第九章二重积分第一节二重积分的概念及其性质第二节二重积分的计算第三节二重积分的应用
第九章 二重积分 第一节 二重积分的概念及其性质 第二节 二重积分的计算 第三节 二重积分的应用
第一节二重积分的概念及其性质二重积分的概念二、二重积分的性质
第一节 二重积分的概念及其性质 一、二重积分的概念 二、二重积分的性质
一、二重积分的概念曲顶柱体的体积柱体体积一底面积*高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶曲顶柱体
一、二重积分的概念 （一） 曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积*高 特点：平顶. z = f (x, y) D 柱体体积=？ 特点：曲顶
求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方 法，如下动画演示．
步骤如下：先分割曲顶柱体的底，并Z取典型小区域用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，(5i,n.)0曲顶柱体的体积Zf(5,n,)A0,.V = lim1-0i=1
步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底，并 取典型小区域， 曲顶柱体的体积 lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f = = → x z y o ( , ) i i i
平面薄片的质量(二））设有一平面薄片，占有xov面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为p(x,y)，假定p(x,J)在D上连续，平面薄片的质量为多少？V将薄片分割成若干小块(5i,n)取典型小块，将其近似看作均匀薄片，Noi所有小块质量之和0x近似等于薄片总质量
（二） 平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域 D，在点(x, y)处的面密度为( x, y)，假定 ( x, y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 x y o ( , ) i i i
定义设f(xV)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域Agi, o2,..", An'其中△，表示第i个小闭区域，也表示它的面积在每个△α，上任取一点（,n)，作乘积f(si,n;)Ao,,(i = 1,2, ..,n),Zf(5,n;)Ao),并作和i=1
定义 设 f (x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数， 将闭区域D任意分成 n个小闭区域 1 ， 2 , ， n， 其中 i 表示第 i个小闭区域，也表示它的面积， 在每个 i上任取一点( , ) i i ， 作乘积 ( , ) i i f i， (i = 1,2, ,n)， 并作和 i i n i i f = ( , ) 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值入趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f（x，J）在闭区域D上的二重积分记为J[ f(x,y)do,D即[[ f(x,y)do= lim)Ef(5i,n;)Ao;2-0i-1D其中D叫做积分区域，f（x，y）叫做被积函数，do叫做面积元素，f（x，y）do叫做被积表达式，x与y叫做积分变量f(x)A叫做积分和i=1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y) 在闭区域 D 上的二重积分， 记为 D f (x, y)d ， 即 D f (x, y)d i i n i i f = = → lim ( , ) 1 0
对二重积分定义的说明：(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的(2)当f(x,y)在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值
对二重积分定义的说明： (1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f (x, y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在. 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．
二、二重积分的性质[[ kf(x, y)do =k [ f(x, y)do性质1设k为常数，DD[j[f(x, y)± g(x, y)]d = J[ f(x, y)do ±β ] g(x, y)do性质2DDD性质3若积分区域D被一条曲线分为两个部分D,,D,，则JJ f(x,y)do = Jj f(x,y)do + JJf f(x,y)doOD2D1
二、二重积分的性质 ( , ) ( , ) D D kf x y d k f x y d = 性质１ 设k为常数， 性质2 性质3 若积分区域D被一条曲线分为两个部分D1 ,D2，则