l用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵A=(ak)43, B=(b,)2分别表示变量x1,x2,x3,x4与yy2,y以及y,2,y与z,,之间的关系，那么表示x,x2,x3,x与z,z之间的关系的矩阵C =(c,)42就由公式（5)决定.矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB一般地，我们有：定义2设

       = + + = + + = + + = + + . , , , 4 41 1 42 2 43 3 3 31 1 32 2 33 3 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 13 3 x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y (1) 又如 1 2 z ,z 是第三组变量，它们与 1 2 3 y , y , y 的关系为      = + = + = + . , , 3 31 1 32 2 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2 y b z b z y b z b z y b z b z (2) 由(1)与(2)不难看出 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 z ,z 的关系： ( ) ( 1,2,3,4) ( ) 2 1 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 = = = = = =        = = = = = = = = = a b z a b z i x a y a b z a b z j j k j k i k kj j i k kj k j i k kj j k j i k kj j k i i k k . (3) 如果我们用 ( 1,2,3,4) 2 1 =  = = x c z i j i ij j (4) 来表示 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 z ,z 的关系，比较(3),(4)，就有 ( 1,2,3,4; 1, 2) 3 1 =  = = = c a b i j k ij ik kj (5) 用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵 ( ) ( ) 43 32 , A = aik B = bkj 分别表示变量 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 3 y , y , y 以及 1 2 3 y , y , y 与 1 2 z ,z 之间的关系，那 么表示 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 z ,z 之间的关系的矩阵 ( ) 42 ij C = c 就由公式(5)决定.矩阵 C 称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为 C = AB 一般地，我们有： 定义 2 设

A=(ax)m, B=(b,)m那么矩阵C=(c,)m其中C,=ab,+ ,ba, aub-Zaubyk=l(6)称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB.由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵A与B的乘积C的第i行第i列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对应元素的乘积的和.当然，在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等.例1设034021-112130A:,B:-1131-1045-1-121那么03X1026-57-12103AB=102-1-631405-1171022例2如果A=(a,)m是一线性方程组的系数矩阵，而

( ) ( ) ik sn kj nm A = a , B = b , 那么矩阵 ( ) ij sm C = c , 其中 = = + + + = n k ij ai b j ai b j ai nbnj ai kbkj c 1 1 1 2 2  , (6) 称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为 C = AB. 由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵 A 与 B 的乘积 C 的第 i 行第 j 列的元 素等于第一个矩阵 A 的第 i 行与第二个矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积 的和.当然，在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的 列数相等. 例 1 设               − − =           − − − = 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 , 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 A B , 那么           − − − =               − −           − − − = 2 17 10 10 2 6 5 6 7 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 AB 例 2 如果 ( ) sn A = aij 是一线性方程组的系数矩阵，而

b,xib2xX =R...(b,)xn分别是未知量和常数项所成的nx1和sx1矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵的等式AX =B.例3在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系(x,J1,=)到(x2,y2,=2)的坐标变换的矩阵为(aai2ai3A=a21a22Q23(a3)a32a33如果令(x2(X)X =X2y2yi(-2）21)那么坐标变换的公式可以写成X =AX,.如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系(x2,y2,z2)到第三个坐标系(x3,Js,=,)的坐标变换公式为X, = BX3,其中(bbi2br3)X3b22B=b21b23X, =Y3(b3b33)b32(-3)那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为C=AB矩阵的乘法适合结合律设

              =               = n bs b b B x x x X   2 1 2 1 , 分别是未知量和常数项所成的 n1 和 s 1 矩阵，那么线性方程组就可以写 成矩阵的等式 AX = B . 例 3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系 ( , , ) 1 1 1 x y z 到 ( , , ) 2 2 2 x y z 的坐标变换的矩阵为           = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a A 如果令           =           = 2 2 2 2 1 1 1 1 , z y x X z y x X , 那么坐标变换的公式可以写成 X1 = AX2 . 如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系 ( , , ) 2 2 2 x y z 到第三个坐标系 ( , , ) 3 3 3 x y z 的坐标变换公式为 X2 = BX3 , 其中           =           = 3 3 3 3 31 32 33 21 22 23 11 12 13 , z y x X b b b b b b b b b B . 那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为 C = AB. 矩阵的乘法适合结合律.设

A=(ay)m, B=(bk)m,C=(cu) m则(AB)C = A(BC)但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来AB+BA例如，设4-(1 -) -( )4B-(1 -1 )-(8 8)而μ-(1 1-)-(2 2)由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当AB=AC时，不一定有B=C定义3主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的nxn矩阵(10..0)01..01:00..1称为n级单位矩阵，记为E，，或者在不致引起含混的时候简单写为E.显然有AsnE,= Asn,E,As,=Asm矩阵的乘法和加法还适合分配律，即A(B+C) = AB+ AC(9)

( ) ( ) ( ) jk nm kl mr sn ij A = a , B = b , C = c 则 (AB)C = A(BC). 但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来 AB  BA. 例如，设         − − =         − − = 1 1 1 1 , 1 1 1 1 A B         =        − −         − − = 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 AB , 而         − − =        − −         − − = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 BA . 由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩 阵乘法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当 AB = AC 时,不一 定有 B = C. 定义 3 主对角线上的元素全是 1，其余元素全是 0 的 nn 矩阵               0 0 1 0 1 0 1 0 0       称为 n 级单位矩阵，记为 En ，或者在不致引起含混的时候简单写为 E .显然 有 AsnEn = Asn , Es Asn = Asn . 矩阵的乘法和加法还适合分配律，即 A(B + C) = AB + AC (9)

(10)(B +C)A = BA + BC应该指出，由于矩阵的适合交换律，所以(9)与(10)是两条不同的规律我们还可以定义矩阵的方幂.设A是一nxn矩阵，定义[A' =A,LAk+I=A*A换句话说，A*就是k个A连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法的结合律，不难证明A'A' = A**,(A)=A.这里k,1是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律，所以（AB)*与A*Bk般不相等3.数量乘法定义4矩阵(kaka2..kamkaaka2..kazn…目ka,ka,2...kasm称为矩阵A=(）与数k的数量乘积，记为kA.换句话说，用数k乘矩阵就n是把矩阵的每个元素都乘上k.数量乘积适合以下的规律：(11)(k+I)A=kA=IA(12)k(A+ B)= kA+ kB(13)k(IA)=(k)A1A= A(14)(15)k(AB)=(kA)B= A(kB)矩阵

(B + C)A = BA + BC (10) 应该指出，由于矩阵的适合交换律，所以(9)与(10)是两条不同的规律. 我们还可以定义矩阵的方幂.设 A 是一 nn 矩阵，定义     = = + . , 1 1 A A A A A k k 换句话说， k A 就是 k 个 A 连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由 乘法的结合律，不难证明 k l k l A A A + = , k l kl (A ) = A . 这里 k,l 是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律，所以 k (AB) 与 k k A B 一 般不相等. 3. 数量乘法 . 定义 4 矩阵               s s sn n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka       1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 ( ) sn A = aij 与数 k 的数量乘积，记为 kA.换句话说，用数 k 乘矩阵就 是把矩阵的每个元素都乘上 k . 数量乘积适合以下的规律： (k + l)A = kA = lA (11) k(A + B) = kA+ kB (12) k(lA) = (kl)A (13) 1A = A (14) k(AB) = (kA)B = A(kB) (15) 矩阵