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《微积分（第3版）（主编：吴传生）》授课时间第周周节课时安排2第授课题目教学章、节或主题)：第一章函数第一节集合教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：1.理解集合、集合相等、区间、区域等相关概念：2.了解集合的交、并、差、补等运算：3.掌握区间和区域的表示教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：集合的运算，邻域的概念难点：邻域的概念主要内容第一节集合一、集合的概念1.集合的定义集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C，，等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记aeM（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记aM或aeM（读a不属于M）：集合有时也简称为集注意：（1）对于二个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能够判断它属于或不属于给定的集合，二者必居其一（2）对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多少，在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现（3）若一集合只有有限个元素，就称为有限集：否则称为无限集2.集合的表示法表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号)括起来，这种方法称为列举法.例方程x+2x-3=0根的集合A，可表示为A={-3,1)描述法：若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成的，可表示为M=(x/x具有性质P),例由不等式x-3>2的解构成的集合A可表示为A=[xx>5]全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为Q全体实数的集合记为R，以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。3.集合间的基本关系1

《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 1 授课时间 第 周 周 第 节 课时安排 2 授课题目(教学章、节或主题)： 第一章 函数 第一节 集合 教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）： 1 . 理解集合、集合相等、区间、区域等相关概念； 2. 了解集合的交、并、差、补等运算； 3. 掌握区间和区域的表示. 教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 重点： 集合的运算，邻域的概念 难点： 邻域的概念 主要内容 第一节 集合 一、集合的概念 1. 集合的定义 集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母 A、B、C„ „等 来 表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物 a 是集合 M的一个元素，就记 a  M （读 a 属于 M）；若事物 a 不是集合 M的一个元素，就记 a  M 或 a  M（读 a 不属于 M）； 集合有时也简称为集. 注意：（1）对于一个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能 够判断它属于或不属于给定的集合，二者必居其一. （2）对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多 少，在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现. （3）若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集. 2. 集合的表示法 表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种. 列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号{ }括起来，这种方法称为列举 法. 例 方程 x 2 +2x-3=0 根的集合 A，可表示为 A={-3,1}. 描述法：若集合 M 是由具有某种性质 P 的元素 x 的全体所组成的，可表示为 M={ x | x 具有性质 P}, 例 由不等式 x-3>2 的解构成的集合 A 可表示为 A={x|x>5}. 全体自然数集记为 N,全体整数的集合记为 Z,全体有理数的集合记为 Q,全体实数的集合 记为 R，以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。 3. 集合间的基本关系

《微积分（第3版）（主编：吴传生）》子集：集合A的元素都是集合B的元素，即若有xEA，必有xEB，就称A为B的子集，记为AcB,或BA(读B包含A)。显然：NCZCOCR集合相等：若AcB,同时BCA,就称A、B相等,记为A=B。空集不含任何元素的集称为空集,记为Φ，如：(xx2+1=0,xeR)=Φ，x:2*=-1)=Φ,空集是任何集合的子集,即ΦA。二、集合的运算AUB=(x|xeA或xeB)并运算交运算ANB=(x|xEA且xeB)差运算A\B=(x|xEA或x±B)性质：（1）交换律AUB=BUA,ANB=BNA；(2)结合律（AUB)UC=AU(BUC),(ANB)NC=AN(BNC)（3）分配律（AUB)NC=（ANC)U(BNC)，(ANB)UC=(AUC)N(BUC)（4）对偶律（AUB）°=ANB°（ANB）°=AUB直积(笛卡儿乘积)：设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，J)，把这样的有序对作为新元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积，记为AxB，即AxB=((x,y)IxeA,yeB)例如，RxR=【（x，y）|xeR且yeR）即为xOy面上全体点的集合，RxR常记作R三、区间与邻域1. 区间有限区间：设a<b,称数集(xla<x<b)为开区间，记为(a,b)，即(a, b)=(xla<r<b)类似地有[a,b]=(x|a≤x≤b]称为闭区间,[a,b)=(x[aSr<b]、(a,b]=(x|a<x<b)称为半开区间其中a和b称为区间(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端点,b-a称为区间的长度无限区间[a, +00)= (x [ a≤x ), (-00, b] = (x / x<b ) , (-00, +00)=[x/ /x/<+00]) 2

