长治学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）05 二次型

第五章 二次型81二次型及其矩阵表示教学目的了解二次型理论的来源及讨论的主要问题，理解二次型和线性替换的概念，熟练掌握二次型的矩阵表示、矩阵合同的定义与性质。重点二次型的矩阵表示、矩阵合同难点矩阵的合同教学过程引入：二次型的理论起源于解析几何，我们知道，中心在原点的有心二次曲线的一般方程是：f(x,y)=ax2 +2bxy+cy?(1)我们可以选择一个适当的角度，经旋转变换x=xcoso-y'singy= x'sing+y'coso(2)就可以化为标准方程g(x,y)=ax2 +by2(1)在二次曲面中也有类似的情况（1），（1'）都是二次齐次多项式，本章就来介绍二次齐次多项式的最基本性质.一、二次型及其矩阵表示设P是一个数域，一个系数在数域P中的x，,x,的二次齐次多项式f(xj,x2,,xn)=ax+2a2xx2+..+2anxjx,+a2x? +...+2a2nx2x,+.+ammx(3)称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型定义1设x,x,yi,y是两组文字，系数在数域P中的一组关系式

第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵表示 教学目的 了解二次型理论的来源及讨论的主要问题，理解二次型和线性 替换的概念，熟练掌握二次型的矩阵表示、矩阵合同的定义与性质. 重 点 二次型的矩阵表示、矩阵合同. 难 点 矩阵的合同 教学过程 引入：二次型的理论起源于解析几何，我们知道，中心在原点的有心 二次曲线的一般方程是： . （1） 我们可以选择一个适当的角度 ，经旋转变换 （2） 就可以化为标准方程 （ 1 ） 在二次曲面中也有类似的情况. （1），（ 1 ）都是二次齐次多项式，本章就来介绍二次齐次多项式的最基 本性质. 一、二次型及其矩阵表示 设 P 是一个数域,一个系数在数域 P 中的 n x , , x 1  的二次齐次多项式 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 2 2 2 (3) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 n n n n n n n = a x + a x x ++ a x x + a x ++ a x x ++ a x 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称二次型. 定义 1 设 n n x , , x ; y , , y 1  1  是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系 式 2 2 f x y ax bxy cy ( , ) 2 = + +  cos sin , sin cos , x x y y x y      = −    = +    2 2 g x y a x b y ( , ) .       = +

X,=Cuyi+Ci2y2+..+Cinyn,X2 =C21yi+C22y2+...+C2nJn,(4)x,=Cnyi+Cny2+.+Cmyn称为由xi,x,到yy的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式c+0,那么线性替换(4)就称为非退化的线性替换把二次型变成二次型令a,=ai,i<j由于x,x=x,x，,所以二次型(3)可写成f(x1,X2,,x,)=aux+a2Xx +...+anxn+a21xf+a+.+an2xn+..+anx.x+anx,x,+...+anx?-22ax(5)i=l j=l把(5)的系数排成一个nxn矩阵(aa12.aina21a22.a2nA=(6)(anan2..am它称为二次型(5)的矩阵.因为a=ai,i,j=1,2,,n，所以A'=A把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令

       = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 , , (4) 称为由 n x , , x 1  到 n y , , y 1  的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列 式 cij  0 ,那么线性替换(4)就称为非退化的. 线性替换把二次型变成二次型. 令 a a ,i j . ij = ji  由于 , i j j i x x = x x 所以二次型(3)可写成 (5) ( , , , ) 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 = = = + + + + + + + + + = + + + n i n j i j i j n n n n n n n n n n n n a x x a x x a x x a x a x x a x a x x f x x x a x a x x a x x      把(5)的系数排成一个 nn 矩阵 , 1 2 21 22 2 11 12 1               = n n nn n n a a a a a a a a a A        (6) 它称为二次型(5)的矩阵.因为 a a ,i, j 1,2, ,n, ij = ji =  所以 A = A 把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令

aatsa21a22X'AX =(x..X..X..(anan2ax,+a2x,+...+anna21xf +a22X2 +..+a2nxn(x,x.,xanx,+an2x2+...+amxn11Zaxx,i=l j=l或f(x,X2,..,x,)= X'AX应该看到二次型(3)的矩阵A的元素,当i+j时a,=α正是它的x,x项的系数的一半,而α，是x项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型f(x,X2,"".,x,)=XAX =X'BX且A'=A,B=B则A=B.令CnC12Ciny2C21C22C2rC=..(Cmlyn)Cn2C.于是线性替换（4）可以写成xiVCllC1x2C21y2C22C2r:..(xnCnlC.V或者X=CY经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，替换后的二次型与原

