《泛函分析》第一讲#紧性
《泛函分析》 第一讲 紧性
确界原理单调有界定理111↑介聚点定理区问套定理↑↑柯西收敛准则有限覆盖定理
确界原理 单调有界定理 区间套定理 聚点定理 柯西收敛准则 有限覆盖定理
海涅-波雷尔（Heine-Borel有限覆盖定理设[a, b]是一个闭区问,H 为 [a, b]的一个开覆盖，则在H中必存在有限个开区间，它构成[a,b止的一个开覆盖.[[(][] [] ba
海涅-波雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理 设 是一个闭区间， 为 的一个开 覆盖，则在 中必存在有限个开区间，它构成 上的一个开覆盖. [ , ] a b [ , ] a b [ , ] a b H H a b
定义1设X是度量空问，ACX.(1)集合A称为是紧的，若X中的任一开集族(B,:EA)覆盖A(即UB,A)时，其中存在有限个开集覆盖A：(2)集合A称为是相对紧的， 若 A 紧(3)集合EX称为A的 网, 若 LJO(x,ε) A.XEE（4）集合A称为是完全有界的，若Vg>0,X中存在由有限个元素构成的 A 的8网
定义1 设 X 是度量空间， A X . (2)集合 A 称为是相对紧的，若 A 紧. (3)集合 E X 称为 的 网，若 ( , ) . x E O x A A (4)集合 称为是完全有界的，若 中存在由有限个元素构成的 的 网. 0, A X A (1)集合 称为是紧的，若 中的任一开集族 覆盖 (即 )时，其中存在有限 个开集覆盖 . B : B A A X A A
在定义1(3)中，作为A的网的集合 E注意：#并没有要求EcA,对于一个集合来说，是否要求ECA并不改变其完全有界性，例1对于 X = [2,若 en = (0,,0,1,0,)A=(e, :n≥1), 则A 不是紧集.m± n, Ilem -e,ll= /2.证明：对于任何B, =o(en)) ，则 (B,n≥1) 是A的开覆盖若取 但其中不包含任何有限子族覆盖A
注意： 例1 对于 X l = 2 ，若 (0, ,0,1,0, ), n n e = A e n = n : 1 , 证明： 对于任何 m n , 2. m n e e − = 若取 ，则 是 的开覆盖. 1 , 2 B O e n n = B n n , 1 A 在定义1(3)中，作为 的 网的集合 ， 并没有要求 ,对于一个集合来说， 是否要求 并不改变其完全有界性. E A E A A E 则 不是紧集. A 但其中不包含任何有限子族覆盖 A
注意A是 12 中的有界集， 由于A中不存在Cauchy序列，所以它还是闭集：说明：1）在无穷维空间，有界闭集并不一定是紧集：即在无穷维空间，Heine-Borel定理并不成立：2）由定义，完全有界集一定是有界集，若 xi,,x,是完全有界集 A的 网,则VxEA,xEA,sup p(xo, x)≤max p(xo,x,) + 81≤i≤nXEA
说明： 1) 在无穷维空间，有界闭集并不一定是紧 集. 即在无穷维空间，Heine-Borel 定理并不成立. 2) 由定义，完全有界集一定是有界集. 0 0 1 sup ( , ) max ( , ) . i i n x A x x x x + 注意 是 中的有界集，由于 中不存在 Cauchy序列，所以它还是闭集. 2 A l A 若 是完全有界集 的 网， 则 1 , , n x x 0 x A x A , , A
定理1设X是度量空间，AcX，则下列两条件等价：(1)A是紧集;(2)A 中任一无穷序列(xm)包含有子序列(x),Xn→x并且 xEA.证明：(1)=(2). 设A紧，(x)是A 中的无穷序列.若无子序列收敛于A中的元，则VxEA,3rx>O 和自然数 n，使得O(x,r)n(xn,n ≥nx) =p
定理1 证明： (1) (2). O x r x n n ( , ) , . x n x = 设 X 是度量空间， A X , 则下列两条件等价： (1) A 是紧集； (2) 中任一无穷序列 包含有子序列 ， 并且 xn xnk nk x x → x A . A 设 紧， 是 中的无穷序列. A xn A 若 无子序列收敛于 中的元，则 和自然数 ，使得 xn x A, r x 0 nx A
由 UO(x,r) A 及紧性定义知:xEAUo(x',rx )D A存在有限多个元,…,x，使得i=1但当 m≥max[nx,,nx]时,O(x), rx, )n(xn,n ≥m) =g(xn,n≥m)= An(xn,n≥m)从而cUo(x,rx,)n(xn,n ≥m) =g,j=1此为矛盾。 于是(2)成立
由 x A O x r A ( , ) x 及紧性定义知： 存在有限多个元 x x 1 , , k ，使得 1 ( , ) . j k j x j O x r A = 但当 m n n max , , x x 1 k 时， ( , ) , . j O x r x n m j x n = 从而 1 , , ( , ) , , j n n k j x n j x n m A x n m O x r x n m = = = 此为矛盾. 于是(2)成立
(2)→(I)。 若(Ba, E Λ) 是 A 的一族开覆盖,对任意的 xE A,存在 Ba, xe B,.B为开集，故3r >0, st O(x,r)c B,记 r,=sup(r:O(x,r) Ba,A), 显然 r >0 下面我们证明：ro = inf r>0（ro是A 的Lebesque数)xn EA, r, →r.由下确界定义，存在Xm, Xn→XEA由(2), 存在子序列
(2) (1). 对任意的 x A ，存在 B x B , . B 为开集，故 r st O x r B 0, ( , ) . 记 r r O x r B x =sup : ( , ) , , 显然 . r x 0 下面我们证明： 由下确界定义，存在 0 , . n xn x A r r → 由(2)，存在子序列 0 , . n n k k x x x A → 若 是 的一族开覆盖. B , A 0 inf 0 x x A r r = ( 是 的Lebesque数.) 0 r A
A被覆盖，不妨设xo EB,于是存在 ko从而当 k≥k。时，xn =O|X,)=0(x0 r%) Ba:x所以1Xo-(k ≥ko), ro = limrx0XnkXnk22k→这说明紧集的Lebesque数大于
当 k k 0 时， 0 , , 2 k x n o r x O x 从而 ( ) 0 0 0 0 , , . 2 k x n x r O x O x r B 所以 0 0 0 0 ( ), lim 0. 2 2 n n k k x x x x k r r r k k r r → = 这说明紧集的Lebesque数大于0. A 被覆盖，不妨设 x B 0 0 ,于是存在 k0