《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 2 子集：集合 A 的元素都是集合 B 的元素，即若有  Ax ，必有  Bx ，就称 A 为 B 的子 集，记为  BA ,或  AB (读 B 包含 A)。 显然：  RQZN . 集合相等：若  BA ,同时  AB ,就称 A、B 相等,记为 A=B。 空集 不含任何元素的集称为空集,记为  ,如： { ,01  Rxxx 2 }=  ,{  12: x x }=  ,空集是任何集合的子集,即  A。 二、集合的运算 并运算  |{ 或  BxAxxBA } 交运算  |{ 且  BxAxxBA } 差运算 |{\ 或  BxAxxBA } 性质：（1）交换律  ,   ABBAABBA ； （2）结合律 ）（  , )( ）（   CBACBACBACBA )( （3）分配律 ）（   CBCACBA , )()( ）（   CBCACBA )()( （4）对偶律 ccc ccc  ）（  ,  ）（   BABABABA 直积(笛卡儿乘积): 设 A、B 是任意两个集合, 在集合 A 中任意取一个元素 x, 在集合 B 中任意取一个元素 y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的直积, 记为 AB, 即  （  ByAxyxBA },|),{ 例如, RR{(x, y)| xR 且 yR }即为 xOy 面上全体点的集合, RR 常记作 R 2 . 三、区间与邻域 1. 区间 有限区间: 设 a<b, 称数集{x|a<x<b}为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}. 类似地有 [a, b]  {x | a xb }称为闭区间, [a, b)  {x | ax<b }、(a, b]  {x | a<xb }称为半开区间. 其中 a 和 b 称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, ba 称为区间的长度. 无限区间: [a, )  {x | ax }, (, b]  {x | x < b } , (, ){x | | x | < }

《微积分（第3版）（主编：吴传生）》AN区间在数轴上的表示2.邻域：以点a为中心的任何开区间称为点a的领域，记作U(α)。设是任一正数，a为某一实数，把数集【x||x-a」<}称为点a的邻域，记作U(a,8），即U(a, )=( xl |x-a [ <8)点a称为这邻域的中心，8称为这邻域的半径（图1-8）由于a-<xa+相当于|x-a<8，因此U（a，）=（xa-S<x<a+),也就是开区间（a-，a+8）因为lx-a|表示点x与点a间的距离，所以U(a，）表示：与点a距离小于的-切点x的全体例如：|x-2<1,即为以点a=2为中心，以1为半径的邻域。有时用到的邻域需要把邻域中心去掉点a的邻域去掉中心a后，称为点a的去心的邻域，记作U(a,)，即U (a, 0)=(xj0</x-a k8)这里0<|x-a|就表示xa例如：0<|x-2<1,即为以点a=2为中心，半径为1的去心邻域(1,2)U(2,3).讨论、思考：1.如果集合A有n个元素，间A有多少个子集？A的真子集有几个？2.写出A={0,1,2)的一切子集。3.按下列要求举例：（1）一个有限集（2）一个无限集（3）一个空集（4）一个集合是另一个集合的子集作业：（课本）习题1-1(2,3,9,12,13)参考资料（含参考书、文献等）：《微积分》（第三版），吴传生编，高等教育出版社教学过程设计：复习0分钟，授新课90分钟，安排讨论4分钟，布置作业1分钟授课类型：V理论课讨论课实验课练习课其他其他教学方式：V讲授讨论指导V多媒体模型实物挂图音像其他教学资源：3

