第九章载流子的散射 在这一章中我们进一步讨论半导体中各种散射机制,主要是 各种类型的晶格散射和电离杂质散射.多年来由于在这个领域中 大量的实验研究和理论研究工作,人们对半导体中各种散射过程 的认识得到了显著的深化、尽管仍然还有许多问题有待进一步解 决,但在不少情形下已经能够对各种输运参量进行定量计算这 章中我们将导出各种情形下的跃迁几率和弛豫时间,并主要通过 对迁移率的讨论来说明它们在各种半导体中的作用.但即使是对 于迁移率的讨论,也只是主要通过采用简单模型进行(具有球形等 能面的抛物性带、非简并统计略去载流子的屏蔽作用等考虑各 种实际因素通常将要求复杂的计算,以致于数值计算),以达到说 明各机制的主要性质的目的 我们将从一般讨论载流子由一个状态散射到另一状态的跃迁 几开始 §9.1跃迁儿率 任何偏离理想周期势的附加都可引起载流子的散射.为要 利用式(4-A2-16)和(4-42-17)计算散射率和弛像时间,必须 首先得到在附加势V(x,)的作用下载流子由一个状态k跃迁到 另一状态k的几率W(k,k).它代表单位时间内由k向k跃迁 的次数 497
跃迁几率 下面通过解含时间的薛定谔方程得到跃迁儿率 Hx,t)访驴(x,B 式中哈密顿最l可表示为 ∥=I(x,t) (9-1 共中H为无微扰时的哈密顿量.设驴(x)为I的能量本征值 为Ak的本征函数,即有 Hk(x)=和k(x)中k(x) (9-1-3 可把含时间的波函数ψ(x,表示为本征函数的叠加 p(x,t)=∑a秒k(x)e 我们先考虑微扰势不随时间变化的情形,适川于晶格缺陷的 散射(假设在散射过程中缺陷的状态不发生改变),将上式代人式 (9-1-1)并利用(9-1-2)和(9-1-3),可得 (x)中 de 中(x) tob c de (9-1-5) 上式两边各乘以妒e1“,对x积分,利用yk(x)的正交性可得 aPiV(x)*rdx (9-1-6 对dak'/求积分,可得 ,(t) k'k ake (9-1-7) 式中矩阵元M4a为 Mk-|中中dx一的(x)hx(9-1-8) 第二步利用了(9-1-2)和(9-1-3)并考虑到k的正交性.对于入
射电子波矢为取的情形,可令(9-1-6中ak=1,其余系数为砖.可 以求得 ( (t) k (91-9) ak(t)代表t时电子处于状态k′的儿率.跃迁几率W(k,k') 可表示为d]ak(t)2/t W(k,k2)=2a(t)12=21Mk2sin(=) (9-1-10) 当t为有限值时,如okt-ok→>0,函数sin(ok-0k)t/(ok-k) →>E.当(an-0k)=士丌时,下降为零.当t足够长时它具有δ 函数的性质.可以证明 sin(ak-ωh)t d(ok--OR) (9-1-11) 即在足够大叶, sin ot 可以看作♂函数.于是式(9-110)可 以改写作 W(k,k)=2!Mkk|28 列k'k28(ωk一hk)(9-1-12) 第二步利用了δ函数的性质δ(ax)8(x)/a.上式称为第黄金 法则.如上所述,只是在t冠够大,即碰撞之间的自由时间足够长 时,上式才能成立,上式说明,跃迁前后能量不发生变化,即为弹 性散射 另一种重要的情形是微扰勢以简谐的方式依赖于时间.例如, 在格波散射的情形下,波矢为q的格波所产生的附加势具有以下 的形式 (x,)=4(q)e( A_(q) (9-1-13 499·
