第五章连续系统的S域分析S5-1拉普拉斯变换由付氏变换引入拉氏变换作用①可以将微分方程化为代数方程f(t)(如u(t),不满足绝对②自动将初始条件包含在变换中，可求解全响应③某些付氏变换不存在的信号拉氏变换存在0(0).e-a可积, (u(0)ldt →)可以用S域观点来分析系统二。拉普拉斯反变换α>0绝对可积今=f（)e-aI ro+m F(s)e" dss=o+jof(t)=(jo)= f f(t)e-"e-an dt2元gJa-j(jo)= F(s)= f(t)e" dtF(s) =LT-'[f(0)]记为双边拉普拉斯变换三。 拉普拉斯变换的收敛域F(s)= J f(1)e-" diF(s) - (te" dt单边拉普拉斯变F(s)= LT [f(O))记为1、双边拉普拉斯变换收敛域：使F(S)存在的s的区域称为收敛域。（1）．因果信号实际上就是拉氏变换存在的条件；f()是因果函数例:设f(t)=e"u(t)lim f(t)e =0(a>a.)e(a-s)oF(s)-e"e-s'di a-s当a-a时，F(s)收敛au(t)
1 第五章 连续系统的S域分析 ①可以将微分方程化为代数方程 ④可以用S域观点来分析系统 ③某些付氏变换不存在的信号拉氏变换存在 ②自动将初始条件包含在变换中，可求解全响应 作用 §5-1 拉普拉斯变换 一．由付氏变换引入拉氏变换 , ( ( ) ) ( )( ( ) , → ∞ ∫ +∞ −∞ u t dt f t u t 可积 如 ） 不满足绝对 t t u t e −σ ( ) ⋅ 令φ(t) = f (t)e −σt α > 0 绝对可积 ( j ) f (t)e e dt σt jωt ω − − +∞ ∫−∞ Φ = ( j ) F(s) f (t)e dt −st +∞ ∫−∞ Φ ω = = 记为 F (s) = LT [ f (t)] ( ) ( ) 0 F s f t e dt −st +∞ ∫ − = s =σ + jω 双边拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换 二．拉普拉斯反变换 F s e ds j f t st j j ( ) 2 1 ( ) ∫ + ∞ − ∞ = σ π σ ( ) LT [ ( )] 1 F s f t − 记为 = 三．拉普拉斯变换的收敛域 F(s) f (t)e dt −st +∞ ∫−∞ = ( ) 0 lim f (t) e 0 σ σ σ t t = > − →∞ 收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 实际上就是拉氏变换存在的条件； O σ jω σ0 收敛坐标 收敛轴 收敛区 : f (t) e u(t) at 例 设 = F s e e dt at −st ∞ ∫ − = 0 ( ) − ∞ − = 0 1 (a s)t e a s 当a −σ a时, F(s)收敛 1 t e u(t) at a < 0 a < 0 jω a 0 σ （1）．因果信号 f (t)是因果函数 1、双边拉普拉斯变换
无界o>ae-(s-a) 0u(t-(s-a)lg0a>0收敛域ja(2)反因果函数的收敏域f(t)= ea" u(-t)aoF(s)= ['ee-"dta>0a>0（3-双边函数的收敛域aj>a2aft0adnF(s)= [° f(t)e-" dtaF(s)的收敛域不存在F(s)的收敛域F(s)不收敛=" (0)u(-1)e"d + ()u(0e-"dt2．单边拉普拉斯变换专过因果信号= F(s)+ F2(s)双边拉普拉斯变换同单边拉普拉期常用信号的拉氏变换（3）．指数函数（1），单位阶跃函数u(t)f(t)=e"u(t)-e-(s+a)|0~F(s)=J,u(ve-"dt-J"-"dt=-e-sl°F(o)-Ied--+ae/R[s]>0R,[s]>-a"s+a【2）单位冲激函数8((4)复指数函数f(t) = e*jlu(t)F(s)-J8(ne"dt=e- =1F(s)= I eme"d = -s± joR.[s]>0收敛域为全平面
2 1 t e u(t) at a > 0 a >0 0 a σ （2）. 反因果函数的收敛域 f (t) e u( t) at = − F s e e dt at −st −∞ ∫ = 0 ( ) = − − = −∞ − − 0 ( ) (s a) e s a t a s a a σ σ ( ) 1 无界 收敛域 t a > 0 f(t) jω a > 0 0 a σ F s f t e dt − st ∞ − ∞ ∫ ( ) = ( ) f t u t e dt f t u t e dt st −st ∞ − ∫−∞ ∫ − − = − + 0 2 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 设有f (t) = f1(t) + f2 (t) = 0 0 2 1 > a2 F(s)的收敛域 a1 s e （1）. 