第11章能量、功率流和力11.0引信确定一个系统是电准静态的还是磁准静态的方法是考虑电能与磁微假存量的相对值。因此，本章的主题在于使准静态定律自然地专换成一组完整的电动力学差街。按照第1、2章引入的次序，现在又包括了极化与磁化①，达些定律是商斯定律[式(6.2.1)和(6.2.3)]，(1)V.(e,E+P) pu安培定律式(6.2.11)，V×H=J.+%(eE +P)(2)法拉第定律式(9. 2. 7),u(H+M)(3)VxE-和磁通连续性定律式(9. 2. 2)Vμ(H+M) =0(4)电路理论播述一个二端元件的激励是用施加在它两端间的电压和流入或流出对应端的电流来表示的。通过端口提供的功率为。本章月的之一是采用这种方法将功率流的概念加以扩展，即功率被认为是遍及空间流动的，它不是仅仪与流入流出端钮的电流有关。这个扩展的基础是电动力学定律式(1)一(4)。即使一个系统能用一个电路表示，但如果我们试图要弄懂电能是怎样在电路元件内部而不是在电路元件之间转换的话，那么将电路理论的功率流概念加以推广的必要性是显而易见的。电路观点的局限对于一个专家证明人在有关联邦功率委员会调整州间功率流的诉讼的证言是决定性的。如果采用横跨边界的电流通路是功率流一个先决条件的观点，那么图11.0.1所示的装置中任何一个都可以被设置在边界处以“侵吞”功率。对于第-个装置来说，州线通过电容器极板间的空气隙，而第二个装置中，州线将个变压器的原边线圈和副边线圈分开③。在每种情况下，电流决不会从它所产生的州流出。然而，在所示例子中，一个州产生的功率肯定要被另一个州所消耗，对于这是怎样发生的富有意义的讨论必须基于一个扩展的功率流的观点。从电路理论的观点，能量的储存及其消耗率被H因于作为一个整体的电路元件。通过某一① 对于静止的极化和避化媒质。②现在为联邦能监调整委员会③实际上，电客器是由大量的微置的片构成的。因此为了使州战保持衣空气隙小，将要求不公正地刘分边界，如9.7节所懂选的，f细考感实际变压器品结构，摄示：州线豆加能以解餐MQS情况。·349
广州级州线(a)图 11.0.2 用来复习电路中能呈1如果两个州之闻的边界通过一个电容器的极板之110守恒定律推导过程的电路图间或一个变压器的绕组之间，那么联邦政府能监视功本流吗！端口的功率流可以表示为施加在两端钒间电位差和流入一端钮或流出另一端钮的电流；的乘积。这样端电压?和电流：确实提供了关于流入包围图11.0.2所示的电路的表面S内功率流的一个富有意义的描述，但S面不通过任何一个元件的内部。电路中的功率流对于图11.0.2中的电路，根据基尔霍夫定律和电容器、电感器和电阻器的端口关系可得(5)i-+iz+Go0=2(6)为了求得包含项的方程，将这些定律中第一个乘以端电压。为了消去右边的记项，我们也用让乘第二个方程。然后，两关系式相加得(7)vi=ode+inLdit+G因为L和C被假定为常数，我们能够利用关系式du=d()将上式重写为vi-+Q0(8)式中w=Cu+Lz由于上式只来源于电路定律，所以式(8)可以被认为对原有定律的内在联系没有提供更多的信息。然而,它给出电路动力学,而它正是 11.1 节中期望要导出更一般关系式的前提。它们来自于所考虑的某些极端情况。如果端钮是开路（i=0)的，且不存在电阻器（G=0)，则w是常量。因此能量w在这种限定情况下是守恒的。电路定律的解必定导出这样的结论，即电能C和磁能L的和为一常数。: 350
