第三章线性方程组s1消元法教学目的掌握线性方程组的概念，熟练掌握消元法解线性方程组重点消元法难点消元法教学过程一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为aii+ai2x2+...+ainx,=bi,a2ixj+a22X2+...+a2n,=b2,(1)[as1x+as2x2+...+asmXn=bs的方程组，其中x,x，",x代表n个未知量，s是方程的个数，a,(i=1,2,;j=1,2,n)称为线性方程组的系数，b,(j=1,2…,s)称为常数项.方程组中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等.系数a,的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标j表示它是x，的系数所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数k,kz,",k组成的有序数组(k,kz,k），当x,x2,"x,分别用k,k2,,k,代入后，(1)中每个等式都变成恒等式.方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵
第三章 线性方程组 §1 消元法 教学目的 掌握线性方程组的概念，熟练掌握消元法解线性方程组 重 点 消元法 难 点 消元法 教学过程 一、线性方程组的初等变换 现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为 + + + = + + + = + + + = s s sn n s n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 , , (1) 的方程组，其中 n x , x , , x 1 2 代 表 n 个 未 知 量 ， s 是 方 程 的 个 数 ， a (i 1,2, ,s; j 1,2, ,n) ij = = 称为线性方程组的系数， b ( j 1,2, ,s) j = 称为常 数项.方程组中未知量的个数 n 与方程的个数 s 不一定相等.系数 ij a 的第一个 指标 i 表示它在第 i 个方程，第二个指标 j 表示它是 j x 的系数. 所谓方程组(1)的一个解就是指由 n 个数 n k , k , , k 1 2 组成的有序数组 ( , , , ) 1 2 n k k k ，当 n x , x , , x 1 2 分别用 n k , k , , k 1 2 代入后，(1)中每个等式都变 成恒等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出 它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合， 它们就称为同解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性 方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵
b,aua2ainb2a21a2na22..(2):b.asia2.asn来表示.实际上，有了（2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组（1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组例如，解方程组2x-x2+3x,=1,4x,+2x,+5x,=4,2x+X2+2xg=5第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成[2x]-x,+3x,=1,4x2 -x, =2,2x2 -x, =4.第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即[2x-x +3x,=1,得2x2 -x,=4,X3 = -6.这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1.用一非零数乘某一方程；2.把一个方程的倍数加到另一个方程；3.互换两个方程的位置定义1变换1，2，3称为线性方程组的初等变换二、线性方程组的解的情形
s s sn s n n a a a b a a a b a a a b 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 (2) 来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确 定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里 学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方 法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解 一般线性方程组. 例如，解方程组 + + = + + = − + = 2 2 5. 4 2 5 4 , 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 第二个方程组减去第一个方程的 2 倍，第三个方程减去第一个方程，就变 成 − = − = − + = 2 4. 4 2 , 2 3 1, 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x 第二个方程减去第三个方程的 2 倍，把第二第三两个方程的次序互换，即 得 = − − = − + = 6. 2 4 , 2 3 1, 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）. 分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而 所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成： 1. 用一非零数乘某一方程； 2. 把一个方程的倍数加到另一个方程； 3. 互换两个方程的位置. 定义 1 变换 1，2，3 称为线性方程组的初等变换. 二、线性方程组的解的情形
