第八章数字信号最佳接收原理 81数字信号的统计表述 设:一通信系统的最高传输频率等于/m,接收电压用其抽样 值表示。 >噪声抽样电压的一维概率密度 若在一个码元期间内以2的速率抽样,则共得到k个抽 样值:n1,n2,…,n…,n1,每个抽样值都是正态分布的随机 变量,其一维概率密度可以写为 f(m1) 2丌on 2 式中, 噪声的标准偏差 噪声的方差
1 第八章 数字信号最佳接收原理 8.1 数字信号的统计表述 设：一通信系统的最高传输频率等于fH，接收电压用其抽样 值表示。 ➢ 噪声抽样电压的一维概率密度 若在一个码元期间内以2fH的速率抽样，则共得到k个抽 样值：n1 , n2 , …, ni , …, nk，每个抽样值都是正态分布的随机 变量，其一维概率密度可以写为 式中，n － 噪声的标准偏差； n 2 － 噪声的方差。 = − 2 2 2 exp 2 1 ( ) n i n i n f n
>噪声抽样电压的k维联合概率密度 f(n1,n2,…,nk)=f(n1)f(n2)…f(n) exp 2丌0 20 在一个码元时间T内接收的噪声平均功率: ∑n2或 (t)dt k 2fi ∑ H1i=1 ■将上式代入联合概率密度式,得到 f(n exp n(t)di 丌 式中 (m)=f(1n2n)=f(m)(m2)=f 需要注意:f(m)不是时间函数。m是一个k维矢量,可以看 作是k维空间中的一个点。f(m)仅决定于该码元期间内噪 声的能量 n(t)dt
2 ➢ 噪声抽样电压的k维联合概率密度 ◼ 在一个码元时间T 内接收的噪声平均功率： 或 ◼ 将上式代入联合概率密度式，得到 式中， ◼ 需要注意：f (n) 不是时间函数。n是一个k 维矢量，可以看 作是k 维空间中的一个点。f (n)仅决定于该码元期间内噪 声的能量 。 ( ) = = − = k i i n k n f k n n nk f n f n f nk n 1 2 1 2 1 2 2 2 1 exp 2 1 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) = = = k i i H k i i n f T n k 1 2 1 2 2 1 1 = = k i i H T n f T n t dt T 1 2 0 2 2 1 ( ) 1 ( ) = − T k n n t dt n f 0 2 0 ( ) 1 exp 2 1 ( ) n n H n f 0 2 = ( ) ( , , , ) ( ) ( ) ( ) k 1 2 k 1 2 nk f n = f n n n = f n f n f T n t dt 0 2 ( )
接收电压r()=s()+m(的k维联合概率密度函数: 当发送码元“0”时: f0(r) exp 2丌On n(t)-s0( 式中,r()一接收信号和噪声电压之和; S0(t)-发送码元“0时的信号波形 当发送码元“1”时: f(r) exp ()-s:()]d 2丌 式中,s1(t)一发送码元“1”时的信号波形
3 ➢ 接收电压r(t) = s(t) + n(t)的k维联合概率密度函数： ◼ 当发送码元“0”时： 式中，r (t) － 接收信号和噪声电压之和； s0 (t) － 发送码元“0”时的信号波形。 ◼ 当发送码元“1”时： 式中， s1 (t) － 发送码元“1”时的信号波形。 ( ) = − − r t s t dt n f T k n 2 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 exp 2 1 ( ) r ( ) = − − r t s t dt n f T k n 2 0 1 0 1 ( ) ( ) 1 exp 2 1 ( ) r
8.2数字信号的最佳接收准则 “最佳”的含义一指错误概率最小。 最佳接收的判决规则 接收矢量r看作是k维空间中一点 k维空间划分为区域4和A1 ■判决规则: 若接收矢量落在区域4内,则判为发送码元是“0”; 若接收矢量落在区域41内,则判为发送码元是“1”。 总误码率:P=P(1)P(4/1)+P(O)P(A/0) 式中, (4/D)+)发送“1时,r落在A的条件概率 P(4/0)=J(M发送“0时,落在4的条件概率 Pe=PoS, f(r)dr+P(oS So(rdr