其次，当Q=0,但现在有一电流供给端钮，侧式(8)变为oi=(9)因为等式的左边为时间的全导数，所以表达式能够被积分得(10)['vidt =w(t) -w(0)不顾电流与电压如何随时闻变化的细节，功率对时间积分仅是初始的和最终的总能量の的函数。这样如果初始功率の为零,且vi 为正值,则在某稍后时刻t，由式(10)给定的总能量也将是正值。为除去电容器与电感器的总能读，必须改变符号直到积分使w减少到零。因为这个过程是可逆的，所以我们说能量w是被储存在也容器和电感器中。如果端钮引线再开路(i=0)，但是电阻器存在，式(8)表明储存的能量w必须随时间减少。由干Go是正值，且这个过程不可逆，因此我们说能被消耗在电阻器上。在电路理论术语中，式(8)是能量守恒原理的一个例子。根据这个原理，电能量是不守恒的更确切地说，以速率i提供给电路的电能，一部分被储存在电感器与电容器中，且确为守恒的，而另一部分被消耗在电阻器中，提供给电阻器的能量不以电的形式守恒，而是以热的形式消赖掉，且变成一种新的能量一热能·如同电路定律能够结合起来描述电路元件间的功率流一样，麦克斯韦方程组是功率流的场论观点的基础。把电路定律引人功率流的陈述与下一节为得到更一般的场理论的定律是平行的推论，所以我们现在复习一下电路定律如何结合起来描述功率流的陈述是值得的。综述在下面两节导出的能量守恒原理从电能守恒意义上说也是不守恒的。更确切地说，除了考虑能量的储存外,还包括了变换成其他形式的能量。事实上，我们对功率流感兴趣的主要原因之一是因为它可以洞察到自然界其他子系统(热力学、化学或机械学)的守恒关系。这可从后续各节的标题中清楚地看到这一点。如同有不同的构成定律一样，能量守恒的陈述也有许多特定的形式。这就是在11.1节中我们将停下来概括出能量守值定律的积分形式与微分形式的原因之一，而不论什么特殊应用。在这章巾，我们将不断引用这些表达式。布 11.2节的第一部分中，坡印孕定理的导出是受一般守恒原理形式的启发。当后续章节展开时，我们也将继续引用这个定律的一般形式。如果把材料考虑为欧姆导体且具有线性极化和线性磁化的构成定律，这就可清楚地了解媒质中电能储存和消耗的由来。这样的系统将在 11.3节讨论，它将举例说明从电源到热损耗的受热器之间的功率流动。能量储存与消耗过程将在11.4与11.5节进行深人地研究。贯穿11.5节，假定媒质是静止的。作11.6与11.7节，是在媒质运动情况下研究功率的输人。这些章节中将举例说明能姓守恒定律是怎样川来确定作川于观媒质的电场力与磁场力，与场论的观点相致的是单位体积的分布力概的，这些节中的讨论仅限于总的电磁力的确定，念，即力的密度。宏观力密度的严格推导建立在类似于11.6与11.7节能盘观点的基础上351
在11.8节中，我们将考察力密度分布的微观模型，它提供了这些力分布起因的概念。最后11.9节将介绍把机电耦合翟于连续媒质基础上所需要的宏观力密度。11.1积分和微分形式的守恒陈述理论上符合守恒定律式(11.0.8)的电路使流进一个电路的功率等于此电路中储存能量随时间的变化率和能量的损耗率之和。在一个场中,从理论上的一般意义讲,能量被想象为以某一能量密度W(J/m）分布在整个空间，功率是以每单位体积的局部消耗率Pa（W/m）被消耗。功率以密度 S(W /m")失量在流动,因此穿过某一表面 S.的功率可以用积分[。 S·da 表示。 结合这些场理论的普遍化，则流进被S面包围的体积V内的功率为-f,s.da--], wde+ f,Pdo(1)这里负号是照顾到等式左边项是流进体积的功率的事实。根据这个方程的右边项，可以看出，这个输入功率等于总储存能量的增加率加上功率损耗。总能量可表示为能量密度W 对整个体积的积分。同样地，总的功率是功率损耗密度Pa对整个体积图11.1能量守恒定律的积分形式应用到被8面包围的任意体积内的系貌的积分。体积可视为不变,这样式(1)右边的时间导数可以移到积分号内。应用高斯定理，左边的面积分可转换成体积分，且将其移到右边[(vS+W+P)d0=0(2)因为体积V是任意的，被积函数必须为零,可得能量守恒的微分形式为v-s+ W+Pa=-0(3)t+h利用S、W和Pa的恰当定义，式(1)与(3)不仅可措述电磁能量的流动、储存和损耗，而且也可描述热能，弹性能或者液体机械能的流动、储存和损耗。在下节中，我们将利用麦克斯书方程组对一个电磁系统确定这些变致。2-11.2坡印事定理这节的目的是从麦克斯韦方程组导出与11.1节等同的能量守恒形式。守恒定律既包括位移电流也包括电磁感应的效应。当-方面忽略源于电滋感应的%uo(H+M)，另一方面忽脐了· 352