消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组对于方程组(1)，首先检查x,的系数.如果x,的系数a,a21,"",a全为零，那么方程组(1)对x没有任何限制，x就可以取任何值，而方程组(1)可以看作x，,x，的方程组来解.如果x的系数不全为零，那么利用初等变换3，可以设ai±0.利用初等变换2，分别把第一个方程的-倍加到第i个方程au(i=2,,n).于是方程组(1)就变成a+a2x++anx,=b,a22x2 +..+a2nx.=b,,(3) a'2x, +.+a'n, =b',,其中df =a,-.ay, = ., =2,.,.nan这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组a22x,+..+a2nxn=b2,(4)a'zx,+...+amx,=bn的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出x的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解对（4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为
消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把 方程组变成同解的方程组. 下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组. 对于方程组(1)，首先检查 1 x 的系数.如果 1 x 的系数 11 21 1 , , , a a as 全为零， 那么方程组(1)对 1 x 没有任何限制， 1 x 就可以取任何值，而方程组(1)可以看 作 n x , , x 2 的方程组来解.如果 1 x 的系数不全为零，那么利用初等变换 3，可 以设 a11 0.利用初等变换 2，分别把第一个方程的 11 1 a ai − 倍加到第 i 个方程 ( i = 2 , ,n ).于是方程组(1)就变成 + + = + + = + + + = , , , 2 2 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 s sn n s n n n n a x a x b a x a x b a x a x a x b (3) 其中 a i s j n a a a a j i ij ij , 2 , , , 2 , , 1 11 = − 1 = = 这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组 + + = + + = s sn n n n n a x a x b a x a x b 2 2 22 2 2 2 , (4) 的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出 1 x 的值，这就得出(3) 的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为 方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方 程组(4)有解. 对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到 一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为
Cux,+C2x,+...+Crx,+..+Cinx,=d,.C22X2+...+C2rX,+...+C2nX,=d2,C.x, +..+crmx, =d,,(5)0= dr+1,0=0,0=0.其中c.+0,i=1,2,r.方程组(5)中的“0=0"这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的现在考虑(5)的解的情况.如(5)中有方程0=d1，而dr0.这时不管x，x2,,x,取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解当dr是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况：1）r=n.这时阶梯形方程组为CM,+Ci2x,+.+Cnx,=d,,C22X2+..+C2nX,=d,(6)Cmx,=d,,其中c*0,i=1,2,n.由最后一个方程开始，x,，x-"x的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解例1解线性方程组[2x, -X2+3x, =1,4x+2x2+5x=4,2x+x2+2x=5.2）r<n.这时阶梯形方程组为CuX+Ci2X2 +.+Cirx,+Cir+i+I +.+Cinx,=d,,C2X2+...+C2rX,+C2,+1Xr1+...+C2nXn=d2C.X, +Cr+IX+++...+Cmx,=d
= = = + + = + + + + = + + + + + = + 0 0 . 0 0 , 0 , , , , 1 22 2 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 r r r r r n n r r r n n r r n n d c x c x d c x c x c x d c x c x c x c x d (5) 其中 c i r ii 0 , =1,2, , .方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现， 也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的. 现在考虑(5)的解的情况. 如(5)中有方程 0 = dr+1 ，而 dr+1 0.这时不管 n x , x , , x 1 2 取什么值都不 能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解. 当 dr+1 是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况： 1） r = n.这时阶梯形方程组为 = + + = + + + = , , , 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 nn n n n n n n c x d c x c x d c x c x c x d (6) 其中 cii 0 , i =1,2, ,n.由最后一个方程开始， 1 1 x , x , , x n n− 的值就可以逐 个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解. 例 1 解线性方程组 + + = + + = − + = 2 2 5. 4 2 5 4 , 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 2） r n.这时阶梯形方程组为 + + + = + + + + + = + + + + + + = + + + + + + , , , , 1 1 2 2 2 2 2, 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1, 1 1 1 1 r r r r r r r n n r r r r r n n r r r r n n c x c x c x d c x c x c x c x d c x c x c x c x c x d
