西安交通大学：《电磁场与电磁能》课程教学资源（PPT课件）第四章 时变电磁场

时变电磁场 序 电磁感应定律和全电流定律 电磁场基本方程、分界面上的衔接条件 动态位及其积分解 坡印亭定理和坡印亭矢量 电磁辐射

AKD第4章时变电磁场在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。·英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组高度概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁场现象的理论基础。时变场的知识结构框图本章要求：深刻理解电磁场基本方程组的物理意义，掌握电磁波的产生和传播特性

第 4 章 时变电磁场 • 在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁场会产 生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。 • 英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的 电磁场基本方程组高度概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁场现象的理论基 础。 • 时变场的知识结构框图 • 本章要求：深刻理解电磁场基本方程组的物理意义，掌握电磁波的产生和 传播特性

合KA#4.1电磁感应定律和全电流定律4.1.1电磁感应定律当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律（Faraday’sLawofElectromagnetic Induction）Bdy8dt81负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化图4.1.1感生电动势的参考方向引起磁通变化的原因分为三类i(t)回路不变，磁场随时间变化·u(t)dyB.as8=dt-Jsat称为感生电动势，这是变压器图4.1.2感生电动势工作的原理，又称为变压器电势

4.1 电磁感应定律和全电流定律 4.1.1 电磁感应定律 当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟电 磁感应定律（Faraday’s Law of Electromagnetic Induction ）。 dt d     引起磁通变化的原因分为三类： S B d dt t d S          称为感生电动势，这是变压器 工作的原理，又称为变压器电势。 • 回路不变，磁场随时间变化 图4.1.2 感生电动势 负号表示感应电流产生的磁 场总是阻碍原磁场的变化 图4.1.1感生电动势的参考方向

AKD回路切割磁力线，磁场不变dy-f(vxB).dl6=dt称为动生电动势，这是发电机工作原理，又称为发电机电势。磁场随时间变化，回路切割磁力线8dydBe(VxB)dl-.ds8=dt2图4.1.2动生电动势实验表明：感应电动势&与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路），只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感应电流产生。好思考电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？

(V B ) dl dt d l         S B V B l d t ( )d dt d l S             称为动生电动势，这是发电机工作原 理，又称为发电机电势。 • 磁场随时间变化，回路切割磁力线 实验表明：感应电动势 与构成回路的材料性质无关（甚至可以是假想回路）， 只要与回路交链的磁通发生变化，回路中就有感应电动势。当回路是导体时，才有感 应电流产生。  • 回路切割磁力线，磁场不变 图4.1.2 动生电动势 电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？

合KA#4.1.2感应电场（涡旋电场）麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力（产生感应电流），称之为感应电场（ElectricFieldofInduction）。aB感应电动势与感应电场的关系为atraB (V×B).dl -.ds=$E,·dl =(VxE,)dS 8=AaBEV×E, =×(V×B)-ataBVxE,=在静止媒质中图4.1.3a变化的at磁场产生感应电场感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场邵at是产生E的涡旋源。若空间同时存在库仑电场，即E=Ec+E，则有aBVXE=变化的磁场产生电场at好思考根据自然界的对偶关系，变化的磁场产生电图4.1.3b变化的磁场产生感应电场场，变化的电场是否会产生磁场呢？

4.1.2 感应电场（涡旋电场） 麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力 （产生感应电流），称之为感应电场（Electric Field of Induction )。                 S B E l E S V B l d dt d ( ) d ( ) d s L i l i   感应电动势与感应电场的关系为 t ( ) i        B E V B 感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场 是产生Ei 的涡旋源。 t B 图4.1.3b 变化的磁场产生感应电场 t      B E 若空间同时存在库仑电场, 即 E  EC  Ei , 则有 变化的磁场产生电场 在静止媒质中 t i      B E 图4.1.3a 变化的 磁场产生感应电场 根据自然界的对偶关系，变化的磁场产生电 场，变化的电场是否会产生磁场呢？

AKD4.1.3全电流定律恒定场时变场aDop.: V.J::V.J=0atataD V-(J+=0at矢量恒等式矢量恒等式V-(VxH)= 0V-(VxH)=0ad..VXH=J.. VxH=J-at图4.1.4交变电路用安培环路定律面积分，斯氏定理面积分，斯氏定理aD作闭合曲线1与导线交fH.dl- J,-dsSH·dl=).dsat链，根据安培环路定律经过S,面经过S,面SH-dl =$ H.dl =J.ds=0J·ds=iJ.ds=iaDfHdl=J(J+厨思考).dsaDatods-gds-1为什么相同的线积分结果不同？S2atJS2atat

作闭合曲线 l 与导线交 链，根据安培环路定律 d d i S 1 l S 1       H l J S 经过 面 d d 0 S S2 l 2       H l J S 经过 面          S D H l J ) d t d ( l S            S2 2 i t q dS t d t S S D  d i S1    J S 4.1.3 全电流定律 恒定场 时变场   J  0  (   H )  0  H  J t       D H J 面积分，斯氏定理      l S H d l J d S S D H l J ) d t d ( l S         面积分，斯氏定理  (  H )  0 t  t           D J   ) 0 t (        D J 矢量恒等式 矢量恒等式 图4.1.4 交变电路用安培环路定律 为什么相同的线积分结果不同？