源于位移电流密度录(e.E+P)的达些项后,分别可以得到这些 EQS 和 MQS 的极限条件。包括了极化效应的安培定律是式(11.0.2)。VxH=J+2EaP()a包括了磁化效应的法拉弟定律是式(11.0.3)V×E--aH_3uM(2)这些场论的定律起着引言中电路方程组类似的作用。我们下一步的工作也是采用类比法。对于电路情况，我们建立了因变量的二次方程式。作了一些考虑后导致了下述的各种处理。一个目的是要导出功率损耗或转换密度和能盘储存随时间的变化率的表示式。给予非成对电荷形成的电流密度上的每单位体积的功率直接来自洛伦兹定律(至少在自由空间)。作用于带电粒子？上的力为(3)f=q(E+xμH)作用在粒子上的功的变化率为(4)f.u-gu.E如果粒子密度为且只有同一类带电粒子存在，则每单位体积功的变化率为N.f.=qND.E=JuE(5)因此，可以预知应用于自由空间的能量守恒定律必须含有J·E项。为了获得这一项，必须用E点乘(1)式。促使导出能量守恒定律这个形式的第二点考虑，是力求获得功率流密度的一个完整散度。用E点乘(1)式得(V×H)·E项。如果对它加上一(V×E)·H,即减去H点乘(2)式可得一完全散度。事实上，(V×E)·H-(V×H)·E=V·(E×H)(6)因此，用E点乘(1)式减去用H点乘(2)式可得(EXI)=(E)+E.+(H.H)+H.g+J.()在列出右边的第一与第三项时，我们利用了关系式udud（）。现在这两项采取了功率定理1(11.1.3)式中能量储存项的形式。希望得到达种形式的表达式的第三点考虑是选择把式(1)与(2)的相结合方法。一开始，我们就可以看到用(1)式点乘E减去H点乘(2)式后将导致右边项为所期望的“全”时间导数形式。在也准静态极限中，法拉弟定律式(2)的右边电磁感应项可以忽略掉。从导出式(7)的步骤可见,在 EQS 近似中,式(7)右边的第三、四项可以忽略。同样地,在滋准静态极限内,位移电流，即安培定律式（1)存边的最后两项也可以被忽略。这意味着对于MQS系统中，式(7)的开头两项.353
是微不足道的。由完纯导体和自由空间组成的系统在这个范畴内准静态的例子为第四、五章的EQS 系统和第八章的MQS系统，其中完纯导体被自由空间所包围。 不论是准静态场或是电动力学场,在这些区域内 P=0, M =0; 在有电流.密度J。的地方,完纯电导率保证了E=0。于是，式(7)的右边第二项和最后两项为零。对于被自山空间包围的完纯导体，功率定理的微分形式为.-(8)其中S-ExH(9)和W-E.E+TH.H(10)式中S为坡印亭矢量，W为电的与磁的能量密度之和。电场与磁场被限制在自由空间区域。于是，根据这些变最描述的功率流和能量储存完全发生在自由空间区域。分别由EQS和MQS定律支配的极限情况，可以根据它们各自占优势的电能密度和磁能密度来区别。下面简单的例子说明了功率定理在两个简单准静态情况中的应用。这个定理在电动力学系统中的应用将在第十二章涉及。例11.2.1平行板电容器图11.2. 1 所示的平行板电容器在例3.3. 1中已熟悉。避形电极悬完纯导电的，而电极间的区域为自由空间。整个系统由分有于极板边缘上的电压源所激励。 电极间的电场强度简单地是电压除以板间的距离式(3.3.6),即E-+()根据安培定律的积分形式得磁场强度为式(3.3.10)(12) -()压源激励，通过山谨线图11.2.1平行板电容器的圆所示表面的坡印享通盘反映该表百所包围体积内的电能变化率下面考虑式(8)对图 11.2 中包围两极板间送域的 S 面积分的应用。首先，我们递过计算式(8)的左边来确定由这个S面进入该体积的功率。从（11）和(12)两式可以确定功率流密度。-354 *
