电子工业出版社：《通信原理教程》课程PTT教学课件（第2版）第二章 信号

第二章信号 21信号的类型 211确知信号和随机信号 什么是确知信号 什么是随机信号 21.2能量信号和功率信号 信号的功率:设R=1,则P=V/R=PR=V2=P 信号的能量:设S代表V或,若S随时间变化,则写为(), 于是,信号的能量E=∫s2(0)d >能量信号:满足0功率信号的平均功率有限,但能量为无穷大

1 第二章 信号 2.1 信号的类型 2.1.1 确知信号和随机信号 ➢ 什么是确知信号 ➢ 什么是随机信号 2.1.2 能量信号和功率信号 ➢ 信号的功率: 设 R = 1, 则 P = V2 /R = I 2R = V2 = I 2 ➢ 信号的能量：设S代表V或I，若S随时间变化，则写为s(t), 于是，信号的能量 E =  s 2 (t)dt ➢ 能量信号：满足 ➢ 平均功率： ，故能量信号的P= 0。 ➢ 功率信号：P 0 的信号，即持续时间无穷的信号。 ➢ 能量信号的能量有限，但平均功率为0。 ➢ 功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。 / 2 2 / 2 1 lim ( ) T T T P s t dt → T − =  2 0 ( ) E s t dt  −  =   

22确知信号的性质 22.1频域性质 ·功率信号的频谱:设(为周期性功率信号,T0为周期,则有 1To/2 C(nOo) s(t)e Snoot 式中,a0=2/T0=2Tf0 C(inan)是复数,∴C(jnan)= Coleen 式中,Cn频率为nG的分量的振幅; On-频率为n6的分量的相位。 信号s()的傅里叶级数表示法 (t)=∑C(jna)e n=-00

2 2.2 确知信号的性质 2.2.1频域性质 ⚫ 功率信号的频谱：设s(t)为周期性功率信号，T0为周期，则有 式中，0 = 2 / T0 = 2f0 ∵ C(jn0 )是复数，∴ C(jn0 ) = |Cn |ejn 式中，|Cn | － 频率为nf0的分量的振幅；  n － 频率为nf0的分量的相位。 ➢ 信号s(t)的傅里叶级数表示法： − − = / 2 / 2 0 0 0 0 0 ( ) 1 ( ) T T jn t s t e dt T C jn   − − = / 2 / 2 0 0 0 0 0 ( ) 1 ( ) T T jn t s t e dt T C jn   − − = / 2 / 2 0 0 0 0 0 ( ) 1 ( ) T T jn t s t e dt T C jn   − − = / 2 / 2 0 0 0 0 0 ( ) 1 ( ) T T jn t s t e dt T C jn   − − = / 2 / 2 0 0 0 0 0 ( ) 1 ( ) T T jn t s t e dt T C jn   − − = T / 2 T / 2 j n t 0 0 0 0 0 s(t)e dt T 1 C(jn )     =− = n j n t 0 0 s(t) C(jn )e  

【例21】试求周期性方波的频谱 解:设一周期性方波的周期为T,宽度为v,幅度为V H0 7/2≤t<r/2 f(t) 07/2<t<(T-2 f(t)=f(t-T 00<t<o0 求频谱: z/2 /2 C(nOo) Ve TL jn@o r/2 nO/2 n@or/2 2V × × sin noo no not

3 【例2.1】 试求周期性方波的频谱。 解：设一周期性方波的周期为T，宽度为，幅度为V 求频谱： = − −          − −   = f(t) f(t T) t 0 / 2 t (T / 2) V / 2 t / 2 f(t)     2 sin n n T 2V jn e e T V e jn V T 1 Ve dt T 1 C(jn ) 0 0 0 j n / 2 j n / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 j n t 0 j n t 0 0 0 0 0                 =  − =        = = − − − − − − 

频谱图 -rInm Lm3 5

4 频谱图

例22】试求全波整流后的正弦波的频谱 解:设此信号的表示式为 f(t)=sin(m)0<t≤1 f(t)=f(t-1) <t<+o 求频谱: /2 C(noo) T o/2 s(t)e-jnoo' dt= sin( t e-j2mt dt (4n2-1) f(t) 0 信号的傅里叶级数表示式: 2 f(t) ∑ 4n2-1 5

5 【例2.2】试求全波整流后的正弦波的频谱。 解：设此信号的表示式为 求频谱： 信号的傅里叶级数表示式： = − −    + =   f t f t t f t t t ( ) ( 1) ( ) sin( ) 0 1   − − = = = − − − 1 0 2 2 / 2 / 2 0 0 (4 1) 2 ( ) sin( ) 1 ( ) 0 0 0 n s t e dt t e dt T C j n j n t T T j n t      1 f(t) t   =− − − = n j n t e n f t   2 2 4 1 2 1 ( )

●能量信号的频谱密度 设一能量信号为s(,则其频谱密度为: S(o)= s(t)e odt S(o)的逆变换为原信号: s(t)= S(o)e/odo r/a t. 【例23】试求一个矩形脉冲的频谱密度 解:设此矩形脉冲的表示式为 z/2 g(t) o>x/2 则它的频谱密度就是它的傅里叶变换: r/2 G() dt valefor/2 sin(OT/2) O/2

