第四章模拟信号的数字化 41引言 两类信源:模拟信号、数字信号 ●模教数变换的三步骤:抽样、量化和编码 最常用的模/数变换方法:脉冲编码调制(PCM)
1 第四章 模拟信号的数字化 4.1 引言 ⚫ 两类信源：模拟信号、数字信号 ⚫ 模/数变换的三步骤：抽样、量化和编码 ⚫ 最常用的模/数变换方法：脉冲编码调制 (PCM)
42模拟信号的抽样 42.1低通模拟信号的抽样 ●通常是在等间隔T上抽样 ●理论上,抽样过程=周期性单位冲激脉冲x模拟信号 ●实际上,抽样过程三周期性单位窄脉冲×模拟信号 抽样定理:若一个连续模拟信号s(O)的最高频率小于fB,则以 间隔时间为T≤1/2G的周期性冲激脉冲对其抽样时,s()将被 这些抽样值所完全确定。 模拟信号 s() 模拟信号的抽样
2 4.2 模拟信号的抽样 4.2.1 低通模拟信号的抽样 ⚫ 通常是在等间隔T上抽样 ⚫ 理论上，抽样过程＝ 周期性单位冲激脉冲 模拟信号 ⚫ 实际上，抽样过程＝ 周期性单位窄脉冲 模拟信号 ⚫ 抽样定理：若一个连续模拟信号s(t)的最高频率小于fH，则以 间隔时间为T 1/2fH的周期性冲激脉冲对其抽样时，s(t)将被 这些抽样值所完全确定。 模拟信号 s(t) 模拟信号的抽样
●抽样定理的证明: 设:s()-最高频率小于f的信号, 6(0-周期性单位冲激脉冲,其重复周期为T,重复频率 为/=1/T 则抽样信号为:O)=0O)=>AkD 设s(的傅里叶变换为S(,则有:S(=()*△( 式中, 5(t)+ SA(0-s4(1)的频谱 S(0-s()的频谱 (a)带限信号波形 (b)带限信号频谱 4-60的频谱:=ttt Aa是周期性单位冲 (c)周期性单位冲徽脉冲波形 (d周期性单位冲激脉冲频晋 (+ 激脉冲的频谱,它可以求 △∧△∧△ 0 t s 出等于 (e)抽样信号波 ()抽样信号频谱
3 ⚫ 抽样定理的证明： 设： s(t) － 最高频率小于fH的信号， T (t) － 周期性单位冲激脉冲，其重复周期为T，重复频率 为fs = 1/T 则抽样信号为： 设sk (t)的傅里叶变换为Sk (f)，则有： 式中， Sk (f) － sk (t)的频谱 S(f) － s(t)的频谱 ( f ) － T (t)的频谱 (f )是周期性单位冲 激脉冲的频谱，它可以求 出等于： s (t) = s(t) (t) =s(kT) k T S ( f ) S( f ) ( f ) k = =− = − n nfs f T f ( ) 1 ( )
将△()=1∑0-m)代入S(O)=S()*△2(), 得到 S(-TSU* 280-n)FT2sU-nf 由上式看出:由于S(-是信号频谱S(0在频率轴上平移 了的结果,所以抽样信号的频谱SA是无数间隔频率为f 的原信号频谱S(相叠加而成 因已经假设(0的最高频率小于G所以若上式中的频率 间隔≥2G则S(中包含的每个原信号频谱S()之间互不 重叠,如图所示。这样就能够从S(f)中分离出信号(0的频 谱S(,并能够容易地从S(巧得到(0;也就是能从抽样信号 中恢复原信号,或者说能由抽样信号决定原信号。 这里,恢复原信号的条件是:f≥2f 2G称为奈奎斯特( Nyquist)抽样速率。与此相应的最小 抽样时间间隔称为奈奎斯特抽样间隔
4 将 代入 ， 得到 由上式看出：由于S(f- nfs )是信号频谱S(f)在频率轴上平移 了nfs的结果，所以抽样信号的频谱Sk (f)是无数间隔频率为fs 的原信号频谱S(f)相叠加而成。 因已经假设s(t)的最高频率小于fH，所以若上式中的频率 间隔fs 2fH，则Sk (f)中包含的每个原信号频谱S(f )之间互不 重叠，如图所示。这样就能够从Sk (f )中分离出信号s(t)的频 谱S(f)，并能够容易地从S(f)得到s(t)；也就是能从抽样信号 中恢复原信号，或者说能由抽样信号决定原信号。 这里，恢复原信号的条件是： 2fH称为奈奎斯特(Nyquist)抽样速率。与此相应的最小 抽样时间间隔称为奈奎斯特抽样间隔。 1 ( ) ( ) s n f f nf T =− = − ( ) ( ) ( ) k S f S f f = 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k s s n S f S f f nf S f nf T T =− − = − = − 2 s H f f
●由抽样信号恢复原信号的方法 从频域看:当f≥2时,用一个截止频率为f的理想低通 滤波器就能够从抽样信号中分离出原信号 从时域中看,当用抽样脉冲序列冲激此理想低通滤波器时, 滤波器的输出就是一系列冲激响应之和,如图所示。这些 冲激响应之和就构成了原信号 >理想滤波器是不能实现的。实用滤波器的截止边缘不可能 做到如此陡峭。所以,实用的抽样频率必须比2大较 多 例如,典型电话信号的最高频率限制在340Hz,而抽样频 率采用8000Hz
