电磁场与电磁浪 第1章矢量分析K心 第1章矢量分析 一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则 三、矢量微分元:线元,面元,体元 四、标量场的梯度 五、矢量场的散度 六、矢量场的旋度 七、重要的场论公式
电磁场与电磁波 第1章 矢量分析 第1章 矢量分析 一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则 三、矢量微分元：线元，面元，体元 四、标量场的梯度 六、矢量场的旋度 五、矢量场的散度 七、重要的场论公式
电磁场与电磁浪 第1章矢量分析K心 、矢量和标量的定义 1.标量:只有大小,没有方向的物理量。 如:温度T长度L等 2矢量:不仅有大小,而且有方向的物理量。 如:力F、速度ν、电场E等 矢量表示为:A=A|a 其中:A为矢量的模,表示该矢量的大小。 a为单位矢量,表示矢量的方向,其大小为1。 所以:一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积
电磁场与电磁波 第1章 矢量分析 一、矢量和标量的定义 1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 矢量表示为： A A a =| | ˆ 所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。 | A| a ˆ 2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。 如:力 F 、速度 v 、电场 E 等 如：温度 T、长度 L 等
电磁场与电磁浪 第1章矢量分析K心 例1:在直角坐标系中,x方向的大小为6的矢量如何表示? 6a 图示法: 6a 力的图示法: F=FN+F
电磁场与电磁波 第1章 矢量分析 例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？ 6 ˆ x a 图示法： 6 ˆ x a G FN Ff x y 力的图示法： F F F F = + N f
电磁场与电磁浪 第1章矢量分析公 二、矢量的运算法则 1.加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则 B 5=A+B B a满足交换律:A+B=B+A b满足结合律:(A+B)+(C+D)=(A+C+(B+D)
电磁场与电磁波 第1章 矢量分析 二、矢量的运算法则 1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。 a.满足交换律： A B B A + = + b.满足结合律： C A B = + B A C B A C ( ) ( ) ( ) ( ) A B C D A C B D + + + = + + +
电磁场与电磁浪 第1章矢量分析K心 在直角坐标系下的矢量表示 三个方向的单位矢量用a.a、a.表示 根据矢量加法运算: A=A+A+a 其中: 所以:A=A1a1+Aa1+Aa2
电磁场与电磁波 第1章 矢量分析 z o y x 三个方向的单位矢量用 a a a ˆ x y z , , ˆ ˆ 表示。 根据矢量加法运算： A A A A = + + x y z ˆ , , ˆ ˆ A A a A A a A A a x x x y y y z z z = = = 所以： ˆ ˆ ˆ A A a A a A a = + + x x y y z z 在直角坐标系下的矢量表示: A A x Ay Az 其中：
电磁场与电磁浪 第1章矢量分析K心 矢量:A=Aa2+Aa+Aa2 十的计算:4、++ 单位矢量: 1÷a,+ cosaa +cos Ba+cos a 十方向角与方向余猛:a,B,y cosa COS B coSr 在直角坐标系中三个矢量加法运算: A+B+C=(+B4+C)a+(A+B,+C,)a,+(A+B2+C2)a2
电磁场与电磁波 第1章 矢量分析 矢量： ˆ ˆ ˆ A A a A a A a = + + x x y y z z 模的计算： 222 | | A A A A = + + x y z 单位矢量： ˆ ˆ ˆ ˆ | | | | | | | | x y z x y z A A A A a a a a A A A A = = + + 方向角与方向余弦： , , | | , cos | | , cos | | cos A A A A A Ax y z = = = cos cos cos ˆ ˆ ˆ x y z = + + a a a 在直角坐标系中三个矢量加法运算： ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ A B C A B C a A B C a A B C a + + = + + + + + + + + x x x x y y y y z z z z z o y x A A x Ay Az
电磁场与电磁浪 第1章矢量分析K心 2减法:换成加法运算 D=A-B=A+GB 逆矢量:B和(-B)的模相等,方向相反,互为逆矢量。 D D B B B A+B+C=0 推论: 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形,其矢量和必为零。 在直角坐标系中两矢量的减法运算: B=(A4-B3)a1+(Ay-B)a,+(A-B2
电磁场与电磁波 第1章 矢量分析 2.减法：换成加法运算 D A B A B = − = + −( ) A B C + + B A −B 逆矢量： B 和 ( ) −B 的模相等，方向相反，互为逆矢量。 D B A D A B C = 0 在直角坐标系中两矢量的减法运算： ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ A B A B a A B a A B a − = − + − + − x x x y y y z z z 推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零
电磁场与电磁浪 第1章矢量分析K心 3乘法: (1)标量与矢量的乘积: k>0方向不变,大小为k倍 ka=kayak=o k<0方向相反,大小为k倍 (2)矢量与矢量乘积分两种定义 a.标量积(点积) B A.B=A|·|B|cos6 两矢量的点积含义: 矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积, 其结果是一标量
电磁场与电磁波 第1章 矢量分析 3.乘法： （1）标量与矢量的乘积： 0 | | 0 ˆ 0 k kA k A a k k = = 方向不变，大小为|k|倍 方向相反，大小为|k|倍 （2）矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积（点积）： A B A B = | | | | cos B A 两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量
电磁场与电磁浪 第1章矢量分析K心 推论1:满足交换律A.B=B.A 推论2:满足分配律A(B+C=A.B+AC 推论3:当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 ●在直角坐标系中,已知三个坐标轴是相互正交的,即 a.=0. O 有两矢量点积: A B=(Aa+Aa, +Aa2) (B,a+B,a,+B.a) AB+AB+AB. 结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和
电磁场与电磁波 第1章 矢量分析 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 ˆ ˆ 0, 0, 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1, 1, 1 ˆ ˆ ˆ ˆ x y x z y z x x y y z z a a a a a a a a a a a a = = = = = = 有两矢量点积： ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B A a A a A a B a B a B a x x y y z z x x y y z z = + + + + = Ax Bx + Ay By + Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。 推论1：满足交换律 推论2：满足分配律 推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 A B B A = A B C A B A C + = + ( )
电磁场与电磁浪 第1章矢量分析K心 b矢量积(叉积): A×B=A|·|B|sin6a 含义: 两矢量叉积,结果得一新矢量,其大小为这两个矢量 组成的平行四边形的面积,方向为该面的法线方向,且三 者符合右手螺旋法则。 推论1:不服从交换律:AB≠BxA,AxB=-BxA 推论2:服从分配律:A×(B+C)=A×B+AxC 推论3:不服从结合律:AX(BxO≠( Ax B)XC 推论4:当两个非零矢量叉积为零,则这两个矢量必平行
电磁场与电磁波 第1章 矢量分析 推论1：不服从交换律： A B B A A B B A = − , 推论2：服从分配律： A B C A B A C + = + ( ) 推论3：不服从结合律： A B C A B C ( ) ( ) 推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。 b.矢量积（叉积）： | | | | sin ˆ A B A B a = c •含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量 组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三 者符合右手螺旋法则。 B A ˆ c a