第十章双线性函数与辛空间s1线性函数定义1设V是数域P上的一个线性空间，是V到P的一个映射，如果「满足1) f(α+β)=f(α)+ f(β);2) f(kα)=kf(α),式中α,β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数从定义可推出线性函数的以下简单性质：1.设f是V上的线性函数，则f(O)=0,f(-α)=-f(α)2.如果β是α1,α2，,α,的线性组合：β=k,a,+kα2 +.+k,a,那么f(β)=kf(α)+k,f(α,)+..+kf(α,)例1设a,a2"a,是P中任意数，X=(x,x2",x）是P"中的向量.函数(1)f(X)= f(x,X2,",x,)=ax +a,x, +.+a,x就是P上的一个线性函数.当a,=αz=.…=a,=0时，得f(X)=0,称为零函数，仍用0表示零函数实际上，P"上的任意一个线性函数都可以表成这种形式令8,=(0，.,01,0,…,0)，i=1,2，,n（第i个分量为1，其余分量皆为0)P"中任一向量X=(x,X2",x)可表成X=X6)+X2e2 +..+X.en
第十章 双线性函数与辛空间 §1 线性函数 定义 1 设 V 是数域 P 上的一个线性空间， f 是 V 到 P 的一个映射，如 果 f 满足 1） f ( + ) = f () + f ( ) ; 2） f (k) = kf (), 式中 , 是 V 中任意元素， k 是 P 中任意数，则称 f 为 V 上的一个线性函数. 从定义可推出线性函数的以下简单性质： 1. 设 f 是 V 上的线性函数，则 f (0) = 0, f (−) = − f () . 2. 如果 是 s , , , 1 2 的线性组合： s s = k11 + k2 2 ++ k 那么 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 s s f = k f + k f ++ k f 例 1 设 a a an , , , 1 2 是 P 中任意数， ( , , , ) 1 2 n X = x x x 是 n P 中的向量.函 数 n n n f X = f x x x = a x + a x ++ a x 1 2 1 1 2 2 ( ) ( , , , ) (1) 就是 P 上的一个线性函数.当 a1 = a2 == an = 0 时，得 f (X ) = 0 ,称为零函 数，仍用 0 表示零函数. 实际上， n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令 i = (0 , ,0,1, 0, ,0), i =1, 2 , , n ( 第 i 个分量为 1，其余分量皆为 0) n P 中任一向量 ( , , , ) 1 2 n X = x x x 可表成 n n X = x + x ++ x 1 1 2 2
设f是P"上一个线性函数，则f(X)=(Zx,6)=>Exf(8,)i=li=l令a, = f(8,),i=1,2,.*,n,则f(X)=a,x,+a,x,+..+a,xn就是上述形式例2A是数域P上一个n级矩阵，设(auaina12..a21a22..a2nA=::+.(anlan2am则A的迹Tr(A)=ai. +a22 +...+amm是P上全体n级矩阵构成的线性空间Pmx上的一个线性函数例3设V=P[x],t是P中一个取定的数.定义P[x]上的函数L,为L,(P(x) = p(t), p(x) e P[x],即 L,(p(x)为p(x)在t点的值，L,(p(x)是P[x)上的线性函数如果V是数域P上一个n维线性空间.取定V的一组基s,32",..对V上任意线性函数f及V中任意向量α：a=X8+X262+..+X,on都有F(α)= f(Zx,8)=)Zxf(e)(2)
设 f 是 n P 上一个线性函数，则 = = = = n i i i n i i i f X f x x f 1 1 ( ) ( ) ( ) 令 a f ( ), i 1 2 n , i = i = ，， 则 n n f X = a x + a x ++ a x 1 1 2 2 ( ) 就是上述形式. 例 2 A 是数域 P 上一个 n 级矩阵，设 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 , 则 A 的迹 Tr A = a11 + a22 ++ ann ( ) 是 P 上全体 n 级矩阵构成的线性空间 n n P 上的一个线性函数. 例 3 设 V = P[x],t 是 P 中一个取定的数.定义 P[x] 上的函数 Lt 为 L (P(x)) p(t) , p(x) P[x] t = , 即 L ( p(x)) t 为 p(x) 在 t 点的值， L ( p(x)) t 是 P[x] 上的线性函数. 如果 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间.取定 V 的一组基 n , , , 1 2 .对 V 上任意线性函数 f 及 V 中任意向量 ： n n = x + x ++ x 1 1 2 2 都有 = = = = n i i i n i i i f f x x f 1 1 () ( ) ( ) . (2)
