第二章2.10静电场能量静电力一、静电场能量：电场对处在其中的电荷有力的作用，若该电荷发生了位移，则电场力对该电荷做了功。据能量守恒原理，此功由电场所做，应是电场能转化而来；消耗了电场能。若某力逆电场力而使电荷发生了位移，则该力也对电荷做了功。据能量守恒原理，此功应最后转换为电场能而储存在电场中。故静电场中是储存有能量的。其能量来源于带电系统的建立过程中外界所做的功。2025/6/11
2025/6/11 第二章 1 若某力逆电场力而使电荷发生了位移，则 该力也对电荷做了功。据能量守恒原理，此功 应最后转换为电场能而储存在电场中。 故静电场中是储存有能量的。其能量来源 于带电系统的建立过程中外界所做的功。 一、静电场能量： 电场对处在其中的电荷有力的作用，若该 电荷发生了位移，则电场力对该电荷做了功。 据能量守恒原理，此功由电场所做，应是电场 能转化而来； 消耗了电场能。 2.10 静电场能量 静电力
第二章1、电荷系统的能量：在静电场中，电场力做功与路径无关,，E·dl=0只与电荷分布有关，即静电巧中的能量为势能而与形成这神电荷分布的过程无关。设在各向同性、线性且均匀的媒质中，其最终电荷分布为p，电位为d。由于静电能与电荷系统的建立过程无关，故可选一简单的电荷建立过程。设电荷系统各点的电荷密度按P的同一比例因子α增加（0≤α≤1），各点电位也按同一比例因子α变化。即在某时刻，当各点ad的电荷分布为αp时，其相应电位为2025/6/11
2025/6/11 第二章 2 1、电荷系统的能量： 在静电场中，电场力做功与路径无关， = c E dl 0 即静电场中的能量为势能——只与电荷分布有关， 而与形成这种电荷分布的过程无关。 设在各向同性、线性且均匀的媒质中，其最终 电荷分布为 ，电位为 。由于静电能与电荷 系统的建立过程无关，故可选一简单的电荷建 立过程。设电荷系统各点的电荷密度按 的 同一比例因子 增加（ ），各点电位也 按同一比例因子 变化。即在某时刻，当各点 的电荷分布为 时，其相应电位为 。 0 1
第二章对某体积元dV,电荷密度：αp=>αp+d(αp)dg = d(αp)·dv则电源向dV送入电荷：电源做功：dW=αΦ·dg=αΦ·d(αp)·dV对整个电荷系统所在空间：dW = [α.d(αp).dv电源做功V据功能原理：电源做功电场能增加。则W, = W=- [αd.d(αp).dv12025/6/11
2025/6/11 第二章 3 对某体积元 dV, 电荷密度： + d( ) 则电源向 送入电荷： dW = dq = d( )dV dq = d( )dV 电源做功： 对整个电荷系统所在空间： 电源做功 dV = V dW d( ) dV 据功能原理：电源做功 电场能增加。 则 = = V e W W d( ) dV
第二章整个系统的电荷在建立过程中：「α：0→1Lp:0→>p电荷系统的总能量：W, = Jfαp.d(αp)-dv =J adαf ppdyOVIppdv即W。=(2-10-1)Opp,ds(2-10-2)若电荷系统是面电荷：则 W。=若电荷系统是N个带电体：且均为导体，则在第i号导体上，Φ,=常数，而且(Psids,=qiW.-2.即若电荷系统是N个点电荷：则UMW..d,q(2-10-3)2025/6/11
2025/6/11 第二章 4 整个系统的电荷在建立过程中： :0 : 0 1 → → 电荷系统的总能量： = = V V We d dV d dV 1 0 1 0 ( ) 即 = V We dV 2 1 （2-10-1） 若电荷系统是面电荷：则 W ds s e = s 2 1 （2-10-2） 若电荷系统是N个带电体：且均为导体，则在第 号导 体上， i = 常数 ，而且 i s sidsi = q 即 i N i We i q = = 2 1 1 若电荷系统是N个点电荷：则 i N i We i q = = 2 1 1 （2-10-3） 9 i
第二章2、用场量表示的静电能量及能量体密度：电场能量：纵观以上三式，电场能量都是与电荷的分布联系在一起的，难道说电场能量只存在于有电荷分布的区域？这种说法是不对的。电场能量是储存在整个静电场中的。: V.D=p）将其代入（2-10-1）式中，则W。== ((V.D)pdV又V.(GD) = V.D+D.VΦ2025/6/11
