《泛函分析》第五讲 共鸣定理
《泛函分析》 第五讲 共鸣定理
定义1 设X是距离空间,SCX,如果 的内部是空集，则称S是无处稠密的.容易证明，如果S是无处稠密的，则S不在X中任何球内稠密.定义22设X是距离空间，若E=lJSn，而每个Sn=都是X中是无处稠密的，则称点集E为第一纲的非第一纲点集称为第二纲的
定义1 设 是距离空间， ，如果 的内部是 空集，则称 是无处稠密的. X S X S S 容易证明，如果 是无处稠密的，则 不在 X 中任何球内稠密. S S 定义2 设 是距离空间，若 ，而每个 都是 中是无处稠密的，则称点集 为第一纲的. 非第一纲点集称为第二纲的. X 1 n n E S = = Sn X E
定理1（Baire纲定理完备的距离空间X必是第二纲的证明：反证法.否则,X=LJSn，每个S,都是无处n=l稠密的，因为S无处稠密，必有x史S，从而有小球U, =(x:d(x,x)<r) 使得U,ns,=
定理1 (Baire 纲定理) 完备的距离空间 X 必是第二纲的. 证明： 反证法. 否则， ，每个 都是无处 稠密的，因为 无处稠密，必有 从而有小球 使得 1 1 x S , 1 n n X S = = Sn U x d x x r 1 1 1 = : ( , ) 1 1 U S =. S1
因为S2无处稠密，必有x生S,从而有以x为心小球U2，使得U,CU,UnS,=Φ自然可设U2的半径r2小于一.如此继续下去，对每个自然数n≥2，应有以xn为心的小球Un，使得U, CUn-1,UnnSn =Φ
因为 无处稠密，必有 从而有以 为心小 球 ，使得 2 2 x S , x2 2 1 2 2 U U U S = , . S2 U2 自然可设 的半径 小于 .如此继续下去，对每个 自然数 n 2 ，应有以 为心的小球 ，使得 2 r 1 , . U U U S n n n n = − U2 1 2 n x Un
1.于是当m≥n,xmEUn，故且Un的半径r小于2n-11d(xn,xm)<2n-1这说明(x,)"-,是X中的Cauchy序列.从X的完备性,应有xn→xEX.注意xmEUn,当m≥n,于是xEUnCUn-1: 故 x± Sn-1,n= 2,3, ..这与X=LJSn 矛盾.证毕.n=l
且 的半径 小于 .于是当 m n x U , , m n 故 1 1 ( , ) . 2 n m n d x x − n r 1 1 2 Un n− 这说明 是 中的Cauchy序列.从 的完备性， 应有 .注意 当 于是 故 n n 1 x = X X x x X n → , x U m n m n , x U n 1 . Un− 1 , 2,3, . x S n = n− 这与 矛盾.证毕. 1 n n X S = =
定理1（共鸣定理设X是Banach空间，Y是线性赋范空间,(T)reA是LX,Y)中的一族元素，若(1)suplT,x <o0, Vx e X.则sup T,I 0TEA
定理1 (共鸣定理) 设 是Banach空间， 是线性赋范空间， 是 中的一族元素，若 则 X sup , . (1) A T x x X Y A T L X Y ( , ) sup . A T
证明：设 S, =}x E X : supT,xl≤ n,n = 1,2,TEA则由(1)式可知，X =USnn=1由于每个T都连续，故每个S，都是闭的根据定理1，X是第二纲的，所以必定有某个S不是无处稠密的，即S内部不是空集.从而存在小球U=x:x一xll<=,使得UCS
证明： 设 则由(1)式可知， . n : sup , 1,2, . A S x X T x n n = = 1 n n X S = = 由于每个 都连续，故每个 都是闭的. 根据定理1， 是第二纲的，所以必定有某个 不是无处稠密的，即 内部不是空集. 从 而存在小球 ,使得 T SN Sn X SN U x x x = − : 0 . U S N
若 xeX,x<s, 则x+x EU. 于是x+xo,X eS,从而对任何TEA,IT,xl ≤T,(x+x +T,x≤2N3设 xEX,x±0, 则<&,故XL≤2Nx
若 则 于是 从而对任何 x X x , , 0 0 T x T x x T x N ( ) 2 . + + 0 x x U + . 0 0 , , N x x x S + A, 设 x X x , 0, 则 故 ( ) 2 . 2 T x N x , 2 x x
4N即IT,xl ≤x当x=0，上式不等式显然成立.总之4NIT,x| ≤ 4IIxll, Vx e X.所以，对任何TEA 都有4NIT:II ≤8证毕
即 4 . N T x x 当 x = 0 ，上式不等式显然成立.总之 4 , . N T x x x X 所以，对任何 A 都有 4 . N T 证毕
设X,Y是线性赋范空问，{T,:EA}CB(X,Y)是一族有界线性算子.若{T,:几EΛ)在X的某个第二纲集上点点有界，则它是一致有界的，特别地，在Banach空间X 上点点有界的线性算子族(T,: EΛ) B(X,Y) 是一致有界的
设 是线性赋范空间， 是一族有界线性算子.若 在 的某 个第二纲集上点点有界，则它是一致有界的. X Y, T B X Y : ( , ) T : X 特别地，在Banach空间 上点点有界的线 性算子族 是一致有界的. X T B X Y : ( , )