单位阶跃函数u(t) 常用信号的拉氏变换 − − +∞ +∞ − +∞ = = = − ∫ ∫ − 0 0 0 1 ( ) ( ) st st st e s F s u t e dt e dt ( ) ( ) 1 0 0 = = = − − +∞ ∫ − F s t e dt e st δ 收敛域为全平面 f (t) e u (t) − at = （3）. 指数函数 − − + +∞ +∞ − − − + = = − ∫ 0 ( ) 0 1 ( ) at st s a t e s a F s e e dt R s a s a e > − + = [ ] 1 ( 4 ). f (t ) e u (t ) ± jω t 复指数函数 = [s] > 0 Re 1 ( ) 0 ω ω s j F s e e dt j t st ± = = − − +∞ ∫ − ∓
35-2拉普拉斯变换的性质一。 线性性质(5). cosotu(t), sinotu(t)f(t)αF(s)f()αF(s)cosol-)(e+-m)()f(t)= f(t)+ βf () α F(s) = aF(s)+ βF;(soo- R>0微分积分性质1微分性质设F(s)= L[(t)(ejor -e-jor )u()e-" dtL[sinoti(0)= J%)=SF()- (0-/函数的初始值d')=s°F(s)-s(0_)-J(0))=+0R[]>02- jo+$+jo(1=$"F()-s(0)-s(0.)F(s)f。 f(t)dt}=推广-sr(a-2)(0_)- (-1(0_)S降幂排列S"S"-… s’ soA"F(s)f(t)dt)=-升导数F(0), f-(0) , f"(0)三、平移性质2.原函数积分1.时域平移 ()dtl=↓F(o)+-(0.)若LLf(t)u(t)= F(s)其中(-)(o)=[(x)dx则 L[f(t-to)u(t- to)] =e-o F(s)2．频域平移四．尺度变化特性若 F(s)=L[f(t))L[(an)]-_F(-)频域位移五。初值定理和终值定理则 L'[F(s-so)]=e f(t)利用频移特性①初值定理(0+)=lin f(0)=linsF(s)Lle-a sinop]=-(s+a)° +o)定理成立条件：linsF(s)存在st②终值定理Lea cosobl= (s+a) +abf(o0)=lig SF(s)
3 (5). cosωtu(t), sinωtu(t) ( ) ( ) 2 1 cos t u(t) e e u t jωt jωt ω − ⋅ = + 2 2 ) 1 1 ( 2 1 L[cos ( )] ω ω ω ω + = + + − = s s s j s j tu t e e u t e dt j tu t j t − j t −st +∞ = − ∫ ( ) ( ) 2 1 L[sin ( )] 0 ω ω ω 2 2 ) 1 1 ( 2 1 ω ω ω ω + = + + − = j s j s j s [s] > 0 Re Re[s] > 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 f t ↔F s f t ↔F s §5-2 拉普拉斯变换的性质 二. 微分积分性质 一．线性性质 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f t = αf t + βf t ↔ F s = αF s + βF s 设F(s) = L [ f (t)] [ ] ( ) (0 ) (0 ) 2 2 2 − − = s F s −sf − f ′ dt d f L [ ] ( ) (0 ) = − − sF s f dt df L 1 微分性质 函数的初始值 S降幂排列 升导数 2．原函数积分 (0 ) (0 ) [ ] ( ) (0 ) (0 ) ( 1) 1 ( 2) 1 2 − − − − − − − − − = − − ′ n n n n n n n sf f s F s s f s f dt d f L " (0 ) 1 ( ) 1 [ ( ) ] ( 1) − − −∞ = + ∫ f s F s s L f d t τ τ 1 1 0 S S s s n n− " (0 ), , (0 ) , (0 ) - 1 - 0 −2 − − n n f " f f ∫ − −∞ − − = 0 ( 1) 其中 f (0 ) f (x)dx ( ) 1 [ ( ) ] 0 F s s L f d t = ∫ − τ τ ( ) 1 [ ( ) ] 0 F s s L f d n n t = ∫ − τ τ 推广： 三. 平移性质 1. 时域平移 若L[ f (t)u(t)] = F(s) L[ ( ) ( )] ( ) 0 0 0 f t t u t t e F s −st 则 − − = 2. 