系统仿真技术 第3章时域离散相似法 剡昌锋刘军 兰州理工大学机电工程学院
系统仿真技术 第3章 时域离散相似法 剡昌锋 刘军 兰州理工大学机电工程学院
“离散相似法” 对传递函数作离散化处理得离散传递 函数,称为频域离散相似模型一一频域离 散相似法 对状态方程离散化得时域离散相似模 型一一时域离散相似法
“离散相似法” ▪ ――对传递函数作离散化处理得离散传递 函数，称为频域离散相似模型――频域离 散相似法 ▪ ――对状态方程离散化得时域离散相似模 型――时域离散相似法
31时域离散相似法基本原理 31.1基本方法 系统状态方程:x=Ax+Bnt (1) 解析解:)=ex(0)+ (-TBu(r)dr (2) 离散化处理: x(k) u(t) k)} u(t 信号重构 x=Ax+ Bul (t) 图31连续系统的离散化处理
3.1 时域离散相似法基本原理 ▪ 3.1.1基本方法 ▪ 系统状态方程： (1) ▪ 解析解： (2) ▪ 离散化处理： x = Ax + Bu x t e x e Bu d t At A t ( ) (0) ( ) 0 ( ) − = + 信号重构 T T 图3.1连续系统的离散化处理 u(t) {u(k)} ~ u(t) ~ x(t) x(k) x = Ax+ Bu
基本方法(续) 输入端:加上虚拟采样开关和虚拟信号重构器; 输出端:加一个虚拟采样开关 虚拟采样周期:T,两者同步。 对离散化处理后的系统,设kT及(k+1)7为两个依 次相连的采样瞬时,则有: x(k1) AkT (0)+ ckT A(kT-t)Bulo dt (k+1)T x(k+1)7]=e A (k+D)T x(0)+ ,A(k+1)7-r Bu(r)at 0
基本方法 (续) ▪ 输入端：加上虚拟采样开关和虚拟信号重构器； 输出端：加一个虚拟采样开关 ▪ 虚拟采样周期：T，两者同步。 ▪ 对离散化处理后的系统，设kT及(k+1)T为两个依 次相连的采样瞬时，则有： ▪ (3) ▪ (4) x k T e x e Bu d kT AkT A kT ( ) ~ ( ) (0) 0 ( ) − = + x k T e x e Bu d k T A k T A k T ( ) ~ [( 1) ] (0) ( 1) 0 ( 1) [( 1) ] + + + − + = +
基本方法(续) 将(4)式-(3)式乘以e,可得: (k+1)T x(k+1)7=ex(k7)+ A(k+1)7-r] Bu(rdr kT (5) (5)式右端的积分与k无关,故可令k=0。 x(k+1)7]=e7x(k)+[e=)Bi(r)dr 若信号重构器使kT与(k+1)7之间的()不变, 积分式中的a()保持常数(r)=(k),那么,(5) 式可改写为: x[(k+1T]=ex(kr)+le eAcT-rBu(o)dt d(T)x(kr)+L o(T-T)Bu(r dr (6)
基本方法 (续) ▪ 将(4)式－(3)式乘以e AT ,可得： ▪ (5) ▪ (5)式右端的积分与k无关，故可令k=0。 ▪ 若信号重构器使kT与(k+1)T之间的 不变， 积分式中的 保持常数 ，那么，(5) 式可改写为： ▪ (6) x k T e x k T e Bu d k T kT AT A k T ( ) ~ [( 1) ] ( ) ( 1) [( 1) ] + + − + = + x k T e x k T e Bu d T AT A T ( ) ~ [( 1) ] ( ) 0 ( ) − + = + ~ u (t) ~ u () ~ u() = u(kT) T x k T T Bu d x k T e x k T e Bu d T T A T A T ( ) ~ ( ) ( ) ( ) ( ) ~ [( 1) ] ( ) 0 0 ( ) = + − + = + −
基本方法(续) 若令「(7-)Blz=n(T) ,则有 x(k+1)7]=Φ(T)x(n)+①n(T)(k 信号重构器使(τ为一斜坡函数(梯形近似),则在 原基础上增加△n(r) △u4()=2[(k+1)T1-[kZ z三ti(kT)z (8) 对应△k(),对xk+1)们引起的变化量为: △(k+17-=∈BMn()dr. zear-r)bd aic(kD)(9) 令 teA(T-rBdt 则:x(k+1)7=)x(kn)+Φn(T)u(k)+dn(T)i(k7)(10)