《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 3 区间在数轴上的表示: 2.邻域：以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的领域，记作 aU )( 。 设  是任一正数，a 为某一实数，把数集{ x| |x-a | <  }称为点 a的  邻域，记作 U （a,  ），即 U(a,  )={ x| |x-a | <  } 点 a 称为这邻域的中心，  称为这邻域的半径.（图 1-8） 由于 a- <x<a+  相当于| x-a |<  ，因此 U(a,  ）={ x| a- <x<a+  },也就是开区间( a- ,a+  ) 因为| x-a |表示点 x 与点 a 间的距离，所以 U(a,  ）表示：与点 a 距离小于  的一 切点 x 的全体. 例如: | x-2 |<1,即为以点 a=2 为中心，以 1 为半径的邻域。有时用到的邻域需要把邻 域中心去掉.点 a 的  邻域去掉中心 a 后，称为点 a 的去心的  邻域，记作 aU  ),(  ，即  U (a, ){x |0<| xa |<} 这里 0<|x-a|就表示 x  a. 例如: 0<| x-2 |<1,即为以点 a=2 为中心,半径为 1 的去心邻域(1,2)  (2,3). 讨论、思考： 1. 如果集合 A 有 n 个元素，问 A 有多少个子集？ A 的真子集有几个？ 2. 写出 A  }2,1,0{ 的一切子集。 3. 按下列要求举例： （1）一个有限集 （2）一个无限集 （3）一个空集 （4）一个集合是另一个集合的子集 作业：（课本） 习题 1－1 (2,3,9,12,13) 参考资料（含参考书、文献等）： 《微积分》(第三版)，吴传生编，高等教育出版社 教学过程设计：复习 0 分钟，授新课 90 分钟，安排讨论 4 分钟，布置作业 1 分钟 授课类型： √理论课 讨论课 实验课 练习课 其他 教学方式： √讲授 讨论 指导 其他 教学资源： √多媒体 模型 实物 挂图 音像 其他

《微积分（第3版）（主编：吴传生）》2授课时间第周周第节课时安排授课题目（教学章、节或主题)：第一章函数第二节映射与函数教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：1.理解映射与函数概念，掌握有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数的特点；2.培养学生应用函数解决实际问题的能力；3.训练学生“通过建立简单应用问题中的函数关系式”解决实际问题的的数学思教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：映射与函数的概念。难点：复合映射。主要内容第二节映射与函数一、函数的概念1.映射的概念定义设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一的元素与之对应，则称↑为X到Y的映射，记作f：X→Y,其中y元素x（在映射f下）的像。并记作f(x)，即y=f(x）而元素x称为元素（在映射↑下）的一个像；集合X称为映射↑的定义域，记作D，,即D，=XR.X中所有元素的像所组成的集合称为映射↑的值域，记作R,或f(X)，即：f(X)=(f(x)/xe X).需要注意的问题：（1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X，即定义域D，=X，集合Y，即值域的范围：R,=Y；对应法则t，使对每个xeX，有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个xEX，元素x的像V是唯一的；而对每个yER，，元素V的原像不一定是唯一的；映射↑的值域R,是Y的一个子集，即R,CY，不一定R，=Y4

《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 4 授课时间 第 周 周 第 节 课时安排 2 授课题目(教学章、节或主题)： 第一章 函数 第二节 映射与函数 教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）： 1 . 理解映射与函数概念，掌握有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数的特点； 2. 培养学生应用函数解决实际问题的能力； 3. 训练学生“通过建立简单应用问题中的函数关系式”解决实际问题的的数学思. 教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 重点： 映射与函数的概念。 难点： 复合映射。 主要内容 第二节 映射与函数 一、函数的概念 1. 映射的概念 定义 设 ,YX 是两个非空集合，如果存在一个法则 f ，使得对 X 中每个元素 x ，按法 则 f ， 在 Y 中有唯一的元素 y 与之对应，则称 f 为 X 到 Y 的映射 , 记 作 ： YXf ,其中 y 元素 x （在映射 f 下）的像。并记作 xf )( ，即 y f x  ( ) 而元素 x 称 为元素 y （在映射 f 下）的一个像；集合 X 称为映射 f 的定义域，记作 Df ,即 Df  X； X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作 Rf 或 f X( ) ，即： R .  XxxfXf }|)({)( . 需要注意的问题: (1) 构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合 X , 即定义域 f  XD , 集合 Y , 即值 域的范围: f  YR ；对应法则 f , 使对每个  Xx , 有唯一确定的  xfy )( 与之对应. (2) 对每个  Xx , 元素 x 的像 y 是唯一的; 而对每个  Ry f ，元素 y 的原像不一定 是唯一的; 映射 f 的值域 Rf 是 Y 的一个子集, 即 f  YR , 不一定 f  YR