频域平移 若 F (s) = L[ f (t)] 则 L-1[F(s − s0 )]= es0t f (t) 频域位移 利用频移特性 2 0 2 0 0 ( ) L[ sin ] α ω ω ω α + + = − s e t t 2 0 2 0 ( ) L[ cos ] α ω α ω α + + + = − s s e t t 四. 尺度变化特性 ( ) 1 L[ ( )] a s F a f at = 五. 初值定理和终值定理 ①初值定理 f (0 ) = lin f (t) = lin sF(s) + → + t 0 s → ∞ 定理成立条件 : s lin → ∞ sF (s) 存在 ②终值定理 f (∞) = lin sF(s) s→0
六。卷积定理定理成立条件：linf(t)存在f()F(s)f(t)αF(s)应用：a已知F(S)只要知道f(Q)和(0)b. 可检验 F(s)是否正确LL()*f2(0)=F(s)F2(s)二F(s)*F(s)(-2(0)元绿茶例：利用常用函数的的象函数及拉普拉斯② cos(βt)≤-?+β2变换的性质，求下列函数的拉普拉斯变换s+ae- cos(βt) -(s+α)+β2①e'[e(t)-s(t-2)]s+α- te-a cos(βt) 一 (=e'e(t)-ee-(-2)e(t-2)(s+α) +β2e-2 e~21-e-2(s+1)β? -(s+α)2F(s) =s+1s+1[(s+α)’+ β"]?$+1e-"(21-1)F(3)e-②已知f(1)的象函数F(s)=5?-S+1求e-3 f(2t-1)的象函数。"f(t)- F(s)2204J(21) -FG)3? +4s+7(2r-1)= 12(-1FGe
4 : . ( ), (0 )+ 应用 a已知F s 只要知道 f 和 b. 可检验 F (s)是否正确 f (∞) 定理成立条件: t lin → ∞ f (t)存在 , (0 ) ? 1 : ( ) = f + = s 例：已知 F s 求 (0 ) lim ( ) lim ( ) 1 0 = = = → →∞ + + f f t sF s t s ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 f t ↔F s f t ↔F s 六. 卷积定理 ( ) ( ) 2 1 L[ ( ) ( )] 1 2 1 2 f t ⋅ f t = F s ∗F s π L[ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 2 1 2 f t ∗ f t = F s F s 例: 利用常用函数的的象函数及拉普拉斯 变换的性质，求下列函数的拉普拉斯变换。 ① [ ( )− ( −2)] − e t t t ε ε ( ) ( 2) 2 ( 2) = − − − − − − e t e e t t t ε ε 1 1 1 ( ) 2 2 + − ⋅ + = − − s e e s F s s 1 1 2( 1) + − = − + s e s ② 2 2 cos( ) β β + ⇔ s s t 2 2 ( ) cos( ) α β α β α + + + − ⇔ s s e t t ) ( ) cos( ) ( 2 2 ′ + + + − − ⇔ α β α β α s s te t t 2 2 2 2 2 [( ) ] ( ) α β β α + + − + = s s f (t) ⇔ F(s) ∴ ) 2 ( 2 1 (2 ) s f t ⇔ F ② 求 的象函数。 已知 的象函数 ， (2 1) 1 1 ( ) ( ) 3 2 − − + = − e f t s S f t F s t 2 ) 2 ( 2 1 )] 2 1 (2 1) [2( s e s f t f t F − − = − ⇔ 2 3 3 ) 2 3 ( 2 1 (2 1) + − − + − ⇔ s t e s e f t F 2 3 2 1 2 3 ) 2 3 ( 1 2 1 + − + + − + = × s e s s 4 7 2 2 2 3 + + = + − s s e s
当m<n,F(s)为有理真分式S5-3拉普拉斯逆变换分解I ro+P F(s)e"ds(0)=2%)0-m一．查表法：从变换表或数学手册直接查得.极点和零点二、部分分式法零点通常F()具有如下的有理分式形式：A4(s)_ ms"+a.-s"+.a,s+aoF(0)--++h极点a,b,为实数, m,n为正整数。2.F(s)的极点为单实根k =(s - S)F(s) s=siA(s)同理 k, =(s - s,)F(s)s=siF()=b.(s-s)(s-s2)(s-s,)故: f(t)=(ke'*+ke +.+k,e")u(t)由代数理论k+k++k.s-stts-s2S-Sn2s +=0.6k -(s+5)F(s)-- 2s+1" s(s + 2)例1. 求F(s)=一的逆变换s(s + 2)(s + 5)0-{+05e*-0.- )（解：极点： S,=0,s2=-2,53=-53.极点含共轭复数根F(s)=+k,+$+2+$+5AQF()=D(ols+a) +β?s+k = F(0) (+2($+5)0 101.142s+1=Ts+a-jp+a+i (+2)()-+)-0
