第三章习题 3-1已知正弦电压和正弦电流的波形如图3-1所示频率为50Hz,试指出它们的最大值、 初相位以及它们之间的相位差,并说明哪个正弦量超前,超前多少度?超前多少时间? Wv, ilA 解:O=2=2×314×50=314rad/t 、i的表达式为 310 310sm(3141+45° i=2sm(3141-90°)A q=vn-v1=45°-(-90°)=135 即:u比i超前135°,超前 0.0075s 360°360°50 图3-1 2-1某正弦电流的频率为20Hz,有效值为52A,在0时,电流的瞬时值为5A,且此 时刻电流在增加,求该电流的瞬时值表达式 O=2=40x i=5√2×√2sin(40m+y)=10sn(40m+y)A 0时,i=10sin=5,v=30 =10sn(40m+30°)A 3-3已知复数A1=6+1892,A2=4492,试求它们的和、差、积、商。 解: A1+A2=(6+j8)+(4+j4)=10+j12 A1-A2=(6+j8) A,A,=10∠53.1°×5657∠45°=56.57∠98.1° A1_10 =1.77∠8.1° A5657445 3-4试将下列各时间函数用对应的相量来表示。 ()i=5sin( at)A, i2=10sin( at +60%)A 2)i=i1+i2 解:(1)/m=5∠0°A,L2n=10∠60°A (2)m=lm+l2m=5∠0°+10∠60°=13234089 35在图32所示的相量图中,已知U=220V,1=10A,.12=5√2,它们的角频率是a 试写出各正弦量的瞬时值表达式及其相量
2 u/V，i/A ωt 310 u i 45° 90° O 图 3-1 = 2f = 23.1450 = 314rad / t i t A u t V 2sin( 314 90 ) 310sin( 314 45 ) = − = + = − = 45−(−90) =135 u i x T 0.0075s 50 1 360 135 360 135 = = = 5 2 i t A t i i t t A f （ ） 时， ， （ ） = + = = = = = + = + = = 10sin 40 30 0 10sin 5 30 5 2 2 sin( 40 ) 10sin 40 2 40 = = = = − = + − + = + + = + + + = + 1.77 8.1 5.657 45 10 53.1 10 53.1 5.657 45 56.57 98.1 (6 8) (4 4) 2 4 (6 8) (4 4) 10 12 2 1 1 2 1 2 1 2 A A A A A A j j j A A j j j 1 2 1 2 (2) (1) 5sin( ) , 10sin( 60 ) ; i i i i t A i t A = + = = + = + = + = = = • • • • • (2) 5 0 10 60 13.23 40.89 (1) 5 0 , 10 60 ; 1 2 1 2 m m m m m I I I I A I A U = 220V,I 1 =10A,I 2 = 5 2A 第三章习题 3-1 已知正弦电压和正弦电流的波形如图 3-1 所示,频率为 50Hz，试指出它们的最大值、 初相位以及它们之间的相位差，并说明哪个正弦量超前，超前多少度？超前多少时间？ 解： u、i 的表达式为 即：u 比 i 超前 135°，超前 2-1 某正弦电流的频率为 20Hz，有效值为 A，在 t=0 时，电流的瞬时值为 5A，且此 时刻电流在增加，求该电流的瞬时值表达式。 解： 3-3 已知复数 A1=6+j8Ω，A2=4+j4Ω，试求它们的和、差、积、商。 解： 3-4 试将下列各时间函数用对应的相量来表示。 解： 3-5 在图 3-2 所示的相量图中，已知 ，它们的角频率是 ω， 试写出各正弦量的瞬时值表达式及其相量
解: u 10√2sn(on+90°)A =10sn(ot-45 U=220∠09V 1=10∠90°A 图3-2 i2=52∠-45A 3-6220V、50Hz的电压电流分别加在电阻、电感和电阻负载上,此时它们的电阻值、电 感值、电容值均为22,试分别求出三个元件中的电流,写出各电流的瞬时值表达式, 并以电压为参考相量画出相量图。若电压的有效值不变,频率由50Hz变到500Hz,重 新回答以上问题。 解 当=50H时: l=U/R=220∠0°/22=10∠0°A l=Ujx1=220∠0°j22=10∠-90°4 ∫=50/时 Ic=U/(-jxc)=220∠0°/(-2)=10∠90°4 0√2sin3 i1=10√2sm(3141-90°)A ia=10√2sm(314+90°)A 当=500H时: R=2292,X1=2n=2202,XC=1/2mC=2.22 i。=10√2sin3140A4 ∫=500H时 l2=√2sin(31401-90°)A ic=100y2sn(3140+90°)A 3-7电路如图3-3所示已知u=10sm(on-180°),R=4oL=32。试求电感元件上的 电压 解: R L 10∠-180 4+j3 0.6∠53.1°×10∠-180° l2=6sm(ot-1269°9