其中c+0,i=1,2,,r.把它改写成Cai +Ci2X2+.+CirX, =d, -CLr+IXr+I-...-CinXn-C22X2+...+CrX,=d,-C2,r+Xr+1-...-C2nXn(7)Cmx, =d,-Crr+Xr+-...-CmXn-由此可见，任给xx,一组值，就唯一地定出x,x2,,x,的值，也就是定出方程组(7)的一个解一般地，由(7)我们可以把x,x2,",x,通过Xr+1,",x,表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而xr+",x称为一组自由未知量例2解线性方程组2x, -X2 +3x, =1,4x,-2x2+5x,=4,[2x) -x +4x, =-1.从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”（如果出现的话)去掉如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解：如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解定理1在齐次线性方程组a+ai2x,+...+anx,=0,a2ixf+a2x+.+a2nx.=0,[a+a2x2+...+asnx,=0中，如果s<n，那么它必有非零解矩阵
其中 c i r ii 0 , =1,2, , .把它改写成 = − − − + + = − − − + + + = − − − + + + + + + . , , , 1 1 2 2 2 2 2 2, 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1, 1 1 1 r r r r r r r r n n r r r r n n r r r r n n c x d c x c x c x c x d c x c x c x c x c x d c x c x (7) 由此可见，任给 r n x , , x +1 一组值，就唯一地定出 r x , x , , x 1 2 的值，也就是 定出方程组 (7) 的 一 个解 .一 般 地， 由(7) 我 们可以把 r x , x , , x 1 2 通过 r n x , , x +1 表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而 r n x , , x +1 称为一组自由未知量. 例 2 解线性方程组 − + = − − + = − + = 2 4 1. 4 2 5 4 , 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子， 但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子. 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初 等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出 现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那 么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个 数 r 等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程 的个数 r 小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解. 定理 1 在齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0, 0, 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 s s sn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x 中，如果 s n ，那么它必有非零解. 矩阵
b,a2ainanib2a21a22..a2n(8)主:(asa..amb,称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(8)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解例3解线性方程组[2x, -X2 +3x, =1,4x -2x2 +5x, =4,2x -x,+4x,=0
s s sn s n n a a a b a a a b a a a b 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 (8) 称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相 当于用初等行变换化增广矩阵(8)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一 步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有 解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解. 例 3 解线性方程组 − + = − + = − + = 2 4 0. 4 2 5 4 , 2 3 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x
82n维向量空间教学目的掌握向量的概念，向量的加法和数量乘法，熟练掌握向量空间的定义和八条运算性质重点向量空间的定义和八条运算性质难点向量空间的定义教学过程定义2所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组(1)(a,a,...,an)a,称为向量(1)的分量用小写希腊字母α,β...来代表向量定义3如果n维向量α=(a,a2,,a,),β=(br,b2,,b,)的对应分量都相等，即a, =b,(i=1,2,...,n)就称这两个向量是相等的，记作α=βn维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的定义4向量y=(a +bi,az +bz,.-,an +b,)称为向量α=(ai,az,..,a,),β=(b,b2,..,b.)的和，记为=α+β由定义立即推出：