5 §5-3 拉普拉斯逆变换 F s e ds j f t st j j ( ) 2 1 ( ) ∫ + ∞ − ∞ = σ π σ 一. 查表法: 从变换表或数学手册直接查得 二. 部分分式法 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) b s b s b s b a s a s a s a B s A s F s n n n n m m m m + + + + + + + + = = − − − − " " ai ,bi 为实数，m,n为正整数。 通常F( )s 具有如下的有理分式形式: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n n m m b s p s p s p a s z s z s z B s A s F s − − − − − − = = " " 分解 零点 极点 z1 ,z2 ,z3"zm是A(s) () = 0的根,称为F s 的零点 p1 , p2 , p3"pn是B(s) () = 0的根,称为F s 的极点 当m< n,F(s)为有理真分式 1. 极点和零点 2. F(s)的极点为单实根 ( )( ) ( ) ( ) ( ) m 1 2 n b s s s s s s A s F s − − − = " 由代数理论 n n s s k s s k s s k − + + − + − = " 2 2 1 1 : ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f t k e k e k e u t s t n s t s t n 故 = + +"+ 1 ( ) ( ) 1 1 s s k s s F s ∴ = − = i i i s s k s s F s = − = 同理 ( ) ( ) 例 求 的逆变换 ( 2)( 5) 2 1 1. ( ) + + + = s s s s F s : : 0 , 2 , 5 解 极点 s1 = s2 = − s3 = − 2 5 ( ) 1 2 3 + + + = + s k s k s k F s 10 1 ( 2)( 5) 2 1 ( ) 1 0 0 = + + + = s= = s= s s s k sF s 0.5 ( 5) 2 1 ( 2) ( ) 2 2 2 = + + = + s = − = s = − s s s k s F s 0.5 0.6 ) ( ) 10 1 ( ) ( 2 5 f t e e u t − t − t = + − 0.6 ( 2) 2 1 ( 5) ( ) 3 5 5 = − + + = + s=− = s=− s s s k s F s 3. 极点含共轭复数根 ( ) ( ) ( )( ) [ ] 2 2 D s s α β A s F s + + = ( ) ( )( ) s α β s α β F s j j 1 + − + + =
共轭极点出现在-α±jβ= 2e-"[Acos(βt)- Bsin(βt)]K,=A+jBK,=A-jB=K,ks+k,另一种方法：配方法F()=(s+a) +βk,s+k,F()=(s+a) +βs+αB.kik-ak..= (s+a) + βB(s+α)+β"F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法(kcos in利用小s(0++aBp-atco(p0l-p++a$+3s+ 3=(ss)F(0(+)(6+1+2)+-+/2 =-0.25- j0.2例2. 已知F()=(5+1)(+2$+5)求逆变换k, =k =-0.25+ j0.25极点 : S, =-1 S, =-1+ j2 s, =-1- j2:f(t)=[0.5e+2e-(-0.25cos2t+0.25sin2t)u(tkkK解法Fo)-年+s1-p*s+1+/2ks+k,+k解法二F(s)=-(s+1)*+2+$+1s+3[-(-)oMk,=0.5