因此，f(α)由f(s,),f(s,),,f(s,)的值唯一确定.反之，任给P中n个数aj,az,",a,，用下式定义V上一个函数f：(2x6,)=ax,-.i=li=l这是一个线性函数，并且f(c,)=a,i=1,2,,n因此有定理1设V是P上一个n维线性空间，j,62，,6,是V的一组基，aj,az,",a,是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f(6,)=a,i=1,2,",n
因此， f () 由 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n f f f 的值唯一确定.反之，任给 P 中 n 个数 a a an , , , 1 2 ，用下式定义 V 上一个函数 f ： = = = n i i i n i i i f x a x 1 1 ( ) . 这是一个线性函数，并且 f ( i ) = ai ,i =1, 2, ,n 因此有 定理 1 设 V 是 P 上一个 n 维线性空间， n , , , 1 2 是 V 的一组基， a a an , , , 1 2 是 P 中任意 n 个数，存在唯一的 V 上线性函数 f 使 f ( i ) = ai ,i =1, 2, ,n
S2对偶空间设V是数域P上一个n维线性空间.V上全体线性函数组成的集合记作L(V,P).可以用自然的方法在L(V,P)上定义加法和数量乘法设f.g是V的两个线性函数.定义函数f+g如下：(f+g)α= f(α)+g(α), αeVf+g也是线性函数：(f +g)(α+β)=f(α+β)+g(α+β)= f(α)+f(β)+g(α)+g(β)=(f +g)(α)+(f +g)(β),(f + g)(kα) = f(kα)+ g(kα)=kf(α)+kg(α)= k(f +g)(α)f+g称为与g的和还可以定义数量乘法.设f是V上线性函数，对于P中任意数k，定义函数kf如下：(kf)(α)= k(f(α) , αeV,kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，L(V,P)成为数域P上的线性空间取定V的一组基1,82,,6n，作V上n个线性函数fi,f2，,f，使得[1, j=t, i, j=1,2,,n.(1)f.(8)) =[o,j+i因为f,在基sj,82，",8,上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对V中向量α=xxe，有i=l(2)f,(α)= x
§2 对偶空间 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记 作 L(V,P) .可以用自然的方法在 L(V,P) 上定义加法和数量乘法. 设 f , g 是 V 的两个线性函数.定义函数 f + g 如下： ( f + g) = f () + g(), V . f + g 也是线性函数： ( )( ) ( )( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) f g f g f f g g f g f g = + + + = + + + + + = + + + ( f + g)(k) = f (k) + g(k) = k f () + k g() = k( f + g)() . f + g 称为 f 与 g 的和. 还可以定义数量乘法.设 f 是 V 上线性函数，对于 P 中任意数 k ，定义 函数 kf 如下： (kf )() = k( f ()) , V , kf 称为 k 与 f 的数量乘积，易证 kf 也是线性函数. 容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下， L(V,P) 成为数域 P 上的 线性空间. 取定 V 的一组基 n , , , 1 2 ，作 V 上 n 个线性函数 n f , f , , f 1 2 ，使得 , 1, 2 , , . 0, , 1 , ; ( ) i j n j i j i f i j = = = (1) 因为 i f 在基 n , , , 1 2 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对 V 中向量 = = n i i i x 1 ，有 i i f () = x , (2)
即f,(α)是α的第i个坐标的值引理对V中任意向量α，有(3)f,(α)e,α=1而对L(V,P)中任意向量，有(4)f =Ef(8)f. .i=l定理2L(V,P)的维数等于V的维数，而且fi,f2,…,f,是L(V,P)的一组基.定义2L(P,V)称为V的对偶空间.由（1）决定L(V,P)的的基，称为8,62,6,的对偶基以后简单地把V的对偶空间记作V*例考虑实数域R上的n维线性空间V=P[x]，，对任意取定的n个不同实数a,a,,,a,，根据拉格朗日插值公式，得到n个多项式(x-a,)(x-a-)(x-a)..(x-a,)p,(x)=,i=1,2,,n.(a, -a,)...(a, -ai--)(a, -a)...(a,-a,.)它们满足[1,j=i;i,j=1, 2,,np,(a,)=0,j+i,p,(x),pz(x),",P,(x)是线性无关的，因为由CP(x)+C2 P2(x)+..+C,P,(x)=0用a代入，即得2c (a,) =c,,(a,)= , - , =-1,,.k=l又因V是n维的，所以p,(x),p,(x),"",P,(x)是V的一组基