2025/6/11 第二章 5 纵观以上三式，电场能量都是与电荷 的分布联系在一起的，难道说电场能量只 存在于有电荷分布的区域？这种说法是不 对的。电场能量是储存在整个静电场中的。 2、用场量表示的静电能量及能量体密度： D = 将其代入（2-10-1）式中，则 = V We ( D)dV 2 1 又 ∵ D = D + D ( ) ➢ 电场能量：
第二章ID.VdaVWQI{D.EdV.ds(2-10-4)2L而Wbdt(2-10-1)上式只有p不为零的空间对积分有贡献，因此，将积分区域任意扩大并不影响W。的大小，那么，当√无限扩大时，其闭合曲面S也无限扩大，而且P不为零的区域总是有限，则对无限大S而言，整个P不为零的区域就可视为点电荷，设点电荷与S相距为RV2025/6/11
2025/6/11 第二章 6 = − V V We D dV D dV 2 1 ( ) 2 1 = + S V D dS D EdV 2 1 ( ) 2 1 = V We dV 2 1 而 （2-10-1） 上式只有 不为零的空间对积分有贡献，因此，将积分区 域任意扩大并不影响 的大小，那么，当 无限扩 大时，其闭合曲面 也无限扩大，而且 不为零的区域 总是有限，则对无限大 而言，整个 不为零的区域就 可视为点电荷，设点电荷与 相距为 We V S S R （2-10-4） S
第二章R8R2eR2VR3RdD):=0RR→0S故D.EdVW.(2-10-5)=对线性各向同性电介质：万一8元[sE.EdV=-[sE?dv(2-10-6)W此即说明：只要电场强度E≠O的空间都有电场能。1D.E:E2能量体密度：w。(2-10-7)222025/6/11
2025/6/11 第二章 7 2 2 1 dS R R D S R 1 0 1 1 ) 2 3 → → S R R R R ( D dS 故 = V We D EdV 2 1 （2-10-5） 对线性各向同性电介质： D E = = = V V We E EdV E dV 2 2 1 2 1 此即说明：只要电场强度 E 0 的空间都有电场能。 （2-10-6） ➢ 能量体密度： 2 2 1 2 1 we = DE = E （2-10-7）
第二章例：若真空中电荷均匀分布在半径为α的球体内，计算电场能量。解：1．利用高斯定理可以得到电场强度为：E=-qra(ra)4元E?dVW-2 JVa元r-ddyTTV20O4元8O2025/6/11
2025/6/11 第二章 8 例：若真空中电荷 均匀分布在半径为 的球体内，计算电场能量。 q a a (r a) a qr E r 3 0 4 = ＜ a (r a) r q E r 2 0 4 = ＞ 4 ] 1 ) [ ( ) 4 4 ( 2 1 2 1 2 4 0 2 2 3 2 0 0 2 0 r dr r r dr a q r W E dV a a V e = + = 解： 利用高斯定理可以得到 电场强度为： 1
第二章3q20元8a（ppdV直接计算利用公式W。=2.3q04元α313q3qWpdDdl24元a8元E.dr+ Edr而DI:2025/6/11
2025/6/11 第二章 9 a q We 0 2 20 3 = 2. 利用公式 = 直接计算 V We dV 2 1 3 4 3 a q = = = V V e dV a q dV a q W 3 3 8 3 4 3 2 1 = + a a r E dr E dr 而
第二章23qD34元8%2a2a33qq故W14 元r~dr8元a2a2a4元%23q20元8α两种计算方法所得结果相同。2025/6/11
2025/6/11 第二章 10 a q 0 2 20 3 = ] 2 2 3 [ 4 3 2 0 a r a q = − = − V e r dr a r a q a q W 2 3 2 0 3 ]4 2 2 3 [ 8 4 3 故 两种计算方法所得结果相同