《电磁场与电磁能》课程PPT教学课件（杨儒贵版）第二章 静电场

AAaA-矢量1.场标量场矢量场静态场时变场AAA-aA+aA,+a.A柱坐标球dl r = drdl = drdl。= rdodl。= rd β长度元dl =rsifdpdl= dz面积元为：dS, = dl,dl, =rdpdz( ds, = dledl。= r? sirdedpdS , = dydzdS。= dl,dl,= r sirodrdp dS. =dldl, =drdz2dS , = dxdzI dS, =dl,dl。 =rdrdoLdS =d,dl, =rdrdbdS, = dxdy体积元dV= dl,dl,dl, =r? sindrddpdv=dxdydz dv=dl,dl,dl,=rdrdpdz

1.场 标量场 矢量场 静态场 时变场 矢量 A A A A A a   面积元为： dS dxdy z  dS dydz x  dS dxdz y  体积元 dV dxdydz dS dl dl rd dz r   z   dS dldl drdz   r z  dSz dl rdl rdrd dV dl dl dl rdrd dz  r  z   dS  dl rdl  rdrd dS r dl dl r sindd 2   dS  dl rdl  r sindrd dV dl rdldl r sindrdd 2   dl rsind dl dr r  dl  rd 球 dl dz z  dl dr r  dl   rd  柱坐标 长度元 x x y y zAz A a A a A a       

Z=ZO直角(x,y,z)Vx=xoA= aex+be, +ce

直角(x, y , z) z x y z = z 0 x = x 0 P0 y = y 0 z e x e y e O x y z A  ae  be  ce

7圆柱(r, Φ,z)Z=Z0e.P10ddoA= aer +be +ce

圆柱(r,  , z) y z x P0  0  =  0 r = r0 z = z 0 r e z e  e O r z A  ae  be  ce 

0= 00球(r, e, Φ)=ΦoPr=roeoΦoA=aer +bee +ceg

x z y  =  0  0  0 球(r, ,  ) r = r 0  =  0  e r e  e P0 O   A ae be ce  r  

1.矢量加法和减法：A+B=a(A +B,)+a,(A,+B,)+a.(A, +B.)A·B=A|Bcos(A,B)2.点积（或标量积）A· B-AxBx+AyBy+AzBz3.叉积（或矢量积）AxB=ABsin(A,B)axayaAxB=AxAy A.BxByB.=(A,B, -A,B,)ax +(A,Bx-A,B,)a+(A,B,-A,B)a

1.矢量加法和减法： A B  ax(Ax  Bx ) ay(Ay  By ) az(Az  Bz )      2.点积（或标量积） AB  A B cos(A,B) A·B=AxBx+AyBy+AzBz 3.叉积（或矢量积） AB  A B sin(A,B) y z z y x z x x z y x y y x z x y z x y z x y z A B A B a A B A B a A B A B a B B B A A A a a a  (  )  (  )  (  ) AB 

Ouu(M)-u(Mo)lim1.方向导数的定义：△1ailMoN/->0QuQuQuOucosβcos αcOS alaxyOzQuQuQu2.梯度的定义：gradu = G= ax.ata-axryayOzuG.△Ilim=G·a/ =|G|cos(G,al)alN△/>0aaaV=aa梯度也可记作a+VuayOzOx

1.方向导数的定义： 0 ( ) ( ) lim 0 0 M l l u l u M u M        cos cos  cos  z u y u x u l u            2.梯度的定义： z u y u x u u x y z         grad  G  a a a lim cos( , ) 0 l l l l l u G a G G a G l           x y z a a a x y z              梯度也可记作 u

aaa矢量微分算子Vu=aaa2+axzayQuQuQugraduaaOoxayOzauQuu1柱坐标系中故gradu =u=a-aa一Orrapz11 QuOuOugradu= Vu=a,+a球坐标系aer0Orrsimp

矢量微分算子 ( ) x y z x y z u a a a u x y z u u u a a a gradu x y z                           z u a u r a r u gradu u a r z                 1 柱坐标系中 故                u r a u r a r u gradu u ar sin   1  1 球坐标系

1.矢量场的矢量线Φ= d=[Ads= [A.ndS= [AcosodS2.矢量的通量SSSbA.dsdivA3.散度的定义1imAVAV-→O0AQA0A.divAaxayzdivA-V.A4.高斯散度定理：[V.Adv = A.dsS

4.高斯散度定理：       V S A dV A d S    1.矢量场的矢量线 2.矢量的通量 3.散度的定义 di A  v  V A d S S V        0 lim z A y A x A di A x y z           v di A A    v                S S S S d A dS A ndS AcosdS    

bA.dｉ=bＡ cosθ dl1.矢量的环量 「=bA.di2.环量密度limASAS03.旋度的定义矢量A的环流密度的最大值。bA.di10a,a,ClimaacurlA= ×AAs△S→0ofayazAxA,Az$A.di - (V×A.ds4.旋度定理CS5.矢量分析中的两个重要恒等式V.(V× A)= 0V.B=0 =B=VxAE=-VdV×E=0 =V×VΦ=0VxVu=0

1.矢量的环量       C C A d l A cos  dl   2.环量密度 S A d l C S        0 lim 3.旋度的定义 x y z x y z A A A x y z a a a curl A A                5.矢量分析中的两个重要恒等式  (  A)  0  B B A     0     u  0 E0 0  E    4.旋度定理        C S A dl A dS     S A d l C S        0 lim 矢量 A 的环流密度的最大值。 

p：√拉普拉斯算符V.VΦ= X8拉普拉斯算符在各坐标系中的表示式：a?da?da?d直角坐标系：V220x?Oy?oz柱坐标系：101dadQz2Qp?球坐标系：Orr Or1aad1a1Cadv?d(sinr2OrOrr? sin 00a0r? sin? 0p矢量：V?A = (V?A)e, +(V?A )e + (A,)e2025-6-1110

2025-6-11 10 v 拉普拉斯算符在各坐标系中的表示式： 直角坐标系： 2 2 2 2 2 2 2 x y  z              柱坐标系： 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 r r z r r r                  球坐标系： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) (sin ) sin sin r r r r r r                         v 拉普拉斯算符 ： 2          A ( Ax)ex ( Ay )ey ( Az)ez 2 2 2 2        矢量：