6 共轭极点出现在 −α ± jβ ( ) . j j 1 2 + + + + + − = s α β K s α β K F s ( ) () s α β K s α β F s j j 1 = − + = + − ( ) β F α β 2 j j 1 − + = ( ) () s α β K s α β F s j j 2 = − − = + + ( ) β F α β 2 j j 1 − − − = 可见K1 ,K2成共轭关系： K1 = A+ jB * 2 1 K = A − jB = K K1 = A+ jB * 2 1 K = A− jB = K ( ) + + + + − = − s α β K s α β K f t L j j 1 1 2 C ( ) α t jβ t jβ t K K − − = e e + e * 1 1 [A ( )t B ( t)] α t = 2e cos β − sin β − 另一种方法：配方法 2 2 1 2 ( ) ( ) +α + β + = s k s k F s c F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法 [ ] ( ) [ ] ( ) 2 2 2 2 ( ) e cos ( ) e sin β α α β β α β β α α + + + = + + = − − s s L t s L t t 利用 t 2 2 2 1 ( α) β β β α + + ⋅ − + s k k 2 2 1 ( ) k s s ⋅ + + + = α β α 2 2 1 2 ( ) ( ) +α + β + = s k s k F s c e t k k f t k e t t t c β β α β α α ( ) cos sin 2 1 1 − − − = + : 1 1 2 1 2 1 2 3 极点 s = − s = − + j s = − − j 2 1 4 2 2 5 3 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 = = + + + = − s= s =− = s =− s s s k s s F s 例 已知 , 求逆变换 ( 1)( 2 5) 3 2. ( ) 2 + + + + = s s s s F s 1 1 2 1 2 ( ) 1 2 3 s j k s j k s k F s + + + + − + + 解法一 = 0.25 0.25 ( 1)( 1 2) 3 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 1 j s s j s k s s F s s j s j =− − + + + + = − =− + = =− + 0.25 0.25 3 2 k = k = − + j ∗ f (t) [0.5e 2e ( 0.25 cos 2t 0.25 sin 2t)]u(t) t t ∴ = + − + − − k3 = 0.5 ( 1) 2 1 ( ) 3 2 2 1 2 + + + + + = s k s k s k 解法二 F s
通分后分子：(k,+k)s+(k,+k,+2k)s+k,+5k,=$+34.F(S)包含重极点1比较系数：0k,+k,=13解之k, = 0.5k, = 0.5求ki，方法同第一种情况：0.5s+0.5↓ 0.5kt=(s-p,)*F(s)lp. F()=+1++2+$+1.0.5 +0.5± 0.5求其他系数，要用下式5+12(-0.5)+(3+1) +2)" (s+1)° +2s +1k=(s-P) F(o)i=1,2,3,..f(t)= (-0.5e cos 2t + 0.5e- sin 2t+ 0.5e")u(t)如何求k？e-2(s+3)例4 已知F(s)：,求f(t)s+3复茗(t)-28ε(t-2)e~2(s$+3)e-3 g(t - 2)S+3f(0)= L-'[F(s)]=e-"e(t-2)
7 : ( ) ( 1 2 2 3 ) 2 5 3 3 2 通分后分子 k1 + k3 s + k + k + k s + k + k = s + : 0 1 3 比较系数 k2 + k3 = 0.5 0.5 解之 k1 = − k2 = 1 0.5 ( 1) 2 0.5 0.5 ( ) 2 2 + + + + − + ∴ = s s s F s 1 0.5 2 0.5 0.5 ( 1) 2 2 ( 0.5) ( 1) 2 1 2 2 2 2 + + + ⋅ + + − + + + + = s s s s f (t) ( 0.5e cos 2t 0.5e sin 2t 0.5e )u(t) − t − t − t = − + + 1 1 12 1 11 1 ( ) ( ) ( ) ( ) − − + − = − k k k s p k s p k s p A s 1 1 2 1 1( 1) ( ) s p k s p k k k − + − + + − " 求k11，方法同第一种情况： 求其他系数，要用下式 1 ( ) ( ) 11 1 s p k k s p F s = = − s p F s i k i s k s p k i i i [( ) ( )] 1,2,3," d d ( 1)! 