(13)S-EXH-由于该体积的顶面和下底面具有与S失量垂直的法线，所以进人该体积的功率仪仅亲自=5的侧表面的贡缺。因为在该表面上S为常数，其积分为一个乘积(14)-,EXH-da=(2ba)()(cn)式中C=b在这里，表达式已写成储存在电容器中能量的变化率的形式。由于E再一次可以由式(1)给出，因此我们双重核对能量储存随时间的变化率。a)((c)(15)5处的表面流人，且以电能形式储任在两极板间的体积内。在用于计算电场的从场的观点来说，功率通过在r准静态近似中，由于磁能与电能相比很小，所以一开始就可以把磁能储存忽略掉。作为这个近似计算结果的检验，考虑总的磁能储存。根据式(12)H(4 ()(16)将此式与用式(15)求得的电能储存表达式相比较，表明如果g(17)EQS近似是有效的。对于频率为@的正弦激励，则行(bo)(18)其中c为自由空问的光速式，(3.1.16)。这个结果已在例3.3.1中熟悉了。要求电磁波的传播时间b/c比周期1/0短得多这相当于要求与电能储存相比，能储存是微不足道的。第二个例子使我们有机会把式(8)的积分形式应用到一个简单的MQS系统中。例11. 2.2长直螺线管电感器图 11.2. 2 所示的究纯导电的单螺线管,在例 10.1.2中熟悉了。根据端钮电流 i=Kd，内部的磁场强224or1度为式(10.1.14)H-yi(19)4丽电场为解和守恒的齐次部分之和【式(10.1.15)为特解部分，B为齐次解部分]。(20)toedhorio+Es3考虑功率流是怎样通过线圈所包围体积的表面S图11.2.2环绕者被S面所包围体积的单施竭线管的间题可以用能量储存对时间变化率加以说明。通过如图中靠线所示。通过这个表面的坡印亭通量说明了储存在包跟体积内磁能的变化率。式（19）和（20）得坡印亭失量为SExH[-(→)](21) 355
这个坡印享失量没有垂重于该体积的上，下底面的分盘。在"=a表面上,括号内的第项为常数，所以S面上的积分等于与而积的一个乘积。因为 E是无旋的,所以 Er,dS=Eardd 沿 r=a 周线的积分值必等F零。为此，E对整个表面只分没有净贡献。(22)-f,ExH-d=2xad()(1)-(10)式中Latliana。忽髂电能的储存，式(8)右边的计算也确实为变化率加以说明。这里，这个结果表明功率流可以用储存的磁给出相同的结果。,()(L)(23)通过磁能储存量与被避去的电能储存量的比较，可以检验准静态近似的有效性。因为我们仅对对其量值的比较愿兴题，且我们知道齐次解正比于特解式(10.1,21),后者可以用式(20)的第一项近似[,-Ede 1()[ajr2zrdr]g- (a)(24)我们可以得出如下结论：假设与电磁波沿一个螺线半径α传播所需时间相比较，其角频率の很小，MQS的近似是有效的，这也等效于，与磁能储存相比较，电能储存是微不足道的。e(a)<i(25)K1180值得注意的是如果“淋板”端组问的阿隙傲得很小,则电场齐次解部分的电能储存能变得较大。如果它与磁能储存相当，则其结构接近于由间障也容和螺线管电感组成电骼的握荡条件。在这种极限下，MQS近似不适用了。实际上，储存在间随内的电能受制于连接板内储存的电能，其谐振如周例3.4.1中MQS和EQS系统的耦合来描述在以后几节中，我们将用式(7)来研究宏观媒质中能量的储存与损耗。11.3具有线性极化与磁化的欧姆导体考虑由这些本构定律摘述的稳定材料P=Ex,E2MoM=μomHJ.=E(1)其中锻化率入。磁化率×m磁导率μ、介电常数e和电导率部是与时间无关的。用这些构成定律丧示P和M时，式(11.2.7)中的磁化和极化项将变为E-%=(ox,E.E)2 -8(-)(2)· 356
