第四章 微分中值定理与导数的应用一一泰勒定理及其应用
第四章 微分中值定理与 导数的应用 ―—泰勒定理及其应用
泰勒定理（1）基本想法：在x=X。附近用最简单的函数模拟f(x）。(a) lim(f(x)-f(x)=0= 用f(xo） 模拟f(x) 时,X-→x在x=X。附近误差是个无穷小；
泰勒定理 （ 1）基本想法： 在 附近用最简单的函数模拟 。 （a） 用 模拟 时， 在 附近误差是个无穷小；
f(x)- f(x.)(b) lim=f'(x)=)x-→xox-xof(x)- f(x)- f'(x,)(x-x)2=0→limx-→xox-xo用f(x)+f(x,)(x-x）模拟f(x)时在x=X附近误差是x一X。的高阶无穷小；
（b） 用 模拟 时， 在 附近误差是 的高阶无穷小；
f(x)- f(x)-(x)(x-x) = f"(x) =(c) limx→>xo(x-x.)f"(x)用f(x,)+ f(x)(x-x,)+-x,)模拟f(x)时,2在x=x附近误差是（x－x）的高阶无穷小；
（c） 用 模拟 时， 在 附近误差是 的高阶无穷小； ┉ ┉
（2）带皮亚诺余项的泰勒定理：泰勒定理：设函数f(x）在x=x。点的某个邻域内有定义且在x=x。处有n阶导数，那么F(x)= f(x)+ f(x0)(x- x)+L + F("()（x-x)"+o((x-xo)"),n!f(n(x,)其中, T,(x)= f(x)+ f(x)(x-x)+L +x)n!称为n次泰勒多项式，o((x一x）"）称为皮亚诺余项。解运用洛必达法则
解 （2 ）带皮亚诺余项的泰勒定理： 泰勒定理： 设函数 在 点的某个邻域内有定义， 其中， ， 称为 次泰勒多项式， 称为皮亚诺余项。 运用洛必达法则。 且在 处有 阶导数， 那么
泰勒展式的唯一性：设Qn(x）是至多为n次的多项式，函数f(x）在某个U(xo,S）中有定义，且在x=x。处有n阶导数。若f(x)=Q,(x)+o(x-x)") ，则 Q,(x)= T,(x) 。解利用高阶无穷小的定义。注：以后此结论可以直接用
解 泰勒展式的唯一性： 设 是至多为 次的多项式， 若 ， 注：以后此结论可以直接用。 函数 在某个 中有定义，且在 处有 阶导数。 利用高阶无穷小的定义。 则
（3）带拉格朗日余项的泰勒定理：泰勒定理：设函数f(x）在包含x=x，的开区间（a,b）内具有n+1阶导函数，则对VxE(a,b)，有f(n+1)(E)f(n)(x))+1f(x)= f(x)+L +x.1n!(n +1)!f(n+1)()x一x）n+1称为拉格朗日余项。其中，三介于。和x之间(n +1)!解，运用柯西中值定理
解 （3）带拉格朗日余项的泰勒定理： 泰勒定理： 阶导函数， 设函数 在包含 的开区间 内具有 ， 则对 ， 其中， 介于 和 之间， 运用柯西中值定理。 称为拉格朗日余项。 有
E-xo若令=E(0,1），则拉格朗日余项也常记作x-Xof(n+)(x, +0.(x -x,)(n+1)!另外，当x。=0 时，(0)(0x)-n+1f(x) = f(O)+ f'(O)x +Ln!(n +1)!称为麦克劳林公式，这里θε(0,1)
。 若令 ， 另外，当 时， 称为麦克劳林公式， 则拉格朗日余项也常记作 这里
演示：20151025蓝=n(1+++3)红蓝在=4的泰勒多项式n=1
演示：
（4）简单函数的麦克劳林展开式：x2eorx.n+1+L(a) e*=11!2!n!(n +1)!2tt2n-1cos Ox2n+1(b) sin x = -11+3!5!(2n-1(2n--10x4x2t2ncos 0x2n+2n+1(c) cos x =12!4!(2n +2)!(2n)!11(-1)"(-1)'2h+1(d) In(1 + x) =Y(n +1)(1 + 0x)n+ 23n
（4）简单函数的麦克劳林展开式： （a） ； （c） ； （b） ； （d） ；