即 () i f 是 的第 i 个坐标的值. 引理 对 V 中任意向量 ，有 = = n i i i f 1 () , (3) 而对 L(V,P) 中任意向量 f ，有 = = n i i i f f f 1 ( ) . (4) 定理 2 L(V,P) 的维数等于 V 的维数，而且 n f , f , , f 1 2 是 L(V,P) 的一 组基. 定义 2 L(P,V) 称为 V 的对偶空间.由（1）决定 L(V,P) 的的基，称为 n , , , 1 2 的对偶基. 以后简单地把 V 的对偶空间记作 V . 例 考虑实数域 R 上的 n 维线性空间 n V = P[x] ，对任意取定的 n 个不同 实数 a a an , , , 1 2 ，根据拉格朗日插值公式，得到 n 个多项式 , 1 , 2 , , . ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 i n a a a a a a a a x a x a x a x a p x i i i i i i n i i n i = − − − − − − − − = = + − + 它们满足 , 1, 2 , , . 0 , , 1, ; ( ) i j n j i j i pi a j = = = ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 是线性无关的，因为由 c1 p1 (x) + c2 p2 (x)++ cn pn (x) = 0 用 i a 代入，即得 c p a ci pp ai ci i n n k k k i ( ) ( ) 0 , 1,2, , 1 = = = = = . 又因 V 是 n 维的，所以 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 是 V 的一组基
设L,eV*(i=1,2,,n）是在点a,的取值函数：L,(p(x) = p(a,), p(x)eV.i =1,2, --,n.则线性函数L满足(1,i=j;L,(P,(x)= P,(a,)=i, j=1,2,,n.0,i+j,因此，L,Lz,"",L,是p,(x),p2(x),",p,(x)的对偶基下面讨论V的两组基的对偶基之间的关系设V是数域P上一个n维线性空间.s62…及n,n2n是的两组基.它们的对偶基分别是fi,J2,J.及g1,g2,"",g..再设(1,n2,*.,n)=(c),62,,8n)A(gi,g2,".gn)=(fi,J2,..,J.)B其中(ail(b bi2.. bn)aj2..ainbaib22bam.a21a22a2nB =A=....::：:(balb2..bm)(anlan2am..由假设n,=ag+a,+...+amen,i=1,2,ng,=b,fi+b2,Jz+...+bmf.,j=1,2,..,n因此g,(n,)=-Zbyf:(a,6 +aa,6, ++ame.)-=by,au,+b?,a2,+.+byam{,=j i, j=1,2,.,n0o,i+j由矩阵乘法定义，即得B'A=E
设 L V (i 1, 2, ,n) i = 是在点 i a 的取值函数： L ( p(x)) p(a ), p(x) V .i 1,2, ,n. i = i = 则线性函数 Li 满足 , , 1,2, , . 0 , , 1, ; ( ( )) ( ) i j n i j i j Li p j x p j ai = = = = 因此， L L Ln , , , 1 2 是 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 的对偶基. 下面讨论 V 的两组基的对偶基之间的关系. 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间. n , , , 1 2 及 n , , , 1 2 是 V 的两 组基.它们的对偶基分别是 n f , f , , f 1 2 及 g g gn , , , 1 2 .再设 (1 ,2 , ,n ) = ( 1 , 2 , , n )A (g1 , g2 , , gn ) = ( f 1 , f 2 , , f n )B 其中 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 , = n n nn n n b b b b b b b b b B 1 2 21 22 2 11 12 1 由假设 i = a1i 1 + a2i 2 ++ ani n , i =1 , 2 , ,n , gi = b1 j f 1 + b2 j f 2 ++ bnj f n , j = 1, 2, ,n . 因此 i j n i j i j b a b a b a g b f a a a j i j i nj ni i i ni n n k j i kj k , 1 , 2 , , 0 , , 1 , ; ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 = = = = + + + = + + + = 由矩阵乘法定义，即得 BA = E