1 1 1 1 1 1 − = − = = − − 4. F(S)包含重极点 1 [( ) ( )] d d 2, k12 1 s p k s p F s s i 当 = = − = ( ) ( 2)( 1) 3 ( ) 2 2 f t s s s 例 ：设F s ，求 + + = 2 1 2 3 2 1 ( 1) F(s) + + + + + = s k s k s k 解： 4 ( 2)( 1) ( 2) 2 2 2 1 = + + = + s=− s s s k s 1 ( 2)( 1) ( 1) 1 2 2 2 3 = + + = + s=− s s s k s 如何求k2 ? 3 ( 2) 2 ( 2) d 2 d 1 2 2 1 2 = − + + − = + = s=− s=− s s s s s s s [ ] 1 2 2 ( 1) ( ) d d =− = + s s F s s k 2 ( 1) 1 1 3 2 4 ( ) + + + − + + = s s s F s ( ) [ ] ( ) 4e 3e e ( 0) 1 2 = = − + ≥ − − − − f t L F s t t 所以 t t t , ( ) 3 4 F(s) 2( 3) f t s e s 例 已知 求 + = − + s t 1 ε ( ) ⇔ s e t 2s ( 2) − ε − ⇔ 3 ( 2) 2( 3) 3 + − ⇔ − + − s e e t s t ε ( ) [ ( )] ( 2) 1 3 = = − − − f t L F s e t t ε
85-4用拉普拉斯变换分析线性电路和系统例1. 某LTI连续系统的微分方程为用拉普拉斯变换分析线性系统y"(t)+3y(t)+2y(t)=2f'(t)+6f(t)房1.列出系统的微分方程(微分一积分方程)已知输入()=m(1),初始状态(0_)=2, (0~)=1.求送2.应用拉氏变换性质，转换为算子代数方程系统的全响应3. 求出响应的象函数解：对微分方程取拉氏变换4，反拉氏变换（逆变换），求响应Y()-S(0.)-y(0.)3s Y(S)-3(0_)+2Y(S)-2sF(S)+6F(s)微分方程代数方程即 (° +3$+2)(5){5(0)+y(0_)+3y(0.)=2($+3)F()L厦频域解时域解F(0)-→ (0)=1, J(0.)=2解：对微分方程取拉氏变换2s°+9s+6_3+12整理:Y(S)=s(s+1)(s+2)"+$+1s+2(s)S)(0.)(0.)+3s ()3)(0)+2()=2sF(S)+6F(0)(0)=L-[Y(s)]-(3+e-- -2e-2')(0)即 (°+38+2)()1g(0_)+(0)+3(0_)=2($+3)F(0)整理:(2+)()+I5(0)+(0)+3(例2．某LTI连续系统的微分方程为$+3s+2y"(t)+3y(t)+2y(t)=2 f'(t)+6f(0)_26+3)F(2+9(0)+()+30) ,(0)+Y,()已知输入f(t)=u(t),初始状态y(0_)=2,y(0_)=1. 求5°+3s+2+3s+2系统的零输入响应、零状态响应， F-2(s+3)54Y,(s)=+3s+2Y(s)= (0.)+(0.)+3(0.)2s+7二，复频域形式的拓扑约束s*+3s+2(s+1)(s+2)Z i(t)= 01. KCL53两边取拉氏变换=$+1$+2((0)]=2[(]-1(s)y(0)=L-[()]=(5e--3e-2")u(0)ZI(s)=0yy ()=L-[f(0)]=(3-4e- +e-" u(0)
8 §5-4 用拉普拉斯变换分析线性电路和系统 一. 用拉普拉斯变换分析线性系统 1. 列出系统的微分方程(微分－积分方程) ２. 应用拉氏变换性质，转换为算子代数方程 ３. 求出响应的象函数 ４. 反拉氏变换（逆变换），求响应 方 法 时域解 复频域解 微分方程 代数方程 -1 L L 例1. 某LTI连续系统的微分方程为 y′′(t) + 3 y′(t) + 2 y(t) = 2 f ′(t) + 6 f (t) . ( ) ( ), (0 ) 2, (0 ) 1. 系统的全响应 已知输入f t = u t 初始状态y − = y′ − = 求 解: 对微分方程取拉氏变换 ( ) (0 ) (0 ) 3 ( ) 3 (0 ) 2 ( ) 2 ( ) 6 ( ) 2 s Y s − sy − y′ + sY s − y + Y s = sF s + F s − − − 即 ( 3 2) ( ) [ (0 ) (0 ) 3 (0 )] 2( 3) ( ) 2 s + s + Y s − sy + y′ + y = s + F s − − − , (0 ) 1, (0 ) 2 1 ( ) = y′ − = y − = S F s 2 2 1 3 1 ( 1)( 2) 2 9 6 ( ) 2 + − + = + + + + + = s s s s s s s s 整理: Y s ( ) L [ ( )] (3 2 ) ( ) 1 2 y t Y s e e u t − −t − t = = + − 例2. 