《微积分（第3版）（主编：吴传生）》满射：设f是从集合X到集合Y的映射，若R，=Y，即Y中任一元素V都是X中某元素的像，则称↑为X到Y上的映射或满射；单射：若对X中任意两个不同元素x≠x2，它们的像f(x）+f(x），则称↑为X到Y的单射；双射：若映射↑既是单射，又是满射，则称↑为一一映射(或双射)。二、 逆映射与复合映射1.逆映射设f是X到Y的单射，则由定义，对每个yeR,，有唯一的xeX适合f(x)=y，于是，我们可定义一个从R，到X的新映射g，即g:D,→X对每个yeR，，规定g(y)=x，这x满足f(x)=y.这个映射g称为↑的逆映射，记作f，其定义域D=R,，值域R=X.只有单射才存在逆映射.2.复合映射设有两个映射g：X→Y，f:Y，→Z，其中YY2，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xEX映射成f[g(x)leZ.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和↑构成的复合映射，记作fog,即fog:X→Z,即有(fog)(x)=flg(x))应注意的问题：映射g和f构成复合映射的条件：g的值域必须包含在↑的定义域内，否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射g和f的复合是有顺序的，fg有意义并不表示g°f也有意义.即使f·g与g°f都有意义，复映射fg与g。f也未必相同例1设有映射g:R→[-1,1]，对每个xeR，g(x)=sinx，映射f:[-1,]→[0,1],对每个ue[-1,]]，f(u)=Vl-u2，则映射g和↑构成复映射fog：R→[0,1]，对每个xeR,有(f o g)(x)= f[g(x))= f(sin x)= /1-sin x = cosxl.5

《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 5 满射：设 f 是从集合 X 到集合 Y 的映射, 若 f  YR ， 即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某 元素的像, 则称 f 为 X 到 Y 上的映射或满射; 单射：若对 X 中任意两个不同元素 21  xx , 它们的像 )()( 1 2  xfxf , 则称 f 为 X 到 Y 的单射; 双射：若映射 f 既是单射, 又是满射, 则称 f 为一一映射(或双射). 二、 逆映射与复合映射 1.逆映射 设 f 是 X 到 Y 的单射, 则由定义, 对每个  Ry f , 有唯一的  Xx 适合 )(  yxf , 于是, 我们可定义一个从 Rf 到 X 的新映射 g , 即 ： f  XDg 对每个  Ry f , 规定 )(  xyg , 这 x 满足 )(  yxf . 这个映射 g 称为 f 的逆映射, 记作 1- f , 其定义域 f f 1  RD , 值域 XRf 1  . 只有单射才存在逆映射. 2.复合映射 设有两个映射 ： YXg 1 ，  ZYf： 2 ，其中  YY 21 ，则由映射 g 和 f 可以定出一个从 X 到 Z 的对应法则, 它将每个  Xx 映射成 ([ )] Zxgf .显然, 这个对 应法则确定了一个从 X 到 Z 的映射, 这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射, 记作  gf , 即   ZXgf ，： 即有 (  )(  ([) xgfxgf )] 应注意的问题: 映射 g 和 f 构成复合映射的条件： g 的值域必须包含在 f 的定义域内, 否则, 不能 构成复合映射. 由此可以知道, 映射 g 和 f 的复合是有顺序的,  gf 有意义并不表示  fg 也有意义. 即使  gf 与  fg 都有意义, 复映射  gf 与  fg 也未必相同. 例 1 设有映射 ：Rg  ，]11[ , 对每个  Rx ,  sin)( xxg , 映射 f ，：  ]1,0[]11[ ， 对每个 u  ，]11[ , 2 1)(  uuf . 则映射 g 和 f 构成复映射  Rgf  ，： ]10[ , 对每个  Rx ，有 ( )( ([) )] |cos|sin1)(sin 2  xfxgfxgf  xx

