《泛函分析》第八讲延拓定理3
《泛函分析》 第八讲 延拓定理
复空间上任一复线性泛函f(x），不妨设f(x)f(x)+fx），其中f,f2分布为f的实部和虚部由if(x)=if(x)-f(x)f(x)=f(ix)=f(ix)+if(ix)从而fz(x) =-fi(ix),f(x)= f(x)-if(ix)注：对于实线性泛函f ，一般来说,f(ix)≠f(x)
复空间上任一复线性泛函 ，不妨设 ，其中 分布为 的实部和虚部. f x( ) f x( ) 1 2 = + f x if x ( ) ( ) 1 2 f f , f 由 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). if x if x f x if x f ix f ix if ix = − = = + 从而 2 1 1 1 ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). f x f ix f x f x if ix = − = − 注：对于实线性泛函 f 1 ，一般来说， 1 1 f ix if x ( ) ( ).
定理2设X为复线性空间，MCX为线性子空间，P是X上的半范数，若fo是M上的复线性泛函，并且f(x)≤p(x)(VxEM)，则存在X上的线性泛函F，使得[F(x)/ ≤ p(x)(Vx E X), F(x) = fo(x)(Vx E M)证明: 在 M上，设 f(x)=J(x)-ifi(ix)，由假设f(x)≤ f(x)/≤ fo(x)/≤ p(x),(Vx EM)
定理2 证明： 设 为复线性空间， 为线性子空间， 是 上的半范数，若 是 上的复线性泛函， 并且 ，则存在 上的线 性泛函 ，使得 X p 0 f 0 F x p x x X F x f x x M ( ) ( )( ), ( ) ( )( ). = M X X M 0 f x p x x M ( ) ( )( ) X F 在 上，设 ，由假设 1 1 0 f x f x f x p x x M ( ) ( ) ( ) ( ),( ), 0 1 1 M f x f x if ix ( ) ( ) ( ) = −
由定理1,X上存在实线性泛函F(x)，使得F(x)≤ p(x),(Vx E X),F(x) = f(x)(Vx e M)考虑复线性泛函 F(x)=F(x)-iF(ix).则对Vx,yEX,F(x+y)= F(x+y)-iF(ix +iy)=F(x) + F(y)-iF(ix)-iF(iy)= F(x)+F(y)
由定理1， 上存在实线性泛函 ，使得 1 1 1 F x p x x X F x f x x M ( ) ( ),( ), ( ) ( )( ). = X 1 F x( ) 考虑复线性泛函 则对 x y X , , 1 1 F x F x iF ix ( ) ( ) ( ). = − 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). F x y F x y iF ix iy F x F y iF ix iF iy F x F y + = + − + = + − − = +
若α为实数，F(αx) = F(αx)-iF(αx)=αF(x)-αiF(x)=αF(x)此外F(ix) = F(ix)-iF(-x)=i(F(x)-iF(ix))=iF(x)由此，对于任意复数α,β与任意x,VEXF(αx +βy) =αF(x)+βF(y)
若 为实数， 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). F x F x iF x F x iF x F x = − = − = 此外 ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). F ix F ix iF x i F x iF ix iF x = − − = − = 由此，对于任意复数 , 与任意 x y X , , F x y F x F y ( ) ( ) ( ), + = +
F是复线性的．若 xEM，则F(x) = F(x)-iF(ix)= f(x)-if(ix) = fo(x)设F(x)=teio，则F(e-iox)=r为实数，此时F(x)=F(e-i0 x)/= F(e-i0x)≤ p(e-io x) = p(x)F(x)即是所要求的复线性泛函
F 是复线性的. 若 x M ，则 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). F x F x iF ix f x if ix f x = − = − = 设 ，则 为实数，此时， 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). i i i F x F e x F e x p e x p x − − − = = = ( ) i F x te = ( ) i F e x r − = F x( )即是所要求的复线性泛函
定理3设X为实（复）线性空间，MCX为线性子空问，若f是M上的连续线性泛函，则存在X上的线性泛函f，使得f(x) = fo(x)(Vx E M),lfll=foll称f是f的保范线性延拓，证明: 令p(x)=/flxll, p(x)是X 上的半范数并且[fo(x)/ ≤ I/fol|xll = p(x)(Vx E M)
定理3 设 为实(复)线性空间， 为线性子空 间,若 是 上的连续线性泛函,则存在 上的线 性泛函 ，使得 称 是 的保范线性延拓. X 0 f M X M 0 0 f x f x x M f f ( ) ( )( ), , = = X f f 0 f 证明：令 ， 是 上的半范数并且 0 0 f x f x p x x M ( ) ( )( ). = 0 p x f x ( ) = p x( ) X
在复数情况，由定理2，存在X上的线性泛函f使得f(x)=fo(x)(VxE M)， 并且f(x)/≤ p(x) = lfolx (Vx E X)在实数情况，由定理1，存在X上的线性泛函f使得f(x)≤p(x)=f。xll .以-x 代替x则有-f(x)= f(-x)≤p(-x)=fo-x=flxll
在实数情况，由定理1，存在 上的线性泛函 使得 .以 代替 则有 0 0 − = − − = − = f x f x p x f x f x ( ) ( ) ( ) , 0 f x p x f x ( ) ( ) = X f −x x 在复数情况，由定理2，存在 上的线性泛函 使得 ，并且 0 f x p x f x x X ( ) ( ) ( ). = 0 f x f x x M ( ) ( )( ) = X f
从而f(x)≤ox,≤≤l，连续，此外Il/f。ll = sup|f(x)| = sup|f(x)IIx[≤1IIx<≤1xEMXEM≤sup|f(x)= lfll[1x//<≤1xEX总之，=f
从而 ， 连续，此外 0 0 1 1 1 sup ( ) sup ( ) sup ( ) . x x x M x M x x X f f x f x f x f = = = 0 0 f x f x f f ( ) , f 总之， . 0 f f =
推论1设X为线性赋范空间，x。EX,x≠0则存在f e X*使得 f=1,f(x)=xll证明：老考虑子空间M ={αxo,αEΦ和 M上的线性泛函f(αx)=αxoll,fo在M 上连续实际上，[f(αx)=αlxll=Ilαxoll,于是fl≤1.跟确切地，取α%则= Ixo’[α%xll= 1, /fl/ ≥[f(αx )/ =α|x = 1
推论1 设 为线性赋范空间， ， 则存在 使得 X 0 0 x X x , 0 1, ( ) . 0 0 f X f f x x = = 证明： 考虑子空间 和 上 的线性泛函 在 上连续. M x = 0 , 0 0 0 0 f x x f ( ) , = M M 实际上， 于 是 .跟确切地，取 ，则 0 0 0 0 f x x x ( ) , = = f 0 1 0 0 1 x = 0 0 0 0 0 0 0 x f f x x = = = 1, ( ) 1