即B' = A-I定理3设8162",8,及n,2,n,是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为fi2及gg2，g.如果由1,2到n2,n的过渡矩阵为A，那么由i,J2…,f,到gi,828，的过渡矩阵为(4')"设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间，取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x*如下：x"(f)=f(x),feV.根据线性函数的定义，容易检验x*是V上的一个线性函数，因此是V的对偶空间（V*）=V*中的一个元素定理4V是一个线性空间，V*是V的对偶空间的对偶空间.V到V*的映射X→x"是一个同构映射这个定理说明，线性空间V也可看成V*的线性函数空间，V与V*实际上是互为线性函数空间的这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的
即 −1 B = A 定理 3 设 n , , , 1 2 及 n , , , 1 2 是线性空间 V 的两组基，它们的对 偶基分别为 n f , f , , f 1 2 及 g g gn , , , 1 2 .如果由 n , , , 1 2 到 n , , , 1 2 的 过渡矩阵为 A ，那么由 n f , f , , f 1 2 到 g g gn , , , 1 2 的过渡矩阵为 1 ( ) − A . 设 V 是 P 上一个线性空间， V 是其对偶空间，取定 V 中一个向量 x ，定 义 V 的一个函数 x 如下： x ( f ) = f (x), f V . 根据线性函数的定义，容易检验 x 是 V 上的一个线性函数，因此是 V 的 对偶空间 (V ) = V 中的一个元素. 定理 4 V 是一个线性空间， V 是 V 的对偶空间的对偶空间. V 到 V 的映射 → x x 是一个同构映射. 这个定理说明，线性空间 V 也可看成 V 的线性函数空间， V 与 V 实际 上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性 空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代 数中是很重要的
S3双线性函数定义3V是数域P上一个线性空间，f(α,β)是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α,β，根据f都唯一地对应于P中一个数f(α,β).如果f(α,β)有下列性质：1) f(α,k,β, +k2β2)=k,f(α,β)+kzf(α,β,):2) f(k,ai +k,α2,β)=kf(αj,β)+kzf(α2,β)其中α,αi,α2,β,β,β,是V中任意向量，k,,是P中任意数，则称f(α,β)为V上的一个双线性函数这个定义实际上是说对于V上双线性函数f(α,β)，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数例1欧氏空间V的内积是V上双线性函数例2设fi(α),f,(α)都是线性空间V上的线性函数，则f(α,β)=f(α)f2(β), α,βeV是V上的一个双线性函数例3设P"是数域P上n维列向量构成的线性空间.X,YeP"再设A是P上n级方阵.令(1)f(X,Y)= X'AY ,则f(X,Y)是P"上的一个双线性函数如果设X"=(xx2"x),Y"=(y2"），并设(auai2..ama22a21a2nA=:：:(an)an2an.则
§3 双线性函数 定义 3 V 是数域 P 上一个线性空间， f (, ) 是 V 上一个二元函数，即 对 V 中任意两个向量 , ，根据 f 都唯一地对应于 P 中一个数 f (, ) .如果 f (, ) 有下列性质： 1） ( , ) ( , ) ( , ) 11 2 2 1 1 2 2 f k + k = k f + k f ; 2） ( , ) ( , ) ( , ) f k11 + k22 = k1 f 1 + k2 f 2 , 其中 1 2 1 2 , , ,, , 是 V 中任意向量， 1 2 k ,k 是 P 中任意数，则称 f (, ) 为 V 上的一个双线性函数. 这个定义实际上是说对于 V 上双线性函数 f (, ) ，将其中一个变元固 定时是另一个变元的线性函数. 例 1 欧氏空间 V 的内积是 V 上双线性函数. 例 2 设 ( ), ( ) f 1 f 2 都是线性空间 V 上的线性函数，则 f (,) = f 1 () f 2 (), , V 是 V 上的一个双线性函数. 例 3 设 n P 是数域 P 上 n 维列向量构成的线性空间. n X,Y P 再设 A 是 P 上 n 级方阵.令 f (X,Y) = X AY , (1) 则 f (X,Y) 是 n P 上的一个双线性函数. 如果设 ( , , , ), ( , , , ) 1 2 n 1 2 n X = x x x Y = y y y ，并设 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 则