5 ⚫ 由抽样信号恢复原信号的方法： ➢ 从频域看：当fs 2fH时，用一个截止频率为fH的理想低通 滤波器就能够从抽样信号中分离出原信号。 ➢ 从时域中看，当用抽样脉冲序列冲激此理想低通滤波器时， 滤波器的输出就是一系列冲激响应之和，如图所示。这些 冲激响应之和就构成了原信号。 ➢ 理想滤波器是不能实现的。实用滤波器的截止边缘不可能 做到如此陡峭。所以，实用的抽样频率fs 必须比 2fH 大较 多。 ➢ 例如，典型电话信号的最高频率限制在3400 Hz，而抽样频 率采用8000 Hz
42.2带通模拟信号的抽样 带通信号的频带限制在利∫之间,即其频谱低端截止频率明 显大于零。 要求抽样频率:=2,2kB 2B(1+-) 式中, n B一信号带宽,n-小于/m/B的最大整数, 02B ●图中的曲线表示要求 的最小抽样频率/s, 3B 4B 5B 6B fL 但是这并不意味着用任何大于该值的频率抽样都能保证频谱 不混叠
6 4.2.2 带通模拟信号的抽样 ⚫ 带通信号的频带限制在fL和fH之间，即其频谱低端截止频率明 显大于零。 ⚫ 要求抽样频率fs ： 式中， B － 信号带宽， n － 小于fH/B的最大整数， 0 < k < 1。 ⚫ 由图可见， 当fL = 0时，fs ＝2B， 当fL很大时，fs→2B。 ⚫ 图中的曲线表示要求 的最小抽样频率fs， 但是这并不意味着用任何大于该值的频率抽样都能保证频谱 不混叠。 2 (1 ) 2 2 n k B n k B f s = B + = + 3B B 2B 4B 5B 6B f 0 L fs
42.3模拟脉冲调制 ●脉冲振幅调制PAM ●脉冲宽度调制PDM a) ●脉冲位置调制PPM (b) 几几几几 (d) (a)基带信号 (b)PAM信号 (c)PDM信号dPPM信号
7 4.2.3 模拟脉冲调制 ⚫ 脉冲振幅调制PAM ⚫ 脉冲宽度调制PDM ⚫ 脉冲位置调制PPM （a) 基带信号 (b) PAM信号 (c) PDM信号 (d) PPM信号 图4.2.6 模拟脉冲调制
43抽样信号的量化 信号的实际值 43.1量化原理 量化误差 信号的量化值 ●量化的目的: s(6D!}s(6T) 将抽样信号数字化。 °量化的方法: 设s(k)一抽样值, q 若用N位二进制码元表示 则只能表示M=2N个不同 的抽样值 >共有M个离散电平,它们称为量化电平 >用这M个量化电平表示连续抽样值的方法称为量化。 例:见图 S()=q1,当m1ss(k1)图示为均匀量化
8 4.3 抽样信号的量化 4.3.1 量化原理 ⚫ 量化的目的： 将抽样信号数字化。 ⚫ 量化的方法： ➢ 设s(kT) － 抽样值， ➢ 若用N位二进制码元表示， 则只能表示M= 2N个不同 的抽样值。 ➢ 共有M个离散电平，它们称为量化电平。 ➢ 用这M个量化电平表示连续抽样值的方法称为量化。 ➢ 例：见图， ➢ 图示为均匀量化。 图4.3.1 抽样信号的量化 q i i mi s (k T) = q , 当m −1 s(k T)
432均匀量化 ●设:模拟抽样信号的取值范围:a~b 量化电平数=M 则均匀量化时的量化间隔为:A=(b-a)/M 量化区间的端点为:m=a+1∠v 若量化输出电平q取为量化间隔的中点,则有 m2.+m q 1,2…,M 2 ●量化噪声=量化输出电平和量化前信号的抽样值之差 ●信号功率与量化噪声之比(简称信号量噪比)
9 4.3.2 均匀量化 ⚫ 设：模拟抽样信号的取值范围：a～b 量化电平数＝ M 则均匀量化时的量化间隔为： 量化区间的端点为： ⚫ 若量化输出电平qi 取为量化间隔的中点，则有 ⚫ 量化噪声＝量化输出电平和量化前信号的抽样值之差 ⚫ 信号功率与量化噪声之比（简称信号量噪比） v = (b − a)/ M m a i v i = + i M m m q i i i , 1,2,..., 2 1 = + = −
求量化噪声功率的平均值Nn N,=E(5-,)]=(-s,)(s1=∑门(:=9)(3 i=1·m-1 式中,s为信号的抽样值,即s(kn) sn为量化信号值,即s(kn s)为信号抽样值s的概率密度 E表示求统计平均值 M为量化电平数 a+i△v △v q a+i△v 2 求信号s的平均功率 S=E(Sk)= sk f(sk)ds ●由上两式可以求出平均量化信噪比。 10
10 ⚫ 求量化噪声功率的平均值Nq ： 式中，sk为信号的抽样值，即s(kT) sq为量化信号值，即sq (kT) f(sk )为信号抽样值sk的概率密度 E表示求统计平均值 M为量化电平数 ⚫ 求信号sk的平均功率： ⚫ 由上两式可以求出平均量化信噪比。 = − = − = − = − b a M i m m q k q k q k k k i k k i i N E s s s s f s ds s q f s ds 1 2 2 2 1 [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) m a i v i = + 2 v q a i v i = + − = = b a k k k dsk S E(s ) s f (s ) 2 2
