《电磁场与电磁能》课程PPT教学课件（杨儒贵版）第三章 静电场的边值问题

第三章静电场的边值问题主要内容电位微分方程，镜像法，分离变量法3-1电位微分方程已知电位①与电场强度E的关系为E=-Vp对上式两边取散度，得V.E=-V0对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E的散度为V.E=P8

第三章 静电场的边值问题 主 要 内 容 电位微分方程，镜像法，分离变量法 3-1 电位微分方程 已知电位 与电场强度E 的关系为 对上式两边取散度，得 E = −  2  E = − 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为     E =

V.E=P8那么，电位满足的微分方程式为V@=-P泊松方程8对于无源区，上式变为Vβ= 0拉普拉斯方程已知分布在V"中的电荷p(r在无限大的自由空间产生的电位为Q0rp(r)4元8因此，上式就是泊松方程在自由空间的特解

那么，电位满足的微分方程式为     = − 2 泊松方程 对于无源区，上式变为 0 2   = V V  −   =   d | | ( ) 4π 1 ( ) r r r r    已知分布在V 中的电荷 在无限大的自由空间 产生的电位为 (r) 因此，上式就是泊松方程在自由空间的特解。     E = 拉普拉斯方程

二阶常系数齐次线性微分方程：方程y"+py+qy-0称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p、g均为常数特征方程：方程+pr+g=0叫做微分方程y"+py+qy=0的特征方程，特征方程的两个根r1、r2可用公式1i2=-P++p-442因此方程的通解为特征方程的根与通解的关系：y=Cje'ix+C,e'zx(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r时，因此方程的通解为(2）特征方程有两个相等的实根r1=r2时y=Cre"x+C,xe'ix因此方程的通解为(3)特征方程有一对共轭复根r1.2=αtiB时J=e(Cicospr+Casinpr)

二阶常系数非齐次线性微分方程：方程y"'+py'+qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其中p、9是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解1=Y(x）与非齐次方程本身的一个特解V=*（）之和y=Y(x)+ y*(x)

数学物理方程定解条件通常分为初始条件和边界条件。静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题

数学物理方程定解条件通常分为初始条件 和边界条件。 静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松 方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。 根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就 是静电场的边值问题

通常给定的边界条件有三种类型：第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄利克雷问题。第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件

通常给定的边界条件有三种类型： 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值， 这种边值问题又称为诺依曼问题。 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另 一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又 称为混合边界条件。 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种 边值问题又称为狄利克雷问题

任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。解的稳定性具有重要的实际意义。解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明电位微分方程解具有惟一性

任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟 一性问题。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经 得到证明。 解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是 否惟一。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得 的解是否会发生很大的变化。解的稳定性具有重要的实 际意义。 解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在 确信无疑。 可以证明电位微分方程解具有惟一性

3-2点位微分方程解的唯一性静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位值就是第一类边界。已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系ap-_Ps为 可见，表面电荷给定等于给定了电位的anc法向导数值。因此，给定导体表面上的电荷就是第二类边界。因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理

静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定 导体上的电位值就是第一类边界。 已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系 为 ，可见，表面电荷给定等于给定了电位的 法向导数值。因此，给定导体表面上的电荷就是第二 类边界。 S n     = −  因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的 电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给 定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为 静电场惟一性定理。 3-2 点位微分方程解的唯一性

对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满足泊松方程方程pV=8在无源区，电位满足拉普拉斯方程V?β=0静电场的边值问题根据给定的边界条件求解静电场的电位分布。利用格林函数，可以求解泊松方程。利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法

静电场的边值问题—— 根据给定的边界条件求 解静电场的电位分布。 对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电 位满足泊松方程方程     = − 2 在无源区，电位满足拉普拉斯方程 0 2   = 利用格林函数，可以求解泊松方程。 利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。 求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法

例3-3-1已知同轴线的内导体半径为a，电位为U，外导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。解对于该边值问题，镜像法不适用，只好求解电位方程。U选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标r有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系中的展开式只剩下包含变量r的一项，即电位微分方程为1 ddpp= 0drr drβ= C, lnr +C2求得a"dad1aad1aTV2(siner2 arOrr? sine 00a0r? sin?0 a球坐标系

例 3-3-1 已知同轴线的内导体半径为a，电位为U，外 导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分 布函数以及电场强度。 解 对于该边值问题，镜像法不适 用，只好求解电位方程。 0 d d d 2 1 d  =       = r r r r   1 2 求得  = + C r C ln U b a O 选用圆柱坐标系。由于场量仅与 坐标 r 有关，因此，电位所满足的拉 普拉斯方程在圆柱坐标系中的展开式 只剩下包含变量r 的一项，即电位微 分方程为 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) (sin ) sin sin r r r r r r                 = + + 球坐标系     