第八章λ-矩阵 引言：由第七章的讨论我们知道，方阵未必能对角化，那么方阵能相似于什 么样的最简单形式的矩阵呢？本章用λ-矩阵的知识证明了：复n级矩阵A 都相似于若当标准形。λ-矩阵的理论和若当标准形不仅在矩阵理论、矩阵 计算中起着十分重要的作用，而且在微分方程、力学、控制论等学科具有广 泛的应用. §1n-矩阵 教学目的理解~-矩阵的概念和性质，注意与数字矩阵的关系与区别 重点-矩阵的定义，可逆的充要条件. 教学过程 设P是数域，λ是一个文字，作多项式环P[2],一个矩阵如果它的元素 是λ的多项式，即P[A]的元素，就称为λ-矩阵.在这一章讨论λ-矩阵的一 些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理. 因为数域P中的数也是P[2]的元素，所以在λ-矩阵中也包括以数为 元素的矩阵.为了与2-矩阵相区别，把以数域P中的数为元素的矩阵称为 数字矩阵.以下用A(),B(),.·等表示λ-矩阵. 我们知道，P[1]中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数 的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的 加法与乘法，因此可以同样定义-矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的 运算有相同的运算规律. 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一 个n×n的λ-矩阵的行列式.一般地，λ-矩阵的行列式是λ的一个多项式， 它与数字矩阵的行列式有相同的性质. 定义1如果λ-矩阵A(A)中有一个r(r≥1)级子式不为零，而所有r+1 级子式（如果有的话）全为零，则称A(1)的秩为r.零矩阵的秩规定为零
第八章 −矩阵 引言：由第七章的讨论我们知道，方阵未必能对角化，那么方阵能相似于什 么样的最简单形式的矩阵呢？本章用λ-矩阵的知识证明了：复 n 级矩阵 都相似于若当标准形． -矩阵的理论和若当标准形不仅在矩阵理论、矩阵 计算中起着十分重要的作用，而且在微分方程、力学、控制论等学科具有广 泛的应用． §1 −矩阵 教学目的 理解 -矩阵的概念和性质，注意与数字矩阵的关系与区别. 重 点 -矩阵的定义，可逆的充要条件. 教学过程 设 P 是数域， 是一个文字，作多项式环 P[] ，一个矩阵如果它的元素 是 的多项式，即 P[] 的元素，就称为 −矩阵.在这一章讨论 −矩阵的一 些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理. 因为数域 P 中的数也是 P[] 的元素，所以在 −矩阵中也包括以数为 元素的矩阵.为了与 −矩阵相区别，把以数域 P 中的数为元素的矩阵称为 数字矩阵.以下用 A(), B(), 等表示 −矩阵. 我们知道， P[] 中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数 的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的 加法与乘法，因此可以同样定义 −矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的 运算有相同的运算规律. 行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一 个 nn 的 −矩阵的行列式.一般地， −矩阵的行列式是 的一个多项式， 它与数字矩阵的行列式有相同的性质. 定义 1 如果 −矩阵 A() 中有一个 r(r 1) 级子式不为零，而所有 r +1 级子式（如果有的话）全为零，则称 A() 的秩为 r .零矩阵的秩规定为零. A
定义2一个n×n的-矩阵A()称为可逆的，如果有一个n×n的-矩阵B(元)使(1)A(2)B()= B(2)A(a)= E,这里E是n级单位矩阵.适合(1)的矩阵B(a)（它是唯一的)称为A(a)的逆矩阵，记为A-(a)..定理1一个n×n的-矩阵A()是可逆的充要条件为行列式|A(a)|是一个非零的数
定义 2 一个 nn 的 −矩阵 A() 称为可逆的，如果有一个 nn 的 − 矩阵 B() 使 A()B() = B()A() = E , (1) 这里 E 是 n 级单位矩阵.适合(1)的矩阵 B() (它是唯一的)称为 A() 的逆 矩阵，记为 ( ) 1 − A . 定理 1 一个 nn 的 −矩阵 A() 是可逆的充要条件为行列式 | A() | 是 一个非零的数
s2-矩阵在初等变换下的标准形教学目的记忆元-矩阵的初等变换，等价，标准形的概念，熟练掌握其标准形的求法.重点元-矩阵标准形的求法教学过程几-矩阵也可以有初等变换定义3下面的三种变换叫做入－矩阵的初等变换：（1）矩阵的两行（列）互换位置；(2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c；(3）矩阵有某一行（列）加另一行（列）的()倍，p()是一个多项式和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵例如，将单位矩阵的第j行的(a)倍加到第i行上得例j列(1:行1.(2)P(i.j(β) =j行1 仍用P(i,j)表示由单位矩阵经过第i行第行互换位置所得的初等矩阵，用P(i(c))表示用非零常数c乘单位矩阵第i行所得的初等矩阵.同样地，对一个sxn的α-矩阵A(a)作一次初等变换就相当于在A(a)的左边乘上相应s×s的初等矩阵：对A2)作一次初等列变换就相当于A(2)在的右边乘上相应的nxn的初等矩阵，初等矩阵都是可逆的，并且有