因为这些项是以时间的全导数出现在等式(11.2.7)中，显而易见，在具有“线性”本构定律的材料中，能量是在极化和磁化的过程中储存的。将这些项代入等式(11.2.7)和对于J。的欧姆定律中，那么就可得到一个11.1节所讨论的那种形式的守恒定律。对于满足欧姆定律的电的与磁的线性材料来说，积分和微分形式的守恒定律分别为等式(111.1)与(11.1.3),邸[S=ExH(3a)W-TE.E+TuH.H(3b)PA-CE.E(3c)功率通量密度S和能最密度W和11.2节在自由空间守恒原理中情况一样。在极化与磁化过程中的能量储存，可简单地用e和u分别代替自由空间的介电常数和磁导率来计算Pa项总是为正，且看起来表示电磁系统功率损耗的变化率。事实上，P表示转换成热形式的功率可以通过考虑欧姆传导定律的原型导出。根据7.1节引人的双向导电模型，正负载流子分别受力于，与-。这些力通过与周圃粒子碰撞而被平衡，于是电场力迫使粒子迁移而作的功被转换成热能。如果所有粒子族的速度分别为、与-，粒子的密度分别为N、和N-，那么对载流子所作的功(每单位体积)为(4)Pa=N.f..++N.f.D.承认了碰撞力与电场力之间的平衡。那么式(4)中的力可分别用[4-IE和—19-1E代替，则有(5)Pa=N.Iq+IE.D,-N-Ig-IE..如果速度依次写成各自迁移率和宏观电场的乘积式(7.1.3)，可得Pa=-(N.lq+lu++N-iq-lu)E.E-gE.E(6)其中巴应用了电导率的定义式(7.1.7)。功率损耗密度Pa=oE·E(W/m)表示从电磁系统到热系统的能量损耗率。婴哈5例 11.3. 1 稳定的电流分布的坡印享失量正例7.5.2中，我们已讨论了与形导体对应的由电池供电的圆导体内部和其周用的电场。这里，我们来确定坡印亭失最场，并研究它与能盘损耗密度的空间关系首先,在圆柱导体内[图11.3.1所示的区域(b))求得电场是均勾的见式(7.5.7)],(7)Ei两在周围的自由空间区城内，电场［根据式(7.5.11)】为+--a(a/[i,+In(0/a), ](8)在圃盘导体内[根据式(7.5. 9)得(9) Ea(a i.+357
由于对称，滋场强度沿Φ方向。H的Φ分量可根据安培定律的积分形式很容易算出来。由式(7)可求得呕形导体内电流密度为 J。=α·u/L。于是2rHaJnr H-; r)(10)-;(11)2nrH,=J.nb2在盘形导体中磁场的分市同样可从安培定律推导出来。在这个区域中，由电流密度J=E"最容易计算安培磺分定律的分量,其中 E 由式(9)给出。 这个编微分方程对“的积分给出≥的一个线性函数加上一个是“的函数的“积分常数"。后者可以通过之L处H。应该连续来确定H--n(a/)(+2) +%(12)从最后的凹个方程可以得到，在圆柱导体内P，在周围空间中，以及在盘状电极中坡邸亭矢量分别为(13)Sb--2gri,-n(a)(2i-ngi)(14)S2(L+2)+面(15)S`=[in-(a/tS 的这一分布略图示于图 11.3. 1 中。由图可见竭里有功率损耗密度，哪里就一定有一负的 S 散度。 于是在导体内，S线终止于体积内。在自由空间区域(a),S是无散的。即使场在时间上是很稳定的，，但是功率可以看作从蔽开的空间流人，且在有能量损耗的体积内被吸收。玻印享矢量对包围内导体的整个表面积分给出了我们所希望的值，或者由电路的观点-f EXH.da=(2nbL)(2))=(abV.) =0i(16)这里；是通过谢柱的总电流，或者从积分的守恒定律右边计算出来的。(17)J,@E. Ed -(abL)o() -(rbo号)-0i(e)围11.8.1同轴电阻器和相关白由空间内的被印亮通盛的分布。其构型与例7.5.2 相同。左边的电源给盘状的和圆柱的电阻性材料供给电流。外部的和右增的导体都是完纯导体。要注意印使电流稳定时，在自由空间内部区域中仍有坡印享遥益。电准静态系统中的另一个守恒定律描述电准静态系统时，要求计算磁场强度是不方便的。现在，我们考虑一个专门用于EQS系统的另一个守恒定理。我们将找到S的另一个表达式，其中不包括H。在寻求S的另一个分布过程中，我们将说明把意义归结于在某点计算的S而不是它对一个闭合面进行积分的危险性。在EQS近似中,E是无旋的。于是+ 358