§2 n 维向量空间 教学目的 掌握向量的概念，向量的加法和数量乘法，熟练掌握向量空间的 定义和八条运算性质. 重 点 向量空间的定义和八条运算性质 难 点 向量空间的定义 教学过程 定义 2 所谓数域 P 上一个 n 维向量就是由数域 P 中 n 个数组成的有序 数组 ( , , , ) a1 a2 an (1) i a 称为向量(1)的分量. 用小写希腊字母 , , , 来代表向量. 定义 3 如果 n 维向量 ( , , , ) , ( , , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn 的对应分量都相等，即 a b (i 1,2, ,n) i = i = . 就称这两个向量是相等的，记作 = . n 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的. 定义 4 向量 ( , , , ) = a1 + b1 a2 + b2 an + bn 称为向量 ( , , , ) , ( , , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn 的和，记为 = + 由定义立即推出：
交换律：(2)α+β=β+α结合律：(3)α+(β+)=(α+β)+y定义5分量全为零的向量(0,0,,0)称为零向量，记为0;向量(-a,a.,-a,）称为向量α=(a,a2,a）的负向量，记为-α显然对于所有的α，都有(4)α+0=α(5)α+(-α)=0(2)一(5)是向量加法的四条基本运算规律定义6 α-β=α+(-β)定义7设k为数域P中的数，向量(ka,ka,....,ka.)称为向量α=（a,az,,a,）与数k的数量乘积，记为kα由定义立即推出：(6)k(α+β)=kα+kβ(7)(k+)α=kα+lα(8)k(lα)=(k)α(9)lα=α(6)一(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)一(9)或由定义不难推出：0α=0(10)(11)(-1)α= -αk0=0(12)如果k0,α0，那么
交换律： + = + . (2) 结合律： + ( + ) = ( + ) + (3) 定义 5 分量全为零的向量 (0,0, ,0) 称为零向量，记为 0;向量 ( , , , ) −a1 −a2 −an 称为向量 ( , , , ) = a1 a2 an 的负 向量，记为 − . 显然对于所有的 ，都有 + 0 = (4) + (−) = 0 (5) (2)—(5)是向量加法的四条基本运算规律. 定义 6 − = + (− ) 定义 7 设 k 为数域 P 中的数，向量 ( , , , ) 1 2 n ka ka ka 称为向量 ( , , , ) = a1 a2 an 与数 k 的数量乘积，记为 k 由定义立即推出： k( + ) = k + k (6) (k + l) = k + l (7) k(l) = (kl) (8) 1 = (9) (6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出： 0 = 0 (10) (−1) = − (11) k0 = 0 (12) 如果 k 0 , 0 ，那么
ka±0(13)定义8以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间在n=3时，3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间.以上已把数域P上全体n维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域P上n维向量空间向量通常是写成一行：α=(aj,a2,",an)有时也可以写成一列：aa.α=(an)为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同
k 0 (13) 定义 8 以数域 P 中的数作为分量的 n 维向量的全体，同时考虑到定义 在它们上面的加法和数量乘法，称为数域 P 上的 n 维向量空间. 在 n = 3 时，3 维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的 空间. 以上已把数域 P 上全体 n 维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的 代数结构，即数域 P 上 n 维向量空间. 向量通常是写成一行： ( , , , ) = a1 a2 an . 有时也可以写成一列： = n a a a 2 1 . 为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不 同
s3线性相关性教学目的本节概念多、性质多，要深刻理解它们的几何背景.掌握线性组合、等价的概念和性质，熟练掌握线性相关性的定义和性质，熟练掌握极大无关组的概念和性质。重点线性相关性的定义和性质，极大无关组的概念和性质难点线性相关的定义，替换定理教学过程一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。一、线性相关与线性无关两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量α与β成比例就是说有一数k使α=kβ.定义9向量α称为向量组B,β2,β的一个线性组合，如果有数域P中的数k,kz,",k,，使α=k,β +kβ+.+k,β,其中k,kz，",k,叫做这个线性组合的系数例如，任一个n维向量α=(a,az，,a,）都是向量组6} = (1,0,.,0),62= (0,1,,0),(1)[6,=(0,0,..,1)的一个线性组合.向量828称为n维单位向量零向量是任意向量组的线性组合
§3 线性相关性 教学目的 本节概念多、性质多，要深刻理解它们的几何背景.掌握线性组 合、等价的概念和性质，熟练掌握线性相关性的定义和性质，熟练掌握极大 无关组的概念和性质。 重 点 线性相关性的定义和性质，极大无关组的概念和性质. 难 点 线性相关的定义，替换定理 教学过程 一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向 量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。 一、线性相关与线性无关 两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量 与 成比例就是说 有一数 k 使 = k . 定义 9 向量 称为向量组 s , , , 1 2 的一个线性组合，如果有数域 P 中的数 s k , k , , k 1 2 ，使 s s = k11 + k2 2 ++ k , 其中 s k , k , , k 1 2 叫做这个线性组合的系数. 例如，任一个 n 维向量 ( , , , ) = a1 a2 an 都是向量组 = = = (0,0, ,1) (0,1, ,0), (1,0, ,0), 2 1 n （1） 的一个线性组合. 向量 n , , , 1 2 称为 n 维单位向量. 零向量是任意向量组的线性组合