《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 矩阵的运算 3-1 矩阵的运算

第三章矩阵的运算 Ch3 矩阵的运算 §3.1矩阵的运算 §3.2逆矩阵 §3.3初等矩阵 。§3,4分块矩阵

第三章 矩阵的运算 Ch3 矩阵的运算 §3.1矩阵的运算 §3.4分块矩阵 §3.2逆矩阵 §3.3初等矩阵

第三章矩阵的运算 §3.1 矩阵的运算 矩阵加法 矩阵的数乘 矩阵乘法 四、矩阵转置 五、n阶距阵的行列式 六、共轭矩阵

第三章 矩阵的运算 §3.1 矩阵的运算 一、矩阵加法 四、矩阵转置 二、矩阵的数乘 三、矩阵乘法 五、n阶距阵的行列式 六、共轭矩阵

第三章矩阵的运算 同型矩阵：行数与列数分别相等的矩阵称为同型矩阵 矩阵相等A=(a)mn,B=(b,)mxn,且4y=b,→A=B 一、矩阵加法 (i=1,.,5j=1,.,m) 1、定义3.1.1设矩阵A=(a)m,B=(bg)mxn’称矩阵 C=(aij+bj)mxn 为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B. 零矩阵：元素全是零的矩阵称为零矩阵记作：O 设矩阵A=(a,)mxn’称矩阵-(a)mxn为A的负矩阵， 记作-A,即-A=-(a)mxn

第三章 矩阵的运算 矩阵相等 一、矩阵加法 3 ( ) , ( ) ( ) . .1.1 ij m n ij m n ij ij m n A a B b C a b A B C A B    = = = + = + 设矩阵 ，称矩阵 和 为矩阵 与矩阵 的 ，记作 1、定义 同型矩阵：行数与列数分别相等的矩阵称为同型矩阵. 零矩阵：元素全是零的矩阵称为零矩阵.记作: O. ( ) ( ) ( ) . ij m n ij m n ij m n A a a A A A a    = − − − = − 设矩阵 ，称矩阵 为 的 ， 记作 ，即 负矩阵 ( ) , ( ) , ( 1, , ; 1, , ) A a B b a b A B ij m n ij m n ij ij i m j n = = =  =   = = 且

第三章矩阵的运算 2、矩阵加法的性质：A,B,C,O均为m×n矩阵 1.A+B=B+A 2.(A+B)+C=A+(B+C) 3.A+0=0+A=A 4.A+(-A)=(-A)+A=O 注：矩阵减法可定义为 A-B=A+(-B)=(ai-bj)nxn

第三章 矩阵的运算 2、矩阵加法的性质： A,B,C,O均为mn矩阵 1. A+ B = B + A 2. (A+ B) +C = A+ (B +C) 3. A+O = O + A = A 4. A+ (−A) = (−A)+ A = O ( ) ( ) A B A B a b − = + − = −ij ij m n 注：矩阵减法可定义为

第三章矩阵的运算 例1求矩阵X,使得 23 -1 0 -1 3 2 2 +X= 3 0 -1 0 -1 1 2 -2 0 解： 0 -1 2 3 2 -1 X= 3 -1 2 1 -2 0 -1 0 -1 1 -3 2

第三章 矩阵的运算 1 1 2 3 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 1 1 2 2 0 X X     − −     + = −             − − − 例 求矩阵 ，使得 解： 0 1 2 3 1 2 3 1 3 0 1 1 2 0 1 2 1 2 2 0 1 1 0 1 X     − −     = − −             − − − 1 3 1 4 1 0 0 3 2 1 2 1   − − −   = −       −

第三章矩阵的运算 二、矩阵的数乘 1、定义3.1.2设矩阵A=(a)mxm, 是一个数，矩阵 (2,)mxm称为数2与矩阵A的乘积，记作人A或A几， 即 A=A九=(2：)mxn 注：数乘矩阵与数乘行列式是显然是不同的

第三章 矩阵的运算 二、矩阵的数乘 ( ) , , ( 3.1 ( ) 2 ) . ij m n ij m n ij m n A a a A A A A a  A           = = = 设矩阵 是一个数 矩阵 称为数 与矩阵 的乘积 记作 或 ， 即 ， 1、定义 注：数乘矩阵与数乘行列式是显然是不同的

第三章矩阵的运算 2、数乘的性质：设A,B是m×矩阵，2，u是数， 1.(uA)=(兄)A 2.(九+)A=入A+山A 3.(A+B)=九A+B 4. 14-A 5. 0A=0 6. (-1)A=-A

第三章 矩阵的运算 2、数乘的性质： 2. ( )     + = + A A A 设A B m n ， 是  矩阵， , 是数， 3. ( )    A B A B + = + 1. ( ) ( )    A A = 4. 1A A = 5. 0A O= 6. ( 1) − = − A A

第三章矩阵的运算 咖设4：斗[门 c-[4-8+ 解： [4-1-10+1+2 -2-0+1 2A-B+ 1c= 3 2+2+44-3-2-4-1+3 3-1 8-12

第三章 矩阵的运算 2 0 1 1 1 0 2 , , 1 2 2 2 3 1 3 6 3 1 2 . 12 6 9 3 A B C A B C     − − = =         − −   − = − +     − 例 设 ,求 1 4 1 1 0 1 2 2 0 1 2 3 2 2 4 4 3 2 4 1 3 A B C   − − + + − − + − + =     + + − − − − + 2 3 1 8 1 2   − =     − − 解：

第三章矩阵的运算 三、矩阵的乘法 1.线性变换 设变量1,2，.ym能用变量1，x2,.,xn线性表示，即： Jy1=0111+012X2+.+41mXn3 Jy2=021X1+222+.+42mXn, Jym=Lm1X1+0m2X2+.+0mnn’ 其中系数a(i=1,2,.,m,j=1,2,.,m)为常数这种从 变量x1,X2,.,x到变量y1,2,.ym的变换叫做线性变换

第三章 矩阵的运算 1 2 1 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , , , , , ( 1,2, , , 1,2, , ) . , , , , , m n n n n n m m m mn n ij n m y y y x x x y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x a i m j n x x x y y y  = + ++  = + ++    = + ++  = = 设变量 能用 变量 线 性表示，即： 其中系数 为常数 这种从 变量 到变量 的变换叫做线性变换. 三、矩阵的乘法 1.线性变换

第三章矩阵的运算 12 此线性变换的系数构成的mx矩阵为 l22 。 0m2 称为线性变换的系数矩阵， 设两个线性变换 y1=%11X1+412X2+413X3, (3-1) 、y2=21X1+22X2+423X3) x1=b4+b122, X2=b2141+b22t2y (3-2) x3=b3141+b32t2y

第三章 矩阵的运算 11 12 1 21 22 2 1 2 . . n n m m mn a a a a a a m n a a a              此线性变换的系数构成的 矩阵为 称为线性变换的系数矩阵 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 3 31 1 32 2 , (3 1) , , , (3 2) , y a x a x a x y a x a x a x x b t b t x b t b t x b t b t  = + +  − = + +   = +   = + −  = +  设两个线性变换