4 8.2 数字信号的最佳接收准则 ➢ “最佳”的含义－ 指错误概率最小。 ➢ 最佳接收的判决规则 ◼ 接收矢量r 看作是k维空间中一点 ◼ k维空间划分为区域A0和A1 ◼ 判决规则： 若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是“0”； 若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。 ➢ 总误码率： 式中， － 发送“1”时, r 落在A0的条件概率； － 发送“0”时，r落在A1的条件概率。 ∴ A0 A1 A0 A1 (1) ( /1) (0) ( / 0) Pe = P P A0 + P P A1 = 0 ( /1) ( ) 0 1 A P A f r dr = 1 ( / 0) ( ) 1 0 A P A f r dr = + 0 1 (1) ( ) (0) ( ) 1 0 A A Pe P f r dr P f r dr
区域40和A1的划分 P(A4/1)+P(A1/1) 及P(A/0)+P(A10)=1 P=P(),/(M+P(O)f()可以改写为 Pe=P(1[-P(41/1)+P(0)P(A1/0) P(lI-f(dr]+P(o), fo(r)dr P(1)+[.[P(0)f0(r)-P(1)f1(r)dr 由于P(1)是确定的,故为了使误码率最小,需使上式中的积 分值最小。若在此积分空间41中被积因子在各点上的值都最小, 则积分值才最小。这就要求在A1内所有点上被积因子满足条件 PO))-PO)<0或者要求:P(f( P(1)f0(r 当P(1)=P(O)时,要求在A1内所有点上:[f)<A) ∴当接收矢量r落在A1内时,有f(r)≤f(m),按照上述判决规则, 应该判为发送码元是“1
5 ➢ 区域A0和A1的划分 ∵ ∴ 可以改写为 由于P(1)是确定的，故为了使误码率最小，需使上式中的积 分值最小。若在此积分空间A1中被积因子在各点上的值都最小， 则积分值才最小。这就要求在A1内所有点上被积因子满足条件： 或者要求： 当P(1)=P(0)时，要求在A1内所有点上： ∴当接收矢量r 落在A1内时，有f0 (r)<f1 (r)，按照上述判决规则， 应该判为发送码元是“1”。 P(A0 /1) + P(A1 /1) =1, 及 P(A0 /0) + P(A1 /0) =1 = + 0 1 (1) ( ) (0) ( ) 1 0 A A Pe P f r dr P f r dr ( ) = + − = − + = − + 1 1 1 (1) [ (0) ( ) (1) ( )] (1)[1 ] (0) ( ) (1)[1 ( /1)] (0) ( / 0) 0 1 1 0 1 1 A A A e P P f P f d P f d P f d P P P A P P A r r r r r r r P(0) f 0 (r) − P(1) f 1 (r) 0 ( ) ( ) (1) (0) 0 1 r r f f P P ( ) ( ) 0 1 f r f r
类似地,可以证明,当接收矢量r落在A内时,有f(r)综上所述,最佳接收准则归纳如下: 二进制系统:应将接收矢量空间划分为A和41两个区域: 在区域A内所有点上:P()<POA 在区域A1内所有点上:P))<PDO() 当P(1)=P(0)时,则要求 在区域40内所有点上:(r)<f() 在区域41内所有点上:f()<f) ■对接收矢量作如下判决:当P(1)=P(0)时 若接收矢量r使f()<f(),则判发送码元是“0”, 若接收矢量r使f()<f(r),则判发送码元是“1
6 类似地，可以证明，当接收矢量r 落在A0内时，有f1 (r) < f0 (r)， 按照上述判决规则，应该判为发送码元是“0”。 ➢ 综上所述，最佳接收准则归纳如下： ◼ 二进制系统：应将接收矢量空间划分为A0和A1两个区域： 在区域A0内所有点上： 在区域A1内所有点上： 当P(1)=P(0)时，则要求 在区域A0内所有点上： 在区域A1内所有点上： ◼ 对接收矢量作如下判决：当P(1)=P(0)时 若接收矢量r 使 f1 (r) < f0 (r)，则判发送码元是“0”， 若接收矢量r 使 f0 (r) < f1 (r)，则判发送码元是“1”。 (1) ( ) (0) ( ) 1 0 P f r P f r (0) ( ) (1) ( ) 0 1 P f r P f r ( ) ( ) 1 0 f r f r ( ) ( ) 0 1 f r f r