式中 g) q (9-1-14) 该微扰势以角颊率ω随时间变化,将该附加势代入式(9-1-5),重 复式(9-1-6)—(9-1-7)的计算,代替式(9-1-7),得到 ((a (9-1-15) j式(9-1-7)相比,只是用因子exp[i(ok-0ka)代替了 e;pi(ehk'-ok)t7,Mx'k仍由式(9-1-8)给出,其中V(x)为 (9-1-13)中不含时间的部分,可以得到 W(kk)=2x1MM4(Aa一02-Aq)(9-1-16 矩阵元Mkk 由式(9-1-8)可见,矩阵元Mkk取决于波函数和微扰势 V(x).对于与时间无关的V(x),可将其展升为傅里叶级数 ∑[A(q)exp(iq…x)] q为载流子的允许k值之差.系数A(q)可由下式得到 A(q) V(Me*dx (9-1-18) 式中V为晶体体积.将式(9-1-17)的V(x)及丌(x)=ekx (x)代入式(9-1-8)可得 M“=[A(q)*y (x)uk(x)d A(k-k)af,(x)uk(x)d =ACk'-kIk'k (9-1-19) 第二步考虑到了expi(k+q-k)·x]的周期性,只有当k+q k,即q=k’-k时积分才不为零.式中lkk为 00
I2'k=ut()uk()dx 称为重叠积分,对于抛物性带,在带底附近通常vk'、tk差异很小, 波函数可用平面泼近似,a:2k、可得=1,于足有 Mkk=A(k'-k) (91-21) 即竽于微扰势的q-'一k的傅里叶系数.我们看到,在§4.2中 开始提到的有效散射对附加势线度的要求(~电子波长的数 量级)正体现在与电了波数k具有相同数级的q的傅里系数 的大小上. 对于随时间简谐变化的微扰二式(9-1-13)可以得到 L'A(q)(,,k+g 9-1-22) 式(91-16)和式(9-1-22)说明,只有当 k'=kia (9-1-23) ok=我ktha (9-1-24) 满足时跃迁几率才不为苓.体现了动量守恒和能量守恒的要求 两式说明在载流子和与之相互作用的振动系统之间要发生动量和 能量交换.对于格波的情形,这意味着载流子在跃迁过程中吸收 (“4”号)或发射(“一”号)声子,考虑到所有振动模,式(9-1-22) 可写作 1 MKk==|A(k'k) (9-1-25) 式(9-1-12)、(9-1-16),(9-1-21)和(9-1-25)是计算散射几率的基 础 (*)对于非抛物性显著的带l*小于l. 50I
§9.2屏蔽库仑势和电离杂质散射 在§42中我们对电离杂质散射己经进行过初步讨论.在这 节中我们进一步考虑自山载流子的屏蔽作州 屏蔽库仑势 在§4.2中曾经指出,晶体中的自由载流了对电离杂质屮心 有屏蔽作用.在没有任何附加势的晶体中,自由载流子是均匀分 布的.电离中心的电荷引起的附加势使载流子在荷电中心附近偏 离该均匀分布.对于n型导电的情形,电千在荷电的电离施主 附近有较低的势能,因此有较高的浓度.如果离电离中心很远处 载流子浓度为n,则在中心附近有 Rn已 (9-2-1 V(r)为中心引起的附加势.由之引起的附加电荷密度为 elr(r)--20]=-enole k,i (92-9) 第…步考虑到在屏蔽效应较为重要的范围内有|eⅣ水kT,因而 有exp(e/k)≌1eV/k 求解球对称泊松方程: [rV(r) p(r) (9-2-3 代入式(9-2-2)的p,整理后可得 d-lrv(r)]eRo[rI(r)] irv(r)] (9-2-4) 式中L为德拜长度,即( eost/e2n)1,上式的解为 v(r)=Ae (9-2-5) 502
在→>0时,(r)应趋「库仑势-ze/4xe.因此可得以下屏蔽 库仑势 Z seear 由于因子et,在》LD时电离中心的库仑势基本上被屏菠. 述屏蔽库仑势又称为汤川势.对于ε=16,T=100K,no=1016 cm-3,可得LD=280A,大致等于离子平均间距的半.但当穀= 108cm-时,Lp约为28A,只有平均离子间距的1/4左右 傅里叶系数 求得屏蔽库仑势,只要求得它的傅里叶系数即可得到矩阵元 M*k(式(9-1-8).由式(9-1-18)可得 V(re-1q*dxc (9-2-7) 令 q (9-28) Xia (9-2-9) 并将d￥换为r2 single'dq'r,得 V(r)rdrl dop p(- tacos0)sin′d6e -4t V(r)r V(r)r s】n dr (92-10) 在下面的讨论中假设电离杂质之间的间距足够大,且为无规则分 布,因此各中心可以看作彼此弧立.假设在华积矿中只有一个电 离中心,代入式(9-26)的V(?)可得 503