(2)f(X,Y)=Za,xyi=（1)或（2)实际上是数域P上任意n维线性空间V上的双线性函数f(α,β)的一般形式.可以如下地说明这一事实.取V的一组基6j，62.,6..设(4)X2=(81,82,*,8,)X,α=(,62,",8...(xm)(y)y2B=(8),62."",8n=(),2,**-,8,)Y,..yn则(a,P)=(,2y,6)-222f(6,6,)x,y,(3)/=l合i=l令a, =f(8),8,), i,j=1,2,..,n,auainai2a21a22...a2nA=::anan2..am则（3）就成为（1）或（2），定义4设f(α,β)是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数81,82，",8是V的一组基，则矩阵f(81,6)) f(81,82) f(81,8,)f(82,8)) f(82,82) ...f(82,8,)A=(4):::f(en,6) f(en,e2) ... f(en,en)叫做f(α,β）在8,62,",8,下的度量矩阵
= = = n i n j ij i j f X Y a x y 1 1 ( , ) . (2) （1）或（2）实际上是数域 P 上任意 n 维线性空间 V 上的双线性函数 f (, ) 的一般形式.可以如下地说明这一事实.取 V 的一组基 n , , , 1 2 .设 X x x x n n n ( , , , ) ( , , , ) 1 2 2 1 1 2 = = , Y y y y n n n ( , , , ) ( , , , ) 1 2 2 1 1 2 = = , 则 = = = = = = n i n j i j i j n i n j i i j j f f x y f x y 1 1 1 1 (, ) ( , ) ( , ) . (3) 令 aij = f ( i , j ), i , j = 1,2, ,n , = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 则（3）就成为（1）或（2）. 定义 4 设 f (, ) 是数域 P 上 n 维线性空间 V 上的一个双线性函数. n , , , 1 2 是 V 的一组基，则矩阵 = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n f f f f f f f f f A (4) 叫做 f (, ) 在 n , , , 1 2 下的度量矩阵
上面的讨论说明，取定V的一组基6，62，…,6,后，每个双线性函数都对应于一个n级矩阵，就是这个双线性函数在基8j,828，下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的反之，任给数域P上一个n级矩阵(aai2..aina22...a21a2A=:aman2..am对V中任意向量α=(,2,)X及β=(j,2,,,)Y，其中X'=(x,x2,",xn)，Y'=(yi,y2,",yn)用ZZaxyjf(α,β)=X'AY=)i=l j=l定义的函数是V上一个双线性函数.容易计算出f(α,β)在8,62,,8,下的度量矩阵就是A.因此，在给定的基下，V上全体双线性函数与P上全体n级矩阵之间的一个双射在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设6,2，8及n,n2…,n是线性空间V的两组基：(n1,n2,.,nn)=(81,62,-.,8n)Cα,β是V中两个向量α=(),2,",8n)X =(n,n2,,nn)X1β=(c),82,.",8,)Y=(n1,n2,"".,nn)Y,那么X=CX, ,Y=CY
上面的讨论说明，取定 V 的一组基 n , , , 1 2 后，每个双线性函数都对 应于一个 n 级矩阵，就是这个双线性函数在基 n , , , 1 2 下的度量矩阵.度 量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度 量矩阵是不同的. 反之，任给数域 P 上一个 n 级矩阵 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 对 V 中任意向量 = ( 1 , 2 , , n )X 及 = ( 1 , 2 , , n )Y ， 其 中 ( , , , ) 1 2 n X = x x x ， ( , , , ) 1 2 n Y = y y y 用 = = = = n i n j ij i j f X AY a x y 1 1 (, ) 定义的函数是 V 上一个双线性函数.容易计算出 f (, ) 在 n , , , 1 2 下的 度量矩阵就是 A . 因此，在给定的基下， V 上全体双线性函数与 P 上全体 n 级矩阵之间的 一个双射. 在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间 的什么关系呢？设 n , , , 1 2 及 n , , , 1 2 是线性空间 V 的两组基： (1 ,2 , ,n ) = ( 1 , 2 , , n )C , 是 V 中两个向量 1 2 1 2 1 = ( , , , n )X = ( , , ,n )X , 1 2 1 2 1 = ( , , , n )Y = ( , , ,n )Y 那么 1 1 X = CX , Y = CY