《微积分（第3版）（主编：吴传生）》三、函数1.函数的定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集.如果对于每一个xED，变量y按照一定的法则（或关系）总有唯一确定的数值与它对应，则称y是x的函数，记为y=f(x)．x称为自变量为，称为因变量（或函数），数集D称为这个函数的定义域，而因变量y的变化范围 f(D)称为函数f(x)的值域.注：讲解自变量、因变量、对应规则、定义域、值域、函数值、几种常用的特殊函数2.举例 1-7—1-11四、函数的几种特性1．函数的单调性设函数f(x)的定义域为D，区间IcD.如果对区间I上的任意两点x,和x2，当xf(x2)成立，则称函数f(x)在区间1上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.2.函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称，且对与任何xED，恒有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数；如果恒有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇函数3.函数的周期性设函数f(x)的定义域为D，如果存在非零数l，使得对于任意的xED，有x土eD，且f(x+I)=f(x)恒成立，则称函数f(x)为周期函数，1称为f(x)的周期。通常我们所说的周期指的是最小正周期.4．函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，ICD，如果存在正数M，使得对任意xEI，有F(x)≤M，则称函数f(x)在区间1上有界6

《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 6 三、 函数 1. 函数的定义 设 x 和 y 是两个变量， D 是一个给定的数集．如果对于每一个  Dx ，变量 y 按照一 定的法则（或关系）总有唯一确定的数值与它对应，则称 y 是 x 的函数，记为  xfy )( ．x 称为自变量为， y 称为因变量（或函数），数集 D 称为这个函数的定义域，而因变量 y 的 变化范围 f D( ) 称为函数 xf )( 的值域． 注：讲解自变量、因变量、对应规则、定义域、值域、函数值、几种常用的特殊函数. 2. 举例 1-7—1-11 四、函数的几种特性 1. 函数的单调性 设函数 xf )( 的定义域为 D，区间  DI . 如果对区间 I 上的任意两点 1 x 和 2 x ，当 21  xx 时总有不等式 )()( 1 2  xfxf 成立，则称函数 xf )( 在区间 I 上是单调增加的；若当 21  xx 时总有不等式 )()( 1 2  xfxf 成立，则称函数 xf )( 在区间 I 上是单调减少的．单调 增加和单调减少的函数统称为单调函数． 2. 函数的奇偶性 设函数 xf )( 的定义域 D 关于原点对称，且对与任何  Dx ，恒有  xfxf )()( 成立， 则称函数 xf )( 为偶函数；如果恒有  xfxf )()( 成立，则称函数 xf )( 为奇函数． 3. 函数的周期性 设函数 xf )( 的定义域为 D，如果存在非零数 l ，使得对于任意的  Dx ，有  Dlx ， 且  xflxf )()( 恒成立，则称函数 xf )( 为周期函数， l 称为 xf )( 的周期．通常我们所 说的周期指的是最小正周期． 4. 函数的有界性 设函数 xf )( 的定义域为 D，  DI ，如果存在正数 M ，使得对任意  Ix ，有 )(  Mxf ，则称函数 xf )( 在区间 I 上有界．

《微积分（第3版）（主编：吴传生）》讨论、思考：1. 设 f(x)=判断函数 f(F[(x)])的奇偶性及有界性。V1+ x2xx(答 f([f(x)])=,xeR，奇函数，有界f([f(x)]≤l。V1+3x2/1+3x2x+22.函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为A，函数y的定义域为B,则ANB=1-x3.下列函数中，既是(0,号)上的增函数，又是以元为周期的偶函数是（）2Dy=cos2xA y=sinxBy=cosxC y=|sin2xl作业：（课本）习题1-2（2,3,5,6)参考资料（含参考书、文献等）：《微积分》（第三版），吴传生编，高等教育出版社教学过程设计：复习0分钟，授新课100分钟，安排讨论4分钟，布置作业1分钟授课类型：V理论课讨论课实验课练习课其他V讲授讨论指导其他教学方式：实模型教学资源：V多媒体物挂图其他音像