Z singer eEof D 1 vee q2+·L 与普通库仑势的傅里叶系数·Ze2/veoq2(可由令上式中L→2 得到)相比,增加了-个系数q3/(2iL。-2).载流子的屏蔽作用 对于其它散射势的傅里叶系数的影响与此相似 Ehrenreich讨论了载流子对极性光学波散射势的屏蔽[),这 种影响也可归结为乘以因子q2/(q2L2) 弛豫时间和迂移率 由式(4-A2-16),代入式(9-1-12)的W(k,k'),可求得微分散 射几率P(∈,6)为 P(s,0)=7×M41260,-)k"以 2丌 方 4k'k!2g(∈) Fmk (2x)2t H, 这里g(∈)代表单位体积态密度我们注意到,散射几率正比于与 电子能量对应的态密度(不计入两种自旋).在非弹性散射情形下, 容易看出这里应是终态态密度,即g(e)应9(∈士Aa代替.以 式(9-2-11)的A(q)代替Mkk可以得到 Mxs=v2k一kD)x 72e (9-2-13) ·(2Ln) 504
第二步利用了一k!:2ksin(0/2),由式(4-A2-17)可得 P(∈,0)(1-cose)d Vm l (2x)1M2k12(1-co0)d 代人式(9-2-13)的!Mxk}2,经积分后可得 8(edom) (1+2)-B2/(1+B2) 这里"为载流了的速度,在得到上式时我们用1/N1代替了V,因 为前面假设了在体积中只有一个电离中心.上式中的B为 B==2ALo (9-2-16) 若略去的影响,仍有τ∞312.当电子浓度增大时,f具有较小 的值,这将导至式(9-2-15)中含β的因子增大.这正反映了载流 子的屏蔽作用 将式(9-2-15)的代入式(4-3-24非简并情形(r)的表示式 以使该式被积函数具有最大值的∈值εk=3kT代楼日中的e(将 面换为E),可得H=e(x/m为 27(2x)4/2(eo)2(kaT)3 1n(1+B2)-P2/(1+P 9-2-17 上式称为 Brooks- Herring.公式,写作实用的形式为 =4.74×103 2(①NmX2)(mk)(m) cm2/V·s] (9-2-18) (I+B2) 1P2 其中 B"2=1.510(mnY1017/cm X0) (9-2-19 式(9-2-17)的迁移率和载流子浓度的关系与 Conwell- Weisskopf
射处理[3](参看§4.2)相比,在占载流子浓度F后者偏低.对于 n型GaAs,在直到101/cm3的浓度范围内,电子迁移率的实验结 果仍可用 Brooks- Herring的理论[]说明(图9.1),但需计入简 并统计等 8000 GaAs30CK 6000 200 Nb=8×t01 NE+NA-10 n(cm 图91室温下GaAs的电子迁移率随电子浓度的变化,实线为对 不同的(N+NA)比值由针算得到的 在高载流子浓度下能带的非抛物性带来的影响可以是显蓉 的.非抛物性通常可导至终态态密度和动量有效质量”的增加,从 而使散射增强.屏蔽长度也会有所不同.波函数的形式也与抛物 性带有所不同.图9.2给出了4.2K下n-InSb的实验结果与理 论计算的比较[0虚线为假设抛物性带的计算结果.关于非抛物性 带的实线计入了非抛物性对态密度和动量有效质量的影响.由于 高载流子浓度相应于强筒并情形,此结果与室温下的相差并不显 著,只是在较高温度下声学波散射的影响有所增强迁移率随温度 对子具有球形等能面的带,动量有效质量定义为1/m=(1/h)dE,容易 证明速腱和动量有效质量m及准动量之间满足m=h,因此,在输运现象中 动量有效质量应是基本量 506·