§2 −矩阵在初等变换下的标准形 教学目的 记忆 -矩阵的初等变换，等价，标准形的概念，熟练掌握其标 准形的求法. 重 点 -矩阵标准形的求法. 教学过程 −矩阵也可以有初等变换 定义 3 下面的三种变换叫做 −矩阵的初等变换： (1) 矩阵的两行（列）互换位置； (2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 c ； (3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的 () 倍， () 是一个多项式. 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的 第 j 行的 () 倍加到第 i 行上得 行 行 列 列 j i P i j i j = 1 1 1 ( ) 1 ( . ( )) 仍用 P(i, j) 表示由单位矩阵经过第 i 行第 j 行互换位置所得的初等矩阵，用 P(i(c)) 表示用非零常数 c 乘单位矩阵第 i 行所得的初等矩阵.同样地，对一个 sn 的 − 矩阵 A() 作一次初等变换就相当于在 A() 的左边乘 上相应 ss 的初等矩阵；对 A() 作一次初等列变换就相当于 A() 在的右边乘上相 应的 nn 的初等矩阵. 初等矩阵都是可逆的，并且有
P(i, j)-" = P(i, J), P(i(c))- = P(i(c-")),P(i, j()- = P(i,j(-p))由此得出初等变换具有可逆性：设入-矩阵A(a)用初等变换变成B(2)，这相当于对A(a)左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘B(a)就变回A(a)，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由B(a)可用初等变换变回 A(2)定义4-矩阵A(a)称为与B(a)等价，如果可以经过一系列初等变换将 A(2)化为 B(2)等价是元一矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质：（1）反身性：每一个元-矩阵与它自身等价(2)对称性：若A(a)与B(2)等价，则B(2)与A(a)等价(3)传递性：若A(a)与B(a)等价，B()与C(a)等价，则A(2)与C(2)等价.应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵A(a)与B(a)等价的充要条件为有一系列初等矩阵P,P2,,P,Q1,Q2Q，使(2)A(a)= PP .PB(a)QQ, *--Qt这一节主要是证明任意一个入－矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵.引理设-矩阵A()的左上角元素an()0，并且A()中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与A(a)等价的矩阵B()，它的左上角元素也不为零，但是次数比a(a)的次数低定理2任意一个非零的sxn的-矩阵A(a)都等价于下列形式的矩阵
( , ) ( , ), ( ( )) ( ( )), ( , ( )) ( , ( )) 1 1 1 1 = = = − − − − − P i j P i j P i c P i c P i j P i j . 由此得出初等变换具有可逆性：设 −矩阵 A() 用初等变换变成 B() ， 这相当于对 A() 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 B() 就变回 A() ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由 B() 可用初等变换变 回 A() . 定义 4 −矩阵 A() 称为与 B() 等价，如果可以经过一系列初等变换 将 A() 化为 B() . 等价是 −矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质： (1) 反身性：每一个 −矩阵与它自身等价. (2) 对称性：若 A() 与 B() 等价，则 B() 与 A() 等价. (3) 传递性：若 A() 与 B() 等价， B() 与 C() 等价，则 A() 与 C() 等价. 应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵 A() 与 B() 等价的充要条件为 有一系列初等矩阵 P P Pl Q Q Qt , , , , , , , 1 2 1 2 ，使 A P1P2 PlB Q1Q2 Qt () = () . (2) 这一节主要是证明任意一个 −矩阵可以经过初等变换化为某种对角 矩阵. 引理 设 −矩阵 A() 的左上角元素 a11() 0 ，并且 A() 中至少有一 个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与 A() 等价的矩阵 B() ，它 的左上角元素也不为零，但是次数比 ( ) a11 的次数低. 定理 2 任意一个非零的 sn 的 −矩阵 A() 都等价于下列形式的矩阵