( ) ( ) = = =               + + + + + + + + + =                              = n i n j i j i j n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x x x x a a a a a a a a a X AX x x x 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 , , , , , ,               或 f (x1 , x2 ,  , xn ) = X AX 应该看到二次型(3)的矩阵 A 的元素,当 i  j 时 aij = a ji 正是它的 i j x x 项的系数的一半,而 ii a 是 2 i x 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决 定的.由此可得,若二次型 f (x1 , x2 ,  , xn ) = XAX = XBX 且 A = A, B = B ,则 A = B . 令               =               = n n nn n n n y y y Y c c c c c c c c c C         2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 , , 于是线性替换（4）可以写成                             =               n n nn n n n n y y y c c c c c c c c c x x x          2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 或者 X = CY . 经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，替换后的二次型与原

来的二次型之间有什么关系？有必要继续探讨设(7)f(xi,X2,",x.)=X'AX,A=A"是一个二次型，作非退化线性替换(8)X=CY,得到一个，y，…,y的二次型Y'BY.二、矩阵的合同关系现在来看矩阵A与B的关系把（8）代入（7)，有F(X,X2,"",X,)=X'AX =(CY)'A(CY)=Y'C'ACY= Y'(C'AC)Y = Y'BY.易看出，矩阵C'AC也是对称的，并且还有B=CAC这是非退化线性变换前后两个二次型的矩阵的关系。定义2数域P上两个n阶矩阵A，B称为合同的，如果有数域P上可逆的nxn矩阵C,使得B=C'AC.合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质：1）自反性：任意矩阵A都与自身合同2）对称性：如果B与A合同,那么A与B合同3）传递性：如果B与A合同,C与B合同,那么C与A合同因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。这样把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。最后指出，在变换二次型时，总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何上看，这一点是自然的，因为坐标变换一定是非退化的。一般地，当线

来的二次型之间有什么关系？有必要继续探讨. 设 f (x , x , , xn ) = XAX, A = A 1 2  (7) 是一个二次型，作非退化线性替换 X = CY , (8) 得到一个 n y , y , , y 1 2  的二次型 Y BY . 二、矩阵的合同关系 现在来看矩阵 A 与 B 的关系. 把（8）代入（7），有 ( ) . ( , , , ) ( ) ( ) 1 2 Y C AC Y Y BY f x x xn X AX CY A CY Y C ACY =   =   =  =  =   易看出，矩阵 CAC 也是对称的，并且还有 B =CAC . 这是非退化线性变换前后两个二次型的矩阵的关系。 定义 2 数域 P 上两个 n 阶矩阵 A ， B 称为合同的，如果有数域 P 上可 逆的 nn 矩阵 C ,使得 B =CAC . 合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质: 1) 自反性:任意矩阵 A 都与自身合同. 2) 对称性:如果 B 与 A 合同,那么 A 与 B 合同. 3) 传递性:如果 B 与 A 合同,C 与 B 合同,那么 C 与 A 合同. 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同 的。这样把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工 具。 最后指出，在变换二次型时，总是要求所作的线性替换是非退化的。从 几何上看，这一点是自然的，因为坐标变换一定是非退化的。一般地，当线

性替换X=CY是非退化时，由上面的关系即得Y=C-IX.这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质

性替换 X = CY 是非退化时，由上面的关系即得 Y C X −1 = . 这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型 的性质可以推知原来二次型的一些性质

82标准形教学目的记忆标准形的术语，掌握合同变换的概念，熟练掌握配方法，合同变换法化二次型为标准形重点将二次型化为标准形难点合同变换法教学过程一、二次型的标准型二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型(1)dx+d,x++.+dx.定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵，dx+dx+..+d,x?(d)0..S0d..0X2(x,x2xY...(o 0 .. d,xn)反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项。按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为：定理2在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使C'AC成对角矩阵二次型f(x,x2",x）经过非退化线性替换所变成的平方和称为

§2 标准形 教学目的 记忆标准形的术语，掌握合同变换的概念，熟练掌握配方法，合 同变换法化二次型为标准形. 重 点 将二次型化为标准形. 难 点 合同变换法. 教学过程 一、二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n d x + d x ++ d x . （1） 定理 1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和 （1）的形式. 易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵， ( ) . 0 0 0 0 0 0 , , , 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1                             = + + + n n n n n x x x d d d x x x d x d x d x           反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项。按上一节的讨论，经过非 退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言， 定理 1 可以叙述为： 定理 2 在数域 P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理 2 也就是说，对于任意一个对称矩阵 A 都可以找到一个可逆矩阵 C 使 CAC 成对角矩阵. 二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 经过非退化线性替换所变成的平方和称为

f(x,x2",x)的标准形例化二次型f(x,x2,,x,)=2xx+2xxg-6xx3为标准形二、配方法1.au+0,这时的变量替换为Eai'ayyj,X =yIj=2X2 = y2,xn=yn令-ai'a2-aiiain...010-Cr =..........LO01...则上述变量替换相应于合同变换A-→C AC为计算c'AC，可令amaα=(ai2,,am),A =aunan2于是A和C,可写成分块矩阵au-a..oA=OA这里α为α的转置，E,-为n-1级单位矩阵.这样