I A I A U V i t i t A u tV = − = = = − = + = • • • 5 2 45 10 90 220 0 10sin 45 10 2 sin( 90 ) 220 2 sin 2 1 2 1 （ ） i t A i t A i tA R X fL X fC f Hz i t A i t A i tA I U jX j A I U jX j A I U R A f Hz U V C L R L C C L R C C L L R （ ） （ ） ， ， 当 时： （ ） （ ） 当 时： = + = − = = = = = = = = + = − = = − = − = = = = − = = = = = • • • • • • • 100 2 sin 3140 90 2 sin 3140 90 10 2 sin 3140 22 2 220 1 2 2.2 500 10 2 sin 314 90 10 2 sin 314 90 10 2 sin 314 ( ) 220 0 ( 22) 10 90 220 0 22 10 90 220 0 22 10 0 50 220 0 • R I • L I • C I • U f = 50Hz时 • • U R I • C I • L I f = 500Hz时 u =10sin(t −180)V,R = 4,L = 3 u t V V j j U R j L j L U L Lm Lm 6sin( 126.9 ) 6 126.9 0.6 53.1 10 180 10 180 4 3 3 = − = − = − − + = + = • • 解： 3-6 220V、50Hz 的电压电流分别加在电阻、电感和电阻负载上，此时它们的电阻值、电 感值、电容值均为 22Ω，试分别求出三个元件中的电流，写出各电流的瞬时值表达式， 并以电压为参考相量画出相量图。若电压的有效值不变，频率由 50Hz 变到 500Hz，重 新回答以上问题。 解： 3-7 电路如图 3-3 所示,已知 。试求电感元件上的 电压 uL。 解： 45 图 3-2 • 2 I • U • 1 I
3-8已知RC串联电路的电源频率为1/(2πRC),试问电阻电压相位超前电源电压几度? 电容C的容抗为: Z=R R-jR=√2R∠-45° i比ud超前45°,而ua=iR 电阻电压比电源电压u超前45° 3-9正弦交流电路如图3-4所示,用交流电压表测得UAD=5V,UAB=3V,UCD=6V,试问 UDB是多少? 解:由相量图电压三角形可得: Ao- 图 3-10正弦交流电路如图3-5所示,已知e=50 sino v,在5g电阻上的有功功率为10W, 试问整个电路的功率因数是多少? 12×5=10 Ⅰ=√2A P=E/cosp=10+12×10 cos p √2)2×1 图3-5 COso=0.6 3-11日光灯电源的电压为220V,频率为50Hz,灯管相当于300g的电阻,与灯管串联 的镇流器在忽略电阻的情况下相当与5009感抗的电感,试求灯管两端的电压和工作电 流,并画出相量图。 解 总阻抗Z=300+j500=583.1∠599 0.377A 2583 U=IR=0.377×300=11321
电阻电压比电源电压 超前 。 比 超前 ，而 即： （ ） 电容 的容抗为： = − = − = − = − = − = = = 45 45 45 2 45 2 2 1 1 2 1 u i u u iR Z R jX R jR R R RC fC C X C R u i C C V UDB UAD UAB 4 5 3 2 2 2 2 = = − = − cos 0.6 2 cos 10 ( 2) 10 2 50 : cos 10 10 2 5 10 2 2 2 = = + = = + = = 即 P EI I I A I U IR V A Z U I Z j R 0.377 300 113.2 0.377 583.1 220 300 500 583.1 59 = = = = = = 总阻抗 = + = • I • U • UR • UL 59 3-8 已知 RC 串联电路的电源频率为 1/（2πRC），试问电阻电压相位超前电源电压几度？ 