6 ⚫ 能量信号的频谱密度 设一能量信号为s(t)，则其频谱密度为： S()的逆变换为原信号： 【例2.3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。 解：设此矩形脉冲的表示式为 则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：   − − S = s t e dt jt () ( )   − =    s t S e d j t ( ) ( )       = 0 / 2 1 / 2 ( )   t t g t / 2 sin( / 2) ( ) 1 ( ) / 2 / 2 / 2 / 2           = = − = − − −  j t j j e e j G e dt

【例24】试求抽样函数的波形和频谱密度 解:抽样函数的定义是 sin t Sa(t) 而Sa(t)的频谱密度为: sin t 1<O≤+1 Salo) e o dt o其他处 和上例比较可知,Sa(t)的波形和上例中的G(a)曲线相同 而Sa(t)的频谱密度Sa(o)的曲线和上例中的g(t)波形相同。 【例25】试求单位冲激函数及其频谱密度 解:单位冲激函数常简称为8函数,其定义是 d(1)dt=1 (1)=0 t≠0 8(O频谱密度)=。0b=10M=1 7

7 【例2.4】试求抽样函数的波形和频谱密度。 解：抽样函数的定义是 而Sa(t)的频谱密度为： 和上例比较可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲线相同， 而Sa(t)的频谱密度Sa()的曲线和上例中的g(t)波形相同。 【例2.5】试求单位冲激函数及其频谱密度。 解：单位冲激函数常简称为函数，其定义是： (t)的频谱密度： t sin t Sa(t) =    −   + = =   − − 0 其他处 sin 1 1 ( )     e dt t t Sa j t ( ) 0 0 ( ) 1 =  =   − t t t dt   ( ) = ( ) =1 ( ) =1    −  − − f t e dt t dt j t   

Sa(t)及其频谱密度的曲线: at) >8函数的物理意义: 高度为无穷大,宽度为无穷小,面积为1的脉冲。 用抽样函数Sa()表示8函数:Sa(t)有如下性质 k Sa()at=1 当k→∞时,振幅→∞ 波形的零点间隔→0, 故有 6(1)=mn Sa(kt) k→>∞

8 ➢ Sa(t)及其频谱密度的曲线： ➢ 函数的物理意义： 高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。 ➢ 用抽样函数Sa(t)表示函数：Sa(t)有如下性质 当 k →  时，振幅 → ， 波形的零点间隔 → 0， 故有   − Sa(kt)dt = 1 k  t t t ( ) lim Sa(k t) k t k   → = f (f) 1 0 t (t) 0

>a函数的性质 ■对的抽样:()= f(to(t-to)dt 数是偶函数6()=(-1)1()=1上0)m 函数是单位阶跃函数的导数: 当t能量信号的频谱密度S(和周期性功率信号的频谱C(jno) 的区别 ■S(f)一连续谱;C(jna)一离散谱 S()的单位:V/Hz;C(ina)的单位:V S(f)在一频率点上的幅度=无穷小

9 ➢ 函数的性质 ◼ 对f(t)的抽样： ◼ 函数是偶函数： ◼ 函数是单位阶跃函数的导数： ➢ 能量信号的频谱密度S(f)和周期性功率信号的频谱C(jn0 ) 的区别: ◼ S(f ) － 连续谱；C(jn0 ) － 离散谱 ◼ S(f )的单位：V/Hz；C(jn0 ) 的单位：V ◼ S(f )在一频率点上的幅度＝无穷小。 u(t) = (t)   − f(t ) = f(t) (t − t )dt 0  0   − f (t ) = f (t) (t − t)dt 0  0  (t) =  (−t)      = 1, 0 0, 0, ( ) t t u t 当 当 t 1 0 图2.2.6 单位阶跃函数

【例26】试求无限长余弦波的频谱密度。 解:设一个余弦波的表示式为f(= coSOpt则其频谱密 度F(o)按式(22-10)计算,可以写为 r/2 (o)=lim cos O te o dt=lim sn(O-00)z/2].sn(O+O0)z/2 7→)0 D02(o-00)x/2 (O+O0)z/2 ?//r(-00) (0+0 m sa 2 2 参照式(2.2-19),上式可以改写为 F()=(-c0)+6(O+00) (a)波形 b)频谱密度 引入δ(,就能将频谱密度概念推广到功率信号上。 10

10 【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。 解：设一个余弦波的表示式为f (t) = cos0 t，则其频谱密 度F()按式(2.2-10)计算，可以写为 参照式(2.2-19)，上式可以改写为 ➢ 引入(t)，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。             + +      − =       + + + − − = = → − → − →  2 ( ) 2 ( ) 2 lim ( ) / 2 sin[( ) / 2] ( ) / 2 sin[( ) / 2] 2 ( ) lim cos lim 0 0 0 0 0 0 / 2 / 2 0                             Sa Sa F t e dt j t ( ) [ ( ) ( )] F  =    −0 +  +0 t －0 0 0 (b) 频谱密度 (a) 波形