( , , , ) 1 2 n f x x  x 的标准形. 例 化二次型 1 2 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f (x , x , , x ) x x x x x x  n = + − 为标准形. 二、配方法 1. 0, a11  这时的变量替换为          = = = −= − . , , 2 2 2 1 1 1 1 11 n n n j j j x y x y x y a a y  令               − − = − − 0 0 1 0 1 0 1 1 1 12 11 1 11 1       a a  a a n C , 则上述变量替换相应于合同变换 A C1 AC1  → 为计算 C1 AC1  ，可令 ( )           = = n nn n n a a a a a a A       2 22 2 12 1 1  , , , . 于是 A 和 C1 可写成分块矩阵         − =          = − − 1 1 11 1 1 11 1 , O En a C A a A    , 这里  为  的转置， En−1 为 n −1 级单位矩阵.这样

C,ACOA-α'αoEA-ara'α()矩阵A-aiαα是一个(n-1)×(n-1)对称矩阵，由归纳法假定，有(n-1)×(n-1)可逆矩阵G使G(A, -aiα'α)G= D为对角形，令于是 a 4-aC,CACoG'oA-aα'α这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是C=C,C2.2.au=0但有一个a±0这时，只要把A的第一行与第i行互换，再把第一列与第i列互换，就归结成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取(00...010.001.000...000...100..0C = P(1,i) =i行10...000...000...001.000...0001显然

. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1         −  =         −         −  =         −                  −  =  − − − − − − − −          O A a a O O E a O A a a O E a A a a E O C AC n n n 矩阵 −  −1 A1 a11 是一个 (n −1) (n −1) 对称矩阵，由归纳法假定，有 (n −1) (n −1) 可逆矩阵 G 使 G A − a  G = D − ( ) 1 1 11  为对角形，令         = O G O C 1 2 , 于是         =                −           =   − O D a O O G O O A a a O O G O C C AC C 11 1 1 11 11 2 1 1 2 1 1   , 这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是 C = C1C2 . 2. a11 = 0 但有一个 aii  0 . 这时，只要把 A 的第一行与第 i 行互换，再把第一列与第 i 列互换，就 归结成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取 i列 C P i                           = = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 (1, ) 1               i 行 显然

P(1,i)'= P(1,i).矩阵C, AC, = P(1,i)AP(L,i)就是把A的第一行与第i行互换，再把第一列与第i列互换.因此，C,AC,左上角第一个元素就是α，这样就归结到第一种情形3.a,=0,i=1,2,.,n,但有a,+0,j+1与上一情形类似，作合同变换P(2, j)'AP(2, j)可以把α,搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形与那里的变量替换相对应，取110..01-10..0C =001..0000..1于是C,AC,的左上角就是2a02a12也就归结到第一种情形4. a, =0, j=1,2,.,n由对称性，a,j=1,2,,n.也全为零.于是-(A,是n-1级对称矩阵.由归纳法假定，有(n-1)×(n-1)可逆矩阵G使G'AG=D成对角形.取

P(1,i) = P(1,i). 矩阵 (1, ) (1, ) 1 1 C AC = P i AP i  就是把 A 的第一行与第 i 行互换，再把第一列与第 i 列互换.因此， C1 AC1  左 上角第一个元素就是 ii a ，这样就归结到第一种情形. 3. a 0,i 1,2, ,n, ii = =  但有一 0, 1. a1 j  j  与上一情形类似，作合同变换 P(2, j)AP(2, j) 可以把 j a1 搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形. 与那里的变量替换相对应，取                 − = 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1      C , 于是 C1 AC1  的左上角就是         − 12 12 0 2 2 0 a a , 也就归结到第一种情形. 4. 0, 1,2, , . a1 j = j =  n 由对称性， , 1,2, , . a j1 j =  n 也全为零.于是         = 1 0 O A O A , A1 是 n −1 级对称矩阵.由归纳法假定，有 (n −1) (n −1) 可逆矩阵 G 使 GA1G = D 成对角形.取

CAC就成对角形例化二次型f(x,x2,xg)=2xx2+2xxg-6x2x成标准形

        = O G O C 1 ， C AC  就成对角形. 例 化二次型 1 2 3 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f (x , x , x ) = x x + x x − x x 成标准形