(d,(a)d,(a)..d,(a)0.0其中r≥1,d(a)(i=1,2,.,r)是首项系数为1的多项式，且d()ldu(a) (i=1,2,.".,r-1)这个矩阵称为A(元）的标准形例用初等变换化入一矩阵(1- 元2元-1元2-元元A(2) =1+ 2223+元-1-22为标准形
0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1 dr d d , 其中 r 1,d ( )(i 1, 2, ,r) i = 是首项系数为 1 的多项式，且 ( ) | ( ) ( 1 , 2 , , 1) di di+1 i = r − . 这个矩阵称为 A() 的标准形. 例 用初等变换化 −矩阵 + + − − − − − = 2 3 2 2 1 1 1 2 1 ( ) A 为标准形
83不变因子教学目的掌握行列式因子、不变因子的概念，熟练掌握其求法和应用重点行列式因子、不变因子的求法和应用教学过程现在来证明，入矩阵的标准形是唯一的定义5设-矩阵A()的秩为r，对于正整数k,1<k≤r,，A()中必有非零的k级子式A(a)中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式D,(a)称为A(a)的k级行列式因子由定义可知，对于秩为r的-矩阵，行列式因子一共有r个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的定理3等价的入－矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为(d,(a)d,(a):d,(a)(1)0:0其中d(a),d,(a),,d,(a)是首项系数为1的多项式，且d,(a)ldi+(a）(i=1,2，，r-1).不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个k级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个k级子式一定为零因此，为了计算k级行列式因子，只要看由i,，行与i,2列组成的k级子式就行了，而这个k级子式等于d,(a),d,(a),",d,(a)显然，这种k级子式的最大公因式就是
§3 不 变 因 子 教学目的 掌握行列式因子、不变因子的概念，熟练掌握其求法和应用. 重 点 行列式因子、不变因子的求法和应用. 教学过程 现在来证明， −矩阵的标准形是唯一的. 定义 5 设 −矩阵 A() 的秩为 r ，对于正整数 k,1 k r, ， A() 中必 有非零的 k 级子式. A() 中全部 k 级子式的首项系数为 1 的最大公因式 () Dk 称为 A() 的 k 级行列式因子. 由定义可知，对于秩为 r 的 −矩阵，行列式因子一共有 r 个.行列式因 子的意义就在于，它在初等变换下是不变的. 定理 3 等价的 −矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子. 现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1 dr d d (1) 其 中 ( ), ( ), , ( ) d1 d2 dr 是首项系数为 1 的 多 项 式 ， 且 ( ) | ( ) ( 1 , 2 , , 1) di di+1 i = r − .不难证明，在这种形式的矩阵中，如果 一个 k 级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个 k 级子式一定为零. 因此，为了计算 k 级行列式因子，只要看由 k i ,i , ,i 1 2 行与 k i ,i , ,i 1 2 列组成的 k 级子式就行了，而这个 k 级子式等于 ( ), ( ), , ( ) 1 2 k di di di 显然，这种 k 级子式的最大公因式就是
d,(a)d,(a)...d (a)定理4-矩阵的标准形是唯一的证明设(1)是A(2)的标准形.由于A(a)与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，A(2)的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数r;A(a)的k级行列式因子就是(2)D,(a)=d,(a)d,(a)..-d,(a) (k=1,2,.,r)于是D,(a)d(2)=D(a) ,d;(2)= D()..,d,(a)=(3)D,(2)Dr-1(a)这就是A()的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被A(2)的行列式因子所唯一决定的，所以A(2)的标准形是唯一的定义6标准形的主对角线上非零元素d,(a),d,(a),d,(a)称为元-矩阵A(2)的不变因子定理5两个元－矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子由(3)可以看出，在入一矩阵的行列式因子之间，有关系式(4)D,(a)|Dk+(a) (k =1,2,-,r-1)在计算入一矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子这样，由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了例如，可逆矩阵的标准形.设A(a)为一个n×n可逆矩阵，由定理1知I A(a)=d,其中d是一非零常数，这就是说D,(a)=1于是由(4)可知，D,(a)=1(k=1,2,,n)从而