某LTI连续系统的微分方程为 y′′(t) + 3 y′(t) + 2 y(t) = 2 f ′(t) + 6 f (t) . ( ) ( ), (0 ) 2, (0 ) 1. 系统的零输入响应、零 状态响应 已知输入 f t = u t 初始状态 y − = y′ − = 求 解: 对微分方程取拉氏变换 ( ) (0 ) (0 ) 3 ( ) 3 (0 ) 2 ( ) 2 ( ) 6 ( ) 2 s Y s − sy − y′ + sY s − y + Y s = sF s + F s − − − 即 ( 3 2) ( ) [ (0 ) (0 ) 3 (0 )] 2( 3) ( ) 2 s + s + Y s − sy + y′ + y = s + F s − − − 3 2 2( 3) ( ) [ (0 ) '(0 ) 3 (0 )] ( ) 2 + + + + + + = − − − s s s F s sy y y 整理:Y s 3 2 (0 ) '(0 ) 3 (0 ) 3 2 2( 3) ( ) 2 2 + + + + + + + + = − − − s s sy y y s s s F s Y (s) Y (s) = f + x 2 1 1 5 4 ( 1)( 2) 2( 3) ( ) 3 2 2( 3) ( ) 2 + + + = − + + + = + + + = s s s s s s s F s s s s Y s f ( 1)( 2) 2 7 3 2 (0 ) '(0 ) 3 (0 ) ( ) 2 + + + = + + + + = − − − s s s s s sy y y Y s x 2 3 1 5 + − + = s s ( ) L [ ( )] (5 3 ) ( ) 1 2 y t Y s e e u t t t x x − − − = = − ( ) L [ ( )] (3 4 ) ( ) 1 2 y t Y s e e u t t t f f − − − = = − + 二. 复频域形式的拓扑约束 1. KCL ∑ i(t ) = 0 两边取拉氏变换 L[∑i(t)] = ∑ L[i(t)] = ∑ I(s) ∑ I(s) = 0
2.C电容元件ZU(S)=0()2.KVL商礼馆u三、 复频域形式元件特性约束U.(s)1=c41.R元件Ir(S)R-iRRUr(s)UR二：算子容抗UR=RiRDO-RO"(0-):初始条件的等效电源电源3.L电感元件四。 线性电路复频域分析举例」古尹新步②画出算子电路（运算电路)(S域电路模型),(S) = SLI,(G) Li(0.)③求出响应象函数（方法同正弦稳态）④反拉氏变换求响应SLL(0.)SL:算子感抗m0ui(s)Li(0_):等效电源200_5A解： ①1(0)-R+R4%2. 举例例1.u,(0_)= 100 VI=0)m②画算子电路u.oR300-0.1200已知：u。(0_)=100Vu,=200VR, = 3002R,=1002L=0.1HC=10-"F③用回路法求I;(s)求i;(t)=?(3+1+01),102+05
9 2. KVL ∑ U (s) = 0 三. 复频域形式元件特性约束 1. R元件 iR R - + uR IR(s) R U (s) - + R U (s) RI (s) R = R uR = RiR dt du i C c c = 2. C电容元件 ic C - + uc (s) c I s uc(0 ) − U (s) - + c + - sc 1 : 算子容抗 1 sc 初始条件的等效电源电源 − − : (0 ) s uc →U sc I s s u s c c c (0 ) ( ) ( ) = + − i d c u u t c c c ( ) 1 (0 ) 0 = − + ∫ − τ τ 3. L电感元件 iL L - + uL dt di u L L L = U ( ) ( ) (0 ) = − Li − s SLI s L L SL: 算子感抗 LiL (0− ): 等效电源 (s) LI (s) - L + u sL − + (0 ) Li - 四. 线性电路复频域分析举例 1. 分析步骤 (0 ), (0 ) L − c − ①求i u ②画出算子电路(运算电路)(S域电路模型) ③求出响应象函数(方法同正弦稳态) ④反拉氏变换求响应 2. 举例 例1. L + - - + R1 i (t) k(t=0) L Us uc c R2 已知 : uc (0− ) = 100V us = 200V R1 = 30Ω R2 = 10Ω L = 0.1H C F3 10− = 求iL (t) = ? A R R u i s L 5 40 200 : (0 ) 1 2 = = + 解 ① − = uc (0 − ) = 100V ②画算子电路 0.1s + - - + 30Ω 1 I I (s) L S 200 S 3 10 10Ω S 100 2I − + 0.5 I (s) ③用回路法求 L 0.5 200 (30 10 0.1s) 10 + + 1 − 2 = + S I I
