振动 与波动
1 振动 与波动
第一章振动 vibration (自学后的小结)
2 第一章 振动 (vibration) (自学后的小结)
简谐振动 简谐振动是小振幅实际P 振动的理想化模型 例.双原子分子 两个原子之间的振动 1定义: E (1)弹性力F=-kx (2)运动学方程x=Acos(at+p) (3)动力学方程 d2x 2=-X (4)能量特征 E E=E+e =const. 3
3 一 .简谐振动 1.定义: (1)弹性力 (2)运动学方程 (3)动力学方程 (4)能量特征 简谐振动是小振幅实际 振动的理想化模型 . E r 0EP 例. 双原子分子 两个原子之间的振动 F = −kx x dt d x 2 2 2 = − x = Acos( t + ) . 21 2 E E E const E kx P K P= + = =
2特征量 (1角频率onk系统的固有性质(单性惯性) m与初始条件无关,与振幅无关! 2E (2振幅AA=1x2+2 或 0 (3)初相 p tanp X φ与何时开始计时有关! 位相差与时间差的关系 00 2 △p △ φ:0兀/2π
4 2.特征量 (1)角频率 m k = 系统的固有性质(弹性,惯性) 与初始条件无关,与振幅无关! x 与何时开始计时有关! t 0’’ T t 0 0 ’ : 0 /2 位相差与时间差的关系： t T = 2 0 0 tan x v (3)初相 = − 2 2 0 2 0 v A = x + k E A 2 0 (2)振幅A 或 =
作简诸振动的物体,其速度,加速度 也有简谐振动的特征 x=Acos(at+o) = Ao cos(t++x)或落后z 2 a=Aa2cos(ot+p+x)或落后兀 3.表示法 (1)解析法 OA A 0 t=0 (2)曲线法 v a (3)旋转矢量法
5 作简谐振动的物体，其速度，加速度 也有简谐振动的特征 cos( ) ) 2 cos( cos( ) 2 = + + = + + = + a A t v A t x A t 或落后 2 3 或落后 3. 表示法 (1)解析法 (2)曲线法 (3)旋转矢量法 A t x0 =0 v a 2 A A t x x t 0
4.同一直线上同频率SHM的合成 (1)两个:例x1=A1cos(at+y) x,=A, cos(at +o) 合成仍为SHMX=Ac0s(Ot+中) 重要的特例:同相-n=2k丌(k=0土1,+2…) 反相女-p=(2k+1)兀(k=0,±1,±2…,) (2)n个:振幅相等,初相依次差常量δ acos x,=acos(ot+8 x a=a cos(at+28) x=acoslot+(n 1)6
6 4. 同一直线上同频率SHM的合成 (1)两个: 例 cos( ) cos( ) 2 2 2 1 1 1 = + = + x A t x A t 合成仍为SHM x = A cos( t + ) 重要的特例: 同相 1 2 2 1 1 2 2 1 (2 1) ( 0, 1, 2 ) 2 ( 0, 1, 2 ) A A A k k A A A k k → = − − = + = → = + − = = 反相 (2) n个: 振幅相等,初相依次差常量 cos ( 1) cos( 2 ) cos( ) cos( ) 3 2 1 = + − = + = + = x a t n x a t x a t x a t n
合成(仍SHM)x=Ac0s(Ot+) sIn A= a A SIn 6282 n δ n-1 重要的特例: 2 (1)各分振动同相 即=2k兀(k=0,土1,2…) 用洛必达法则可得A=ma
7 合成 ( 仍SHM) x = A cos( t + ) 2 1 2 sin 2 sin − = = n n A a o a A 重要的特例: = 2k (k = 0,1,2) 用洛必达法则,可得 A = na (1)各分振动同相 即
(2)各分振动的初相差 2k兀 (k’为不等于nk的整数) 这时A=0封闭多边形! 例.n=4时k=(0),1,2,3,(4),5,6,7 k′=2 k′=3 5.同一直线上不同频率SHM的合成
8 (2)各分振动的初相差 n k , 2 = , ( k 为 不 等 于 nk 的整数) 这时 A = 0 封闭多边形! 例. n=4 时 k , = (0),1,2,3,(4),5,6,7 k=1 k=3 k=2 5. 同一直线上不同频率 SHM 的合成
例.x1=Ac0s(,t+p) x,=acos(,t+o) 合成为 x=x,tr2 =2AcOS t cos 02+0t+y 2 变化慢 变化快 起调制作用) 重要特例:若o1,02均较大,而差值较小,则合振动 的振幅时而大,时而小,称为“拍” 拍频v=v2-v(可测频,或得到更低频振动)
9 例. cos( ) cos( ) 2 2 1 1 = + = + x A t x A t 合成为 + + − = = + A t t x x x 2 cos 2 2 cos 2 1 2 1 1 2 变化慢 变化快 (起调制作用) 重要特例: 若 1， 2 均较大，而差值较小，则合振动 的振幅时而大，时而小，称为“拍”。 拍频 拍 = 2 − 1 （可测频，或得到更低频振动）
6.相互垂直的SHM的合成 (1)同频率x=Acos(ot+n) y=A2cos(t+中2) 轨迹的旋转矢量作图法: 以女2一1=x/4为例(补图) y位相领先,则为右旋! X位相领先,则为左旋! △p=2-=士死4则为斜椭圆 △小=φ2-的1=±z 2 则为正椭圆 △=2-=士y 2 而且A1=A2则为圆 10
10 6. 相互垂直的 SHM 的合成 (1) 同频率 cos( ) cos( ) 2 2 1 1 = + = + y A t x A t 轨迹的旋转矢量作图法: 以 2 −1 = 4 为例 (补图) y 位相领先,则为右旋! x 位相领先,则为左旋! 4 2 1 = − = 则为斜椭圆 2 2 1 = − = 则为正椭圆 2 2 1 = − = 而且A1 = A2 则为圆