( ) ( ) ( ) d1 d2 dk 定理 4 −矩阵的标准形是唯一的. 证明 设(1)是 A() 的标准形.由于 A() 与(1)等价，它们有相同的秩与相 同的行列式因子，因此， A() 的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个 数 r ; A() 的 k 级行列式因子就是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ) 1 2 D d d d k r k = k = . (2) 于是 ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 1 2 1 1 2 − = = = r r r D D d D D d D d . (3) 这就是 A() 的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被 A() 的行列式因子 所唯一决定的，所以 A() 的标准形是唯一的. 定义 6 标准形的主对角线上非零元素 ( ), ( ), , ( ) d1 d2 dr 称为 −矩 阵 A() 的不变因子. 定理 5 两个 −矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或 者，它们有相同的不变因子. 由(3)可以看出，在 −矩阵的行列式因子之间，有关系式 ( ) | ( ) ( 1,2, , 1) Dk Dk+1 k = r − . (4) 在计算 −矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样， 由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了. 例如，可逆矩阵的标准形.设 A() 为一个 nn 可逆矩阵，由定理 1 知 | A() |= d , 其中 d 是一非零常数，这就是说 Dn () =1 于是由(4)可知， D ( ) 1 (k 1,2, ,n) k = = 从而
d:(a)=1(k =1,2,...,n)因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵E.反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价.又矩阵A(a)与B(a)等价的充要条件是有一系列初等矩阵P,P,P,,Q2Q，使A(a)=PP, ...P,B(2)QO..-O特别是，当时B()=E，就得到定理6矩阵A(2）是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.推论两个sxn的-矩阵A()与B(a)等价的充要条件为，有一个sxs可逆矩阵与一个nxn可逆矩阵Q(a)，使B(2) = P()A(2)Q(2)
d ( ) 1 (k 1,2, ,n) k = = 因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵 E .反过来，与单位矩阵等价的矩阵一 定是可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩阵可逆的充 要条件是它与单位矩阵等价.又矩阵 A() 与 B() 等价的充要条件是有一系 列初等矩阵 P P Pl Q Q Qt , , , , , , , 1 2 1 2 ，使 A P1P2 PlB Q1Q2 Qt () = () 特别是，当时 B() = E ，就得到 定理 6 矩阵 A() 是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘 积. 推论 两个 sn 的 − 矩阵 A() 与 B() 等价的充要条件为，有一个 ss 可逆矩阵与一个 nn 可逆矩阵 Q() ，使 B() = P()A()Q()
s4矩阵相似的条件教学目的理解引理的证明思想，熟练掌握数字矩阵相似的充要条件重点数字矩阵相似的充要条件教学过程在求一个数字矩阵A的特征值和特征向量时曾出现过元-矩阵AE－A,我们称它A为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个n×n数字矩阵A和B相似的充要条件是它们的特征矩阵2E-A和2E-B等价引理1如果有nxn数字矩阵P,。使(1)E-A=P(AE-B)Q0,则A和B相似引理2对于任何不为零的nxn数字矩阵A和-矩阵U(a)与V(a)，一定存在-矩阵Q(a)与R(a)以及数字矩阵U。和V。使(2)U()=(E - A)Q()+U。,(3)V(a)= R(2)(aE - A)+V.定理7设A，B是数域P上两个n×n矩阵A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵AE-A和AE-B等价矩阵A的特征矩阵AE-A的不变因子以后简称为A的不变因子.因为两个元一矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理7即得推论矩阵A与B相似的充要条件是它们有相同的不变因子应该指出，nxn矩阵的特征矩阵的秩一定是n.因此，nxn矩阵的不变因子总是有n个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子（它们与该矩阵的选取无关）定义为此线性变换的不变因子