《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 7 讨论、思考： 1. 设 2 ( ) 1 x f x x   ，判断函数 f f f x     ( ) 的奇偶性及有界性。 （答     2 ( ) , 1 3 x f f f x x R x    ，奇函数，有界     2 ( ) 1 1 3 x f f f x x    。） 2. 函数 f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为 A，函数 x x y    1 2 的定义域为 B，则 A∩B=_ 3. 下列函数中，既是 ) 2 ,0(  上的增函数，又是以  为周期的偶函数是（ ） A y=|sinx| B y=|cosx| C y=|sin2x| D y=cos2x 作业：（课本） 习题 1－2（2,3,5,6） 参考资料（含参考书、文献等）： 《微积分》(第三版)，吴传生编，高等教育出版社 教学过程设计：复习 0 分钟，授新课 100 分钟，安排讨论 4 分钟，布置作业 1 分钟 授课类型： √理论课 讨论课 实验课 练习课 其他 教学方式： √讲授 讨论 指导 其他 教学资源： √多媒体 模型 实 物 挂图 音像 其他

《微积分（第3版）（主编：吴传生）》授课时间第节2第周周课时安排授课题目(教学章、节或主题)：第一章函数第三节复合函数和反函数初等函数教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）：1.理解复合函数、反函数、基本初等函数和初等函数的概念：2.掌握基本初等函数的性质和图像；3.了解函数的四则运算运算教学内容（包括基本内容、重点、难点）：重点：基本初等函数和初等函数的概念个性质难点：基本初等函数的性质主要内容第三节复合函数和反函数初等函数一、反函数定义设f(x)的定义域为D，值域为W，因此，对VyeW，必xeD，使得f(x)=y，这样的x可能不止一个，若将y当作自变量，x当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数x=p(y)，称之为函数y=f(x)的反函数，而f(x)叫做直接函数。注1.反函数x=p(y)的定义域为W，值域为D；2.由上讨论知，即使y=f(x)为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问题还作研究：3.在习惯上往往用x表示自变量，y表示因变量，因此将x=p(y)中的x与y对换一下，=f(x)的反函数就变成=p(x)，事实上函数=(x)与x=(y)是表示同一函数的，因为，表示函数关系的字母"β"没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以说：若y=f(x)的反函数为x=p(y)，那么y=p(x)也是y=f(x)的反函数，且后者较常用：4.反函数y=p(x)的图形与直接函数y=f(x)的图形是对称于y=x。例如：函数y=ax+b,y=x,y=x的反函数分别为：x=二b,x=+/,x=或分别为y=二b,y=±/,y=x。8

《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 8 授课时间 第 周 周 第 节 课时安排 2 授课题目(教学章、节或主题)： 第一章 函数 第三节 复合函数和反函数 初等函数 教学目的、要求（分掌握、理解、了解三个层次）： 1 . 理解复合函数、反函数、基本初等函数和初等函数的概念； 2. 掌握基本初等函数的性质和图像； 3. 了解函数的四则运算运算. 教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 重点： 基本初等函数和初等函数的概念个性质 难点： 基本初等函数的性质 主要内容 第三节 复合函数和反函数 初等函数 一、 反函数 定义 设 xf )( 的定义域为 D ，值域为 W ，因此，对  Wy ，必  Dx ，使得 )(  yxf ， 这样的 x 可能不止一个，若将 y 当作自变量， x 当作因变量，按函数的概念，就得到一新 函数   yx )( ，称之为函数  xfy )( 的反函数，而 xf )( 叫做直接函数。 注 1. 反函数   yx )( 的定义域为 W ，值域为 D ； 2. 由上讨论知，即使  xfy )( 为单值函数，其反函数却未必是单值函数，以后对此问 题还作研究； 3. 在习惯上往往用 x 表示自变量， y 表示因变量，因此将   yx )( 中的 x 与 y 对换一 下，  xfy )( 的反函数就变成   xy )( ，事实上函数   xy )( 与   yx )( 是表示同一函 数的，因为，表示函数关系的字母 "" 没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关 系。所以说：若  xfy )( 的反函数为   yx )( ，那么   xy )( 也是  xfy )( 的反函数， 且后者较常用； 4. 反函数   xy )( 的图形与直接函数  xfy )( 的图形是对称于  xy 。 例如：函数 2 3 y ax ,  xyxyb 的反函数分别为： 3 1 , yxyx a by x    或分别为 3 1 , xyxy a bx y   