合A#全电流定律aDVXH=J+微分形式ataDfH.dl-(J+2).ds=i,+ip积分形式ataD=JD其中，at位移电流密度(DisplacementCurrentDensity )全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。麦克斯韦由此预言电磁波的。例4.1.1已知平板电容器的面积为S，相距为d，介质的介电常数8发极板间电压为u（t）。试求位移电流ip:传导电流i与ip的关系是什么？解：忽略极板的边缘效应和感应电场E=uD=6E=eu(t)电场d'daD_du位移电流密度Jp=atddt传导电流(du)=cduip=Jpds-位移电流+位移电流=icddtdt图4.1.5传导电流与位移电流

全电流定律 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它 与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。 麦克斯韦由此预言电磁波的。 其中， J D ——位移电流密度 D    t ( Displacement CurrentDensity ) 解： 忽略极板的边缘效应和感应电场 d u(t ) , D E d u E      位移电流密度 位移电流 ) dt du ( t d D JD      C S D D i dt du ) C dt du ( d S i  J dS      例 4.1.1 已知平板电容器的面积为 S , 相距为 d , 介质的介电常数 ， 极板间电压为 u(t)。试求位移电流 iD；传导电流 iC与 iD 的关系是什么?  电场  t      D H J 微分形式 c D l s ) d i i t d (           S D H l J 积分形式 图4.1.5 传导电流与位移电流

AD4. 2电磁场基本方程组·分界面上的衔接条件4.2.1电磁场基本方程组综上所述，电磁场基本方程组（Maxwel1方程）为ODaDfH.dl=L(J+VXH=J+).ds全电流定律atataBaBfE - dl = -I.%f.dsVXE=电磁感应定律at$B-ds = 0V·B=0磁通连续性原理JsV.D=pf Dds = q高斯定律2讨论与引伸四个方程所反映的物理意义全电流定律麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场：·电磁感应定律麦克斯韦第二方程，表明电荷和变化的磁场都能产生电场；·磁通连续性原理一一表明磁场是无源场，磁力线总是闭合曲线；·高斯定律一一表明电荷以发散的方式产生电场（变化的磁场以涡旋的形式产生电场）。·麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从中推得。静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式

4.2 电磁场基本方程组 • 分界面上的衔接条件 4.2.1 电磁场基本方程组 综上所述,电磁场基本方程组 (Maxwell方程)为 S D H l J D H J ) d t d ( t l s               S B E l B E d t d t l k               0 d 0 s       B B S       s D  D dS q 全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性原理 • 全电流定律——麦克斯韦第一方程, 表明传导电流和变化的电场都能产生磁场； • 电磁感应定律——麦克斯韦第二方程 , 表明电荷和变化的磁场都能产生电场； • 磁通连续性原理——表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线； • 高斯定律——表明电荷以发散的方式产生电场(变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。 • 麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从中推得。 • 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。 高斯定律 四个方程所反映的物理意义

AKV4. 2. 2分界面上的衔接条件时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下：tan α-磁场：Bin=B2mtan α2μ2H-Hu= k折射定律tan β= i电场：D2n-Din=αtan β,62E, = E例4.2.1试推时变场中导理想导体与理想介质分界面上的衔接条件。y-0解：：理想导体中 J=E为有限值，当→0,E=0;aB+H: VxE=-=0B=C(常数),KataB若C0,B由0→C的建立过程中必有￥0.即E±0EnatOJ=E→80，所以,只有B=C=0。图4.2.1媒质分界面为此：·在理想导体内部没有电磁场，即E=0，B=0；·分界面介质侧的衔接条件为E,=0,D,=o,H=k,B,=0电磁波的全反射

时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下： 例 4.2.1 试推时变场中导理想导体与理想介质分界面上 的衔接条件。 0 , C ( ), t    常数      B B  E 4.2.2 分界面上的衔接条件 所以 只有 若 由 的建立过程中必有 即 , , 0, 0 t 0, 0          J E E B C B C   B  C  0 解： 理想导体中 J  E 为有限值，当   , E  0 ; E2t  E1t 电场： D2n D1n  H H k 2t  1t  磁场：B1n  B2n 为此： • 在理想导体内部没有电磁场，即 E=0，B=0 ； 折射定律 2 1 2 1 tan tan      2 1 2 1 tan tan      图4.2.1 媒质分界面 Et 0, Dn  , Ht  k, Bn 0 • 分界面介质侧的衔接条件为 电磁波的全反射

AKD4.3动态位及其积分解动态位及其微分方程4.3.1仍从电磁场基本方程组出发，由V.B=0B=VXA1aBaAA由IVxE=Vx(EE+-Vo0>atatatA, @ofKineticState)。称为动态位（potentialaDaOA1由VxH=J+-Vo)VxVXA=J-atatatLOA由V.D=po)=pV.E(→atO"Aap经整理后，得A-(1)J+(VA+et?ataPV.A=-Vp+(2)Ot8ap定义A的散度洛仑兹条件（规范）V.A=-eat

4.3 动态位及其积分解 4.3.1 动态位及其微分方程 仍从电磁场基本方程组出发, 由   B  0  t     B 由 E         ) 0 t ( A E      t A E t     D H J ) t ( t 1               A A J  D              ) t ( A 经整理后，得  A,  称为动态位（potential of Kinetic State）。 由 由 t ( ) t 2 2 2                 J A  A A           A t 2 （2） （1） 洛仑兹条件（规范） t      A  B A 定义A 的散度