§4 矩阵相似的条件 教学目的 理解引理的证明思想，熟练掌握数字矩阵相似的充要条件. 重 点 数字矩阵相似的充要条件. 教学过程 在求一个数字矩阵 A 的特征值和特征向量时曾出现过 −矩阵 E − A, 我们称它 A 为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个 nn 数字矩阵 A 和 B 相似的充要条件是它们的特征矩阵 E − A 和 E − B 等价. 引理 1 如果有 nn 数字矩阵 0 0 P ,Q 使 0 0 E − A = P (E − B)Q , (1) 则 A 和 B 相似. 引理 2 对于任何不为零的 nn 数字矩阵 A 和 −矩阵 U () 与 V() ， 一定存在 −矩阵 Q() 与 R() 以及数字矩阵 U0 和 V0 使 0 U() = (E − A)Q() +U , (2) 0 V() = R()(E − A) +V . (3) 定理 7 设 A ，B 是数域 P 上两个 nn 矩阵. A 与 B 相似的充要条件是 它们的特征矩阵 E − A 和 E − B 等价. 矩阵 A 的特征矩阵 E − A 的不变因子以后简称为 A 的不变因子.因为两 个 −矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理 7 即得 推论 矩阵 A 与 B 相似的充要条件是它们有相同的不变因子. 应该指出， nn 矩阵的特征矩阵的秩一定是 n .因此， nn 矩阵的不变 因子总是有 n 个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式. 以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线 性变换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变 换的不变因子
85初等因子教学目的理解初等因子的概念，理解行列式因子、不变因子、初等因子的关系，熟练掌握初等因子的求法，重点初等因子的求法教学过程引入：上节我们证明了两个矩阵相似的充要条件是它们的不变因子组相同，我们认为利用不变因子刻划相似太粗糙，希望刻划的更精细些，我们把不变因子分解成一次因式的方幂，进行更深一步的讨论。本节和下一节中假定讨论中的数域是复数域，一、初等因子的概念定义7把矩阵A（或线性变换A）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵A(或线性变换A)的初等因子例设12级矩阵的不变因子是1,1, ,1,(a-1)*,(a -1)*(a+ 1),(a-1)*(a +1)(22 +1)?9个按定义，它的初等因子有7个，即(a-1)2,(a-1)2,(a-1)2,(a+1),(a+1),(a-i)2 ,(a+i)2其中（元-1)出现三次，元+1出现二次现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系.首先，假设n级矩阵A的不变因子d,(a),d,(a),",d,(a)为已知.将d,(a)(i=1,2,,n)分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：d,()=(-)(-)2 ...(-,)kr,d2()=(-)1(-)522 ..-(-,)2r,d,()=(-)(-)2 ..(-2,)m
§5 初等因子 教学目的 理解初等因子的概念，理解行列式因子、不变因子、初等因子 的关系，熟练掌握初等因子的求法. 重 点 初等因子的求法. 教学过程 引入：上节我们证明了两个矩阵相似的充要条件是它们的不变因子组相同，我们 认为利用不变因子刻划相似太粗糙，希望刻划的更精细些，我们把不变因子分解成一 次因式的方幂，进行更深一步的讨论．本节和下一节中假定讨论中的数域是复数域． 一、初等因子的概念 定义 7 把矩阵 A （或线性变换 A）的每个次数大于零的不变因子分解 成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按 出现的次数计算)称为矩阵 A (或线性变换 A)的初等因子. 例 设 12 级矩阵的不变因子是 2 2 2 2 2 9 1,1, ,1,( −1) ,( −1) ( +1),( −1) ( +1)( +1) 个 . 按定义，它的初等因子有 7 个，即 2 2 2 2 2 ( −1) ,( −1) ,( −1) ,( +1) ,( +1) ,( − i) ,( + i) . 其中 2 ( −1) 出现三次， +1 出现二次. 现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系.首先，假设 n 级矩阵 A 的不变因子 ( ), ( ), , ( ) d1 d2 dn 为已知.将 d ( )(i 1,2, ,n) i = 分解成互不 相同的一次因式方幂的乘积： r k r k k d 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = − 1 − 2 − , r k r k k d 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = − 1 − 2 − , n n n r k r k k dn ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 = − 1 − 2 −