西安交通大学：《电磁场与电磁能》课程教学资源（PPT课件）第三章 恒定磁场

第三章 恒定磁场 序磁磁恒磁磁镜电磁磁 磁感应强度 磁通连续性原理·安培环路定律 恒定磁场基本方程·分界面上的衔接条件 磁矢位及其边值问题 磁位及其边值问题 磁场能量与力 磁路及其计算

第三章 恒定磁场

合KK第3章恒定磁场实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有恒定电场，同时还有不随时间变化的磁场，简称恒定磁场（Static MagneticField）。恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。恒定磁场的知识结构框图

第 3 章 恒定磁场 • 实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体内部和它周围 的媒质中 ，不仅有恒定电场 ，同时还有不随时间变化的磁场 ，简称 恒定磁场（Static Magnetic Field）。 • 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法 上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比法的应用。 • 恒定磁场的知识结构框图

基本实验定律（安培力定律）磁感应强度（B）（毕奥一沙伐定律）基本方程H的旋度B的散度磁失位（A）磁位（m）（J=0）分界面上衔接条件边值问题数值法解析法有限差分法有限元法镜像法分离变量法电感的计算磁场能量及力磁路及其计算图3.0恒定磁场知识结构框图

磁感应强度（B）（毕奥—沙伐定律） H 的旋度 基本方程 B 的散度 磁位( )  m （J=0） 分界面上衔接条件 磁矢位（A） 边值问题 数值法 解析法 有限差分法 有限元法 分离变量法 镜像法 电感的计算 磁场能量及力 磁路及其计算 图3.0 恒定磁场知识结构框图 基本实验定律 (安培力定律）

AKKD3.1磁感应强度3.1.1安培力定律1820年，法国物理学家安培从实验中总结出电流回路之间的相互作用力的规律，称为安培力定律（Ampere'sforceLaZ电流I的回路对电流回路的作用力Fxya(x.y.z)F = o Idlx(I al xer)4元JJ斤R?式中真空中的磁导率=4元×10-H/my3.1.2毕奥一沙伐定律·磁感应强度图3.1.1两载流回路间的相互作用力电流之间相互作用力通过磁场传递。电荷之间相互作用力通过电场传递。F=fiadlxHogIdlxerpdyFR24元J=9eRP24元8fIdlxB=EB-HafIdxen定义单位T（wb/m2）特斯拉。磁感应强度R24元式中 R=r-r

3.1 磁感应强度 3.1.1 安培力定律 1820年, 法国物理学家安培从实验中总结出电流回路之间的相互作用 力的规律,称为安培力定律 (Ampere’s force Law )。 电流 的回路对电流I回路的作用力 F    = l l 2 0 R R Id I d 4 ' ( ) ' ' l l e F   式中真空中的磁导率 7 0 4 10−  =   H/m ' I 3.1.2 毕奥——沙伐定律 • 磁感应强度 电流之间相互作用力通过磁场传递。 l B l e F l 0 =   =     l l l 2 R Id R I d 4 Id ' '   电荷之间相互作用力通过电场传递。 E F e q R dV 4 1 q R V 2 0 = =     定义：   = l 2 0 R R I d 4 l e B '   磁感应强度 单位 T（wb/m2）特斯拉。 式中 ' R = r − r 图3.1.1 两载流回路间的相互作用力

合KDB=Hof ldlx(r-r)写成一般表达式，即毕奥-沙伐定律（Biot一SavartLaw）4元r-r增讨论与引伸1）适用条件：无限大均匀媒质（），且电流分布在有限区域内。2）由毕奥一沙伐定律可以导出恒定磁场的基本方程（B的散度与旋度）3）对于体分布或面分布的电流，Biot-:SavartLaw可写成Ho J(r')x(r-r')B= 4of K(r)x(r-r)B=as4元J4元J5r-1r-r例3.1.1试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。IdlxeR2解采用圆柱坐标系，取电流Idz，B=P4元则式中，R=p+2Tdl xer=dzSinGe=dzSinae=pdze/R1Ipolorlydz=B=4元4元／1（+23/264元pVp+L,O+Lo(Sing,+Sing)4元pB=Hol时，当880ed图3.1.2长直导线的磁场2元