83确知数字信号的最佳接收机:码元等概率、等能量条件下 f0(r) exp 2丌 %r(t)so(t dt 则判为“1” 7
7 8.3 确知数字信号的最佳接收机：码元等概率、等能量条件下 ∵ ∴ 可以改写为 上式可以简化为 即，若 则判为“0” 若 则判为“1” ( ) = − − r t s t dt n f T k n 2 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 exp 2 1 ( ) r ( ) = − − r t s t dt n f T k n 2 0 1 0 1 ( ) ( ) 1 exp 2 1 ( ) r ( ) ( ) 1 0 f r f r − − − − T T r t s t dt n r t s t dt n 0 2 0 0 2 0 1 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) exp 1 exp T T r t s t dt r t s t dt 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ） T T r t s t dt r t s t dt 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ） T T r t s t dt r t s t dt 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ）
>二进制等先验概率最佳接收机原理方框图 相乘器 积分器 比较判决 rt) 相乘器 积分器 S()二进制等先验概率最佳接收机原理方框图
8 ➢ 二进制等先验概率最佳接收机原理方框图 r(t) S1 (t) S0 (t) 相乘器 积分器 相乘器 积分器 比较判决 二进制等先验概率最佳接收机原理方框图
84确知数字信号最佳接收机的误码率 二进制等先验概率信号的误码率公式: lx 2丌o 式中, C [s0()-S1(0)1d 20 >上式表明,当先验概率相等时,对于给定的噪声功率,误码 率仅和两种信号码元波形的差别[s0(t)-s1(t)的能量有关,而与 波形本身无关
9 8.4 确知数字信号最佳接收机的误码率 ➢ 二进制等先验概率信号的误码率公式： 式中， ➢ 上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率，误码 率仅和两种信号码元波形的差别[s0 (t)-s1 (t)]的能量有关，而与 波形本身无关。 P e dx c x e − − = 2 2 2 2 1 = − − T c s t s t dt 0 2 0 1 [ ( ) ( )] 2 1
误码率的计算:首先用相关系数p表示上式中的c 相关系数定义: S0(t)1(t)t So(t)s, (tdt (t)dt. sf(t )du EeL 式中, so(tdt E sf(t)dt p的取值范围: 当s(t)=s1(t)时,p=1,为最大值 当s0(t)=s1(t)时,p=-1,为最小值。 所以,1≤p≤+ 当E0=E1=E时,有p So(t)s,(t)at 及 Is0(t)-s(1)2t=-E6(1-p)
10 ➢ 误码率的计算：首先用相关系数 表示上式中的c ◼ 相关系数的定义： 式中， ◼ 的取值范围： 当s0 (t) = s1 (t)时，＝ 1，为最大值； 当s0 (t) = -s1 (t)时，＝-1，为最小值。 所以， ◼ 当E0 = E1 = Eb时，有 及 0 1 0 0 1 0 2 1 0 2 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E E s t s t dt s t dt s t dt s t s t dt T T T T = = = T E s t dt 0 2 0 0 ( ) = T E s t dt 0 2 1 1 ( ) −1 +1 b T E s t s t dt = 0 0 1 ( ) ( ) [ ( ) ( )] (1 ) 2 1 0 2 = − 0 − 1 = − − b T c s t s t dt E