解： 3-9 正弦交流电路如图 3-4 所示，用交流电压表测得 UAD=5V，UAB=3V，UCD=6V，试问 UDB 是多少？ 解：由相量图电压三角形可得： | 3-10 正弦交流电路如图 3-5 所示，已知 e=50sinωt V，在 5Ω 电阻上的有功功率为 10W， 试问整个电路的功率因数是多少？ 解： 3-11 日光灯电源的电压为 220V，频率为 50Hz，灯管相当于 300Ω 的电阻，与灯管串联 的镇流器在忽略电阻的情况下相当与 500Ω 感抗的电感，试求灯管两端的电压和工作电 流，并画出相量图。 解： • I • U AD • U AB • UBC • UCD • UBD
3-12试计算上题日光灯电路的平均功率、视在功率、无功功率和功率因数。 S=U=220×0.377=829A COS P= co P= Scos o=82.9×0.52=43. Q= Ssin=829×0.86=71.3var 3-13为了降低风扇的转速,可在电源与风扇之间串入电感,以降低风扇电动机的端电 压。若电源电压为220V,频率为50Hz,电动机的电阻为1909,感抗为2609。现要求 电动机的端电压降至180V,试求串联的电感应为多大? XL 解:等效电路如图所示。 电动机的等效阻抗为Z1=190+j260=322∠53842 则串联待求电感后电路中电流为 U1180 z1322=0.564 电路的总阻抗为 z=jX1+R+jX1=R+f(X1+X1)=190+j(X+260)92 220 X+260) 解之得:X1=2nL=83.86 L=83.86/(2×3.14×50)=0.27H 3-14正弦交流电路如图36所示,已知,电流表A3的读数为5A,试问电流表A1和A2 的读数各为多少? 解:用相量图求解。 因为:X=XC=R 所以:R==l=5A x则 12=√R+l 图3-6 =5√2A 3=√(-1)2+12 5A 3-15电路如图3-7所示,已知交流电源的角频率ω=2rad/s,试问AB端口之间的阻抗 ZAB是多大? A 解: X1=OL=2×1=29 1/(oC)=1( (GX)∥(-jXc) 4∥(2)∥(-j2)=492
sin 82.9 0.86 71.3var cos 82.9 0.52 43.1 cos cos59 0.52 220 0.377 82.9 = = = = = = = = = = = Q S P S W S UI VA ( ) L H X f L X Z U I Z j X R j X R j X X j X A Z U I Z j L L L L L L L 83.86 / 2 3.14 50 0.27 2 83.86 0.56 190 260 220 ( ) 190 ( 260) 0.56 322 180 190 260 322 53.84 2 2 ' ' ' 1 1 1 = = = = = + + = = + + = + + = + + = = = = + = （ ） 解之得： ，即： 电路的总阻抗为： 则串联待求电感后电路中电流为： 电动机的等效阻抗为 ’ ‘ • U • C I • L I • R I • 2 I • 1 I A I I I I A I I I C L R R C 5 ( ) 5 2 5 5 2 2 3 2 2 2 2 2 = = − + = = + = + ( ) ( ) = − = = − = = = = = = 4 //( 2)//( 2) 4 // // 1 ( ) 1 (2 0.25) 2 2 1 2 j j Z R jX jX X C X L AB L C C L 3-12 试计算上题日光灯电路的平均功率、视在功率、无功功率和功率因数。 解： 3-13 为了降低风扇的转速，可在电源与风扇之间串入电感，以降低风扇电动机的端电 压。若电源电压为 220V，频率为 50Hz，电动机的电阻为 190Ω，感抗为 260Ω。现要求 电动机的端电压降至 180V，试求串联的电感应为多大？ 解：等效电路如图所示。 3-14 正弦交流电路如图 3-6 所示，已知，电流表 A3 的读数为 5A，试问电流表 A1 和 A2 的读数各为多少？ 解：用相量图求解。 因为： XL=XC=R 所以：IR=IL=IC=5A 则： 3-15 电路如图 3-7 所示，已知交流电源的角频率 ω =2rad/s，试问 AB 端口之间的阻抗 ZAB 是多大？ 解：