写成一般表达式，即  −   −  = l 3 0 Id 4 r r l r r B ( )   毕奥——沙伐定律（Biot — Savart Law ) 2）由毕奥—沙伐定律可以导出恒定磁场的基本方程（B 的散度与旋度）。 3）对于体分布或面分布的电流，Biot - Savart Law 可写成 dV ( ) ( ) 4 V 3 0  −    −  =   r r J r r r B      −    −  = s 3 0 dS ( ) ( ) 4 r r K r r r B   例3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。 解采用圆柱坐标系，取电流Idz， 则   = L 2 0 R R Id 4 l e B   式中， 2 2 2 R =  + z dl eR = dzSine  = dzSine = dze R dz ( z ) I 4 1 2 L L 2 2 3 2 0 − + =     B ] L L L L [ 4 I 2 2 2 2 2 1 2 0 1 + + + =      ( Sin Sin ) 4 I 1 2 0      = + 当 L1 → , L2 →  时，   B e 2 I 0 图 = 3.1.2 长直导线的磁场 1）适用条件：无限大均匀媒质 ( ) ，且电流分布在有限区域内

AKKD例3.1.2真空中有一载流为I，半径为R的圆形回路，求其轴线上P点的磁感应强度。解：元电流Id1在其轴线上P点产生的磁感应强度为dB= Holdl xe,(Idl Le,)4元2Moldlsin"dB4元（R+×）根据圆环磁场对P点的对称性，dB,=0dB, =dBsin 0图3.1.3圆形载流回路Ho!AJsinegdlB=Ber4元（R+x）IdlRHol2元R4元（R+x）R+×H,R?2(R+xe图3.1.4圆形载流回路轴线上的磁场分布

2 2 3 / 2 x 2 0 x 2 2 2 2 0 x l 2 2 0 x x 2( R x ) IR 2 R R x R 4 ( R x ) I sin dl 4 ( R x ) I B e e B e e + =        +  + =       + = =         解：元电流 Idl 在其轴线上P点产生的磁感应 强度为 ( ) sin 2 2 0 2 0 r 4 R x 2 Idl dB 4 r Id d + =  =      l e B ( Id ) r l e 例 3.1.2 真空中有一载流为I，半径为R的圆形回路，求其轴线上P点的 磁感应强度。 图3.1.4 圆形载流回路轴线上的磁场分布 根据圆环磁场对 P 点的对称性， dB dB dB 0 x = sin  y = 图3.1.3 圆形载流回路

合KD例3.1.3图示一无限大导体平面上有恒定面电流K=K.e，求其所产生的磁感应强度。解：在电流片上取宽度为dx的一条无限长线电流，它在空间引起的磁感应强度为MoIdlxep-HoK,dxdB,sina2元2元PP由于是无限大电流平面，所以选P点在y轴上。B=dB,dB根据对称性，整个面电流所产生的磁感应强度为HKsinαyB=Ber=(sinα:exle2(x+y(x+y)Bx4LuKo-8dxHoKHoKoyarctg(x+y)2元2元VMoKoy>0eLok2+HoKoJ<OE2图3.1.5无限大电流片及B的分布

由于是无限大电流平面，所以选P点在 y 轴上。 根据对称性 , 整个面电流所产生的磁感应强度为 ) ( ) (sin ( ) sin 2 1 2 2 2 1 2 2 0 0 x x x y y dx 2 x y K B + =         + = = −  + −     x B e e 例 3.1.3 图示一无限大导体平面上有恒定面电流 K = K0 ez , 求其所产生的磁感应强度。 解：在电流片上取宽度为 的一条无限长线电流， 它在空间引起的磁感应强度为         sin K dx 2 Id 2 d 0 0 0 1 =   =  l e B dx 0 2 0 0 + y  K x e  0 2 0 0 − y  K x e  = 2 2 x 0 0 x y dx 2 K y e      + = −  + −  ( )  x 0 0 y x arctg 2 K  e      − +  = −   图3.1.5 无限大电流片及 B 的分布