五．系统的s域框图+101,=5100-101, +(10+①比例函激y(t) = kf(t)5(s° + 700 s + 4×10)K(s)=kF(sI (s) = I,(s) =s(s+200)②积分环节白ey(0)-jr(t)dsksk,k+零状态(s+200)s+200E10k,=5, k,=1500, k=00-90③微分环节④反拉氏变换dt1 ()=(5 +1500 te-20 ) (t)(A)s(s) = sF(惯性环节OF左端加法器输出例1：某LTI系统的时域框图如图所示，已知输入5X(s)--3X(0)-2X(S)+F(0)f(t)=u(t),求冲激响应h(t)和零状态响应y,(t)即(s2 +3s+2)X(s)= F(s)右端加法器输出Y,(0) = $X()+3X()=($+3)X()消去X(s),得解：画出系统的S域框图$+3Y,0-,F(0)Br(S)F()G$+31系统函数H(0)-+35+2"$41-s+2冲激响应h(t)=(2e"-e-")(t)例2系统如图所示，已知当f(t)=ε(t)时, 响应y (t)=(1- 5e-" + 5e-3")e(t)由于F(0)-;，求系数a、b、C。5+312/321/2()=H()F(0+3+2*s+1+s+22x(s)国国X(sc7故 y,(0)=G-2e~+e")n(0)OYS)+
10 2 2 4 1 ( 200 ) 5( 700 4 10 ) (s) (s) + + + × = = s s s s I I L ( 200 ) 200 3 2 1 2 + + = + s k s k s k 5, 1500 , 0 k1 = k2 = k3 = ④反拉氏变换 ( ) (5 1500 ) ( ) ( ) 200 i t te u t A t L − = + S I S I 100 ) 10 -10 (10 2 3 1 + + = 五. 系统的s域框图 Y(s) = kF(s) F(s) Y(s) K ①比例函数 f(t) y(t) K y(t) = kf (t) f(t) y(t) ∫ y(t) f( )d t 0 ∫ = τ τ (s) 1 ( ) F s Y s = F(s) Y(s) 1 S Y (s) Y(s) = sF(s) F(s) S ③微分环节 dt df (t) f(t) 微 y( t) y(t) = 分 ②积分环节 零状态 (s) 1 ( ) F Ts k Y s + ④惯性环节 = F(s) K Y(s) TS+1 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 f t u t h t y t LTI ，求冲激响应 和零状态响应 f 例 ：某 系统的时域框图如图所示，已知输入 = 解： 画出系统的S域框图 Σ y (t) f f (t) + - Σ + + 3 2 - ∫ ∫ x"(t) x'(t) x(t) 1 Σ Y (s) F (s) f + - Σ + + 3 2 - s 1 s 1 ( ) sX (s) X (s) 2 s X s 1 3 左端加法器输出 ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) 2 s X s = − sX s − X s + F s 3 2) ( ) ( ) 2 即 （s + s + X s = F s 右端加法器输出 Y (s) sX(s) 3X(s) (s 3)X(s) f = + = + 消去X(s),得 ( ) 3 2 3 ( ) 2 F s s s s Y s f + + + = 系统函数 2 1 1 2 3 2 3 ( ) 2 + − + = + + + = s s s s s H s 冲激响应 ( ) (2 ) ( ) 2 h t e e u t −t − t = − s 1 由于 F(s) = 2 1 2 1 1 2 3 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) 2 + + + × = − + + + = = s s s s s s s Y s H s F s f ) ( ) 2 1 2 2 3 y ( ) ( 2 f t e e u t −t − t 故 = − + 例2 系统如图所示，已知当 f (t) = ε (t) 时，响应 ( ) (1 5 5 ) ( ) 3 y t e e t t t f ε − − = − + ，求系数a、b、c。 1/s 1/s Yf (s) F(s) + + + + + a b c 1 ∑ ∑ x(s) s2x(s)