《微积分（第3版）（主编：吴传生）》二、复合函数若y=f(u)u=p(a)，当p(x)的值域落在f(u)的定义域内时，称y=f[o(x))是由中间变量u复合成的复合函数。例如2.y=Vuu=2+sinx可复合成y=/2+sinx注意：y=Vuu=sinx-2就不能复合。2.y=arctan2可以看作是y=arctanu，u=2"，V=/x复合成的复合函数。三、函数的运算（和差积商运算）设函数f(x)，g(x)的定义域依次为D.1.D2、D=D1OD2の，则我们可以定义这两个函数的下列运算：和(差)f ±g : (f ±g) (x)=f(x)±g(x), xeD:积f -g : (f -g)(x)=f(x)g(x), xeD;商：()()=,xeDI (x|g(x)=0) .g(x)gg例3设函数f(x)的定义域为(-1，1)，证明必存在(-1，1)上的偶函数g(x)及奇函数h(x)，使得f(x)=g(x)+h(x)分析如果f(x)=g(x)+h(x)，则f(-x)=g(x)-h(x)，于是[f(x)+f(-x)h(x)==Lf(x)-f(-x)g(x):证明 作 g(x)=_Lf(x)+ f(-x), h(x)==Lf(x)-f(-x)], 则 f(x)=g (x)+h(x),g(-x)=↓L(-x)+ f(x)= g(x),且Lf(x)-f(-x)=-h(x)h(-x)==f(-x)-f(x)=-四、初等函数基本初等函数：幕幂函数:J=x"(ueR是常数),指数函数:y=a(a>0且a1)对数函数:y=logax(a>0且a+1,特别当a=e时，记为y=lnx),9

《微积分（第 3 版）（主编：吴传生）》 9 二、复合函数 若       xuufy ，当   x 的值域落在   uf 的定义域内时，称      xfy 是由 中间变量 u 复合成的复合函数。 例如 2.  sin2 xuuy 可复合成 y  sin2 x 注意： xuuy  2sin 就不能复合。 2. x y  2arctan 可以看作是 xvuuy v  arctan 2 ，  复合成的复合函数。 三、函数的运算（和差积商运算） 设函数 f(x), g(x)的定义域依次为 D 1, D 2, DD 1D 2, 则我们可以定义这两个 函数的下列运算: 和(差)f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 商 g f : )( )( ( )( ) xg xf x g f  , xD\{x|g(x)0}. 例 3 设函数 f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l, l)上的偶函数 g(x)及奇函数 h(x), 使得 f(x)g(x)h(x). 分析 如果 f(x)g(x)h(x), 则 f(x)g(x)h(x), 于是 ()([ )] 2 1 )(  xfxfxg , ()([ )] 2 1 )(  xfxfxh . 证明 作 ()([ )] 2 1 )(  xfxfxg , ()([ )] 2 1 )(  xfxfxh , 则 f(x)g(x)h(x), 且 ()([ )] )( 2 1 )(  xgxfxfxg , ()([ )] )( 2 1 ()([ )] 2 1 )(  xhxfxfxfxfxh . 四、初等函数 基本初等函数: 幂函数: yx  (R 是常数); 指数函数: ya x (a0 且 a1); 对数函数: yloga x (a0 且 a1, 特别当 ae 时, 记为 yln x);