3-16正弦交流电路如图3-8所示,已知XC=R,试问电感电压与电容电压l的相位差 是多少? 解:设/= 则:U71=jX1I=X2∠90 U2=[R∥(-jXC)]I 图3-8 [R∥(-jR)I R×(-jR) R-IR R∠-45 q=vn1-vn2=90°-(-45°)=135° 3-17如图39所示,若u=10√2sn(on+45°),i=5√2sn(o+15)A,则Z为多少?该 电路的功率又是多少? 解: z==1045 2∠30° P= UI cos o=10×5c0s30°=43.3W 图3-10 3-18串联谐振电路如图3-10所示,已知电压表V1、V2的读数分别为150V和120V 试问电压表V的读数为多少? 解:串联谐振时: U=UR=V(U2-U2) (1502-1202) =90 即:电压表的读数为90。 3-19并联谐振电路如图3-11所示,已知电流表A1、A2的读数分别为13A和12A,试 问电流表A的读数为多少? 解:用相量图求解: 谐振时,u、i同相, 由图可得A表读数为: =-2 54 图3-10
= − = − − = − = − − = = − = − = = = • • • • • • • 90 45 135 2 45 [ // ] [ // ] 90 0 1 2 2 1 （ ） （ ） （ ） （ ） 则： 设 u u C L L RI I R jR R jR R jR I U R jX I U jX I X I I I u =10 2 sin(t + 45)V，i = 5 2 sin(t +15)A， P UI W I U Z cos 10 5cos30 43.3 2 30 5 15 10 45 = = = = = = • • 即：电压表V的读数为 V。 V U U U U U U U V R L L C 90 90 (150 120 ) ( ) 120 2 2 2 2 1 2 = = − = = − = = = • 2 I • 1 I • I • U A I I I 5 13 12 2 2 2 2 2 1 = = − = − 3-16 正弦交流电路如图 3-8 所示，已知 XC=R，试问电感电压 u1 与电容电压 u2 的相位差 是多少？ 解： 3-17 如图 3-9 所示，若 则 Z 为多少？该 电路的功率又是多少？ 解： 3-18 串联谐振电路如图 3-10 所示，已知电压表 V1、V2 的读数分别为 150V 和 120V， 试问电压表 V 的读数为多少？ 解：串联谐振时： 3-19 并联谐振电路如图 3-11 所示，已知电流表 A1、A2 的读数分别为 13A 和 12A，试 问电流表 A 的读数为多少？ 解：用相量图求解： 谐振时，u、i 同相， 由图可得 A 表读数为：
3-20含R、L的线圈与电容C串联,已知线圈电压UK=50V,电容电压UC=30V,总电 压与电流同相,试问总电压是多大? 解:等效电路如图所示 串联谐振时: U1=U=30 URL U=U=√Ua-U2) 即:总电压为40。 3-21RLC组成的串联谐振电路,已知U=10V,F1A,UC=80V,试问电阻R多大?品质 因数Q又是多大? 解:串联谐振时:U=UR=/R=10V 所以:R=UF=10/1=1092 Q=UoU=80/10=8 3-22某单相50Hz的交流电源,其额定容量为SN=40kVA,额定电压UN=220V,供给照 明电路,若负载都是40W的日光灯(可认为是RL串联电路),其功率因数为0.5,试求: (1)日光灯最多可点多少盏? (2)用补偿电容将功率因数提高到1,这时电路的总电流是多少?需用多大的补偿电 (3)功率因数提高到1以后,除供给以上日光灯外,若保持电源在额定情况下工作 还可多点40W的白炽灯多少盏? 解 (1):n1 SNcos o140×1000×0.5500盏 PE 日光灯 (2):P=U=40n I=(40×5000)/U=20000/220=90.9A coS1=0.5:1=60° coS2=1∴2=0° CsP(g-102)200-a)=22801F U 2×3.14×50×220 (3):n2 cos p 40×1000cos0° 500=500盏 40 ny 40
即：总电压为 V。 V U U U U U U U U U U U V R RL L RL R L R L C 40 40 (50 30 ) ( ) 30 2 2 2 2 2 2 = = − = = − = + = = = ： 盏 （ ） （ ） （ ） ： ： 盏 日光灯 500 500 40 40 1000cos0 40 cos (3) 2280 2 3.14 50 220 20000 60 0 2 cos 1 0 cos 0.5 60 40 5000 / 20000 / 220 90.9 (2) 40 500 40 cos 40 1000 0.5 (1) 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 − = = − = = − = − = = = = = = = = = = = = = n S n F t g t g f U P t g t g C I U A P UI n p S n N N 3-20 含 R、L 的线圈与电容 C 串联，已知线圈电压 URL=50V，电容电压 UC=30V，总电 压与电流同相，试问总电压是多大？ 