AKKD3.2磁通连续性原理·安培环路定律3.2.1磁通连续性原理R=r-r1. 恒定磁场的散度(x.y',z)P(x,V2)可从Biot-SavartLaw 直接导出恒定磁场B的散度B(x,y,2)=o,(x,y)xeraY4元J度V.B(x,y,a)=v.J(xy)xedv两边取散度4TJV图3.2.1计算体电流的磁场yV.(AxC)=C.VXA-A.VxC矢量恒等式[(xy((((y则所以V·B=0表明B是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。（在任意媒质中均成立）V·B=0可以作为判断一个失量场能否成为恒定磁场的必要条件

3.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律 3.2.1 磁通连续性原理 矢量恒等式 ( AC ) = C  A− AC 所以 B = 0 表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。（在任意媒质中均成立） ) dV r 1 ( x , y ,z ) ( 4 V 0        =        J   两边取散度 dV r x y z e 4 x y z V 2 0 r       =    ( , , ) ( , , ) J B   可从 Biot-Savart Law 直接导出恒定磁场 B 的散度。 dV r x y z 4 x y z V 2 0 r      =   J e B ( , , ) ( , , )   1. 恒定磁场的散度 则 ) 0 r 1 ) ( x , y ,z ) ( x , y ,z ) ( r 1 ) ( r 1 ( x , y ,z ) ( =      =      −             J     J J 0 0 B =0 可以作为判断一个矢量场能否成为恒定磁场的必要条件。 图3.2.1 计算体电流的磁场

合KKD2.磁通连续性原理: V.B=0：[·BdV_散度定理$B.dS=0这说明磁场通过任意闭合面的磁通量为零称之为磁通连续性原理，或称磁场中的高斯定律(Gauss'sLaw for the Magnetic field )。若要计算B穿过一个非闭合面 S的磁通，则图3.2.2磁通连续性原理Φ=B.ds (韦伯)3.磁力线仿照静电场的E线，恒定磁场可以用B线描绘，B线的微分方程Bxdl=0B_By_B在直角坐标系中dxdydz图3.2.3B的通量D

2. 磁通连续性原理 这说明磁场通过任意闭合面的磁通量为零， 称之为磁通连续性原理，或称磁场中的高斯定律 (Gauss’s Law for the Magnetic field )。 仿照静电场的 E 线，恒定磁场可以用 B 线描绘， B 线的微分方程 Bdl = 0 在直角坐标系中 dz B dy B dx Bx y z = =  B  0 dV d 0 V s    =   B 散度定理 B S 图3.2.2 磁通连续性原理 图3.2.3 B 的通量 若要计算 B 穿过一个非闭合面 S 的磁通，则 (韦伯)  =  s  B dS 3. 磁力线

AKKDB线的性质：B线是闭合的曲线；LB线不能相交（除B=0外）；闭合的B线与交链的电流成1=00右手螺旋关系；图3.2.4一载流导线I位于无限大铁板上B强处，B线稠密，反之，稀疏。方的磁场分布（B线）L>00图3.2.6一载流导线位于无限大铁板内图3.2.5长直螺线管磁场的分布（B线）的磁场分布（H线）

B 线的性质： • B 线是闭合的曲线; • B 线不能相交 ( 除 B = 0 外 )； • 闭合的 B 线与交链的电流成 右手螺旋关系； • B 强处，B 线稠密，反之，稀疏。 图3.2.4 一载流导线 I 位于无限大铁板上 方的磁场分布（B 线） 图3.2.5 长直螺线管磁场的分布（B 线） 图3.2.6 一载流导线I位于无限大铁板内 的磁场分布（H 线）