基本方法 (续) 若令 ,则有： (7) 信号重构器使 为一斜坡函数（梯形近似），则在 原基础上增加 (8) 对应 ，对 引起的变化量为： (9) 令 则： (10) ( ) ( ) 0 T Bd m T T − = x[(k 1)T] (T)x(k T) (T)u(k T) + = +m ~ u () uk () ( ) [( 1) ] [ ] ( ) u k T T u k T u k T uk + − = uk () x[(k +1)T] − − + = T A T T k A T x k T e B u d e Bd u k T 0 ( ) 0 ( ) [( 1) ] ( ) ( ) = − T m A T e Bd T 0 ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ x[(k +1)T] = (T)x(k T) +m (T)u(k T) +m T u k T
基本方法(续 op(T) (状态转移矩阵) n(T)=o(-)Br(输入信号采用零阶重构器 引入的系数矩阵) d(T)=c=lMr(输入信号采用一阶重构器 后叠加的系数矩阵) 比较:离散相似法:方程系数()、Φm(、Φm(T) 可以一次求出每做一步积分只要计算一次右端 函数,无须迭代,速度快 数值积分方法:每做一步积分要多次计算右端 函数,迭代,速度慢
基本方法 (续) ▪ (状态转移矩阵) ▪ (输入信号采用零阶重构器 引入的系数矩阵) ▪ (输入信号采用一阶重构器 后叠加的系数矩阵) ▪ 比较：离散相似法： 方程系数 可以一次求出,每做一步积分只要计算一次右端 函数，无须迭代，速度快 . ▪ 数值积分方法：每做一步积分要多次计算右端 函数，迭代，速度慢 T T Bd T m = − 0 ( ) ( ) AT (T) = e − = T A T m T e Bd 0 ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) T 、 m T 、 m(T)
312状态转移矩阵的计算 1泰勒级数展开法 由Lion提出c"=∑n,=1 (12) 若级数在户L处截断 AT A T AT =M+R =L+ (13) 要求:≤EmE=10,正整数 或rmsE (14) 其中r和m对应为R与M的元素,rmax为r户中最 大元素
3.1.2 状态转移矩阵的计算 ▪ 1.泰勒级数展开法 ▪ 由Lion提出 (12) ▪ 若级数在i=L处截断 ▪ (13) ▪ 要求： ▪ 或 （14） ▪ 其中ri j和mi j对应为R与M的元素，rmax为ri j中最 大元素。 A I i AT e i i i AT = = = 0 0 , ! M R i AT i AT e i L L i i i i i AT = + = + =0 = +1 ! ! rij E mij E =10−d , d为正整数 r max E mmin
状态转移矩阵的计算(续) (13)式中mnmn是容易求出的,但rmax却无法 求出,因为R仍是一个无穷项的和。估计rmax 令为矩阵R的范数,根据矩阵范数的定义, 有=∑ms i,j= 由=12a AT AT 1+mL+ (L+1)!L+2(L+3)(L+2) L+1 AT,‖AfT2 (L+1)!L+2(L+2) (15)
状态转移矩阵的计算（续） ▪ (13)式中mmin是容易求出的，但rmax却无法 求出，因为R仍是一个无穷项的和。估计rmax： ▪ 令 为矩阵R的范数，根据矩阵范数的定义， 有 ▪ 由 ▪ (15) R = = n i j ij R r , 1 r max R = + = + = 1 ! i L 1 ! i i i L i i i A T i A T R ) 2 ( 3)( 2) (1 ( 1)! 2 2 ! 1 + + + + + + + = + + L L A T L A T L A T L L ) 2 ( 2) (1 ( 1)! 2 2 2 1 1 + + + + + + + + L A T L A T L A T L L
状态转移矩阵的计算(续) 令2 (16) 则有 IRs A T(4+e+ 如果6<1,则 T (L+1)! E 因此,若(L+1 mIn (17) n则满足(14)式,eA可以按照以下迭代过程 来计算:
状态转移矩阵的计算（续） ▪ 令 (16) ▪ 则有 ▪ 如果 ，则 ▪ 因此，若 （17） ▪ 则满足(14)式，e AT可以按照以下迭代过程 来计算： ＝ L＋2 A T (1 ) ( 1)! 2 1 1 + + + + + + L A T R L L 1 ) 1 1 ( ( 1)! 1 1 + − + + L A T R L L min 1 1 1 1 ( 1)! m L A T L L − + + +