解：等效电路如图所示。 串联谐振时： 3-21 RLC 组成的串联谐振电路，已知 U=10V，I=1A，UC=80V，试问电阻 R 多大？品质 因数 Q 又是多大？ 解：串联谐振时：U=UR=IR=10V 所以：R=U/I=10/1=10Ω Q=UC/U=80/10=8 3-22 某单相 50Hz 的交流电源，其额定容量为 SN=40kVA，额定电压 UN=220V，供给照 明电路，若负载都是 40W 的日光灯（可认为是 RL 串联电路），其功率因数为 0.5，试求： （1）日光灯最多可点多少盏？ （2）用补偿电容将功率因数提高到 1，这时电路的总电流是多少？需用多大的补偿电 容？ （3）功率因数提高到 1 以后，除供给以上日光灯外，若保持电源在额定情况下工作， 还可多点 40W 的白炽灯多少盏？ 解：
本章小结 1、正弦量的三要素:最大值(或有效值)、频率(或周期,或角频率)和初相位 已知三要素可写出瞬时值表达式,反之,由表达式可写出三要素。 最大值是有效值的倍,交流电表所指示的为有效值 2、正弦量的三种表示方法:三角函数式、波形图和相量。前两种方法能完整的表示出 三要素,但计算正弦量不方便;而相量法是分析计算正弦交流电路的重要工具 单一参数电路欧姆定律的相量形式是: U=RI U,=jX I jX 其中:感抗X=oL,容抗XC=1(oC) 4、RLC串联电路的欧姆定律的相量形式: U=ZI 其中复阻抗:z=R+j(X1-Xc) 电压关系为:U=√02+(U1-Un)2 功率关系为:S=VP2+(4-Q) 其中:有功功率P= UI cos o 无功功率Q=Q-Q=Ulsn 视在功率S=U 阻抗角即相位差角或功率因数角,即:q=aBx=a、 arctan 5、基尔霍夫定律的相量形式 ∑I=0 ∑Ux=0 相量形式的基尔霍夫定律和相量形式的欧姆定律结合起来是分析正弦交流电路的基本 于 6、谐振是正弦交流电路中的储能元件电感L和电容C的无功功率实现了完全补偿,电 路呈现电阻性。 谐振条件:oL 谐振频率:f6 2丌√LC 串联谐振特点:电路阻抗最小,电流最大:若X=XC>R,则U=UC>U。 品质因数Q=UL/U=U/U 并联谐振特点:电路阻抗最大,总电流最小,可能会出现支路电流大于总电流的情况。 品质因数Q=h∥=loI 7、提高感性负载电路功率因数的方法:在感性负载两端并联电容器
2 • • • • • • = − = = U jX I U jX I U R I C C L L R ( ) P Q U U R X S U I Q Q Q U I P U I S P Q Q U U U U Z R j X X U Z I R X L C L C R L C L C arctan arctan arctan sin cos 2 2 2 2 = = = = = − = = = + − = + − = + − = • • 阻抗角即相位差角或功率因数角，即： 视在功率 无功功率 其中：有功功率 功率关系为： 电压关系为： （ ） 其中复阻抗： （ ） 0 0 = = • • K K U I LC f C 2 1 0 1 L - 0 = = 谐振频率： 谐振条件： 本章小结 1、正弦量的三要素：最大值（或有效值）、频率（或周期，或角频率）和初相位。 已知三要素可写出瞬时值表达式，反之，由表达式可写出三要素。 最大值是有效值的 倍，交流电表所指示的为有效值。 2、正弦量的三种表示方法：三角函数式、波形图和相量。前两种方法能完整的表示出 三要素，但计算正弦量不方便；而相量法是分析计算正弦交流电路的重要工具。 3、单一参数电路欧姆定律的相量形式是： 其中：感抗 XL=ω L，容抗 XC=1/(ωC)。 4、RLC 串联电路的欧姆定律的相量形式： 5、基尔霍夫定律的相量形式： 相量形式的基尔霍夫定律和相量形式的欧姆定律结合起来是分析正弦交流电路的基本 方法。 6、谐振是正弦交流电路中的储能元件电感 L 和电容 C 的无功功率实现了完全补偿，电 路呈现电阻性。 串联谐振特点：电路阻抗最小，电流最大；若 XL=XC>R，则 UL=UC>U。 品质因数 Q=UL/U=UC/U 并联谐振特点：电路阻抗最大，总电流最小，可能会出现支路电流大于总电流的情况。 品质因数 Q=IL/I =IC/I 7、提高感性负载电路功率因数的方法：在感性负载两端并联电容器