第之节 极浪存在准则 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的夹逼准则 二、两个重要极限
二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的夹逼准则 第六节 极限存在准则 两个重要极限
1.数列极限的夹逼准则（准则I) (0)ym≤xm≤2n(n=1,2,） lim xn a (2)lim yn lim zn =a n→00 n-→0 证：由条件2)，V8>0,3N1,N2, 当n>N1时，yn-aN2时，2n-a N时，有 a-8<yn<a+8,a-8<zn<a+8, 由条件(1) a-E<yn≤xn≤2n<a+e 即xm-a<6,故lim=a. n-→0
y z a n n n n (2) lim lim 1. 数列极限的夹逼准则（准则I） (1) y x z ( n 1, 2 , ) n n n x a n n lim 证:由条件 (2) , 0 , , N1 当 时, 当 时, 令 max , , N N1 N2 则当 n N 时, 有 由条件 (1) n n n a y x z a 即 x a , n 故 lim x a . n n , N2
2.函数极限存在的夹逼准则（准则'） 当x∈U(x,8)时，g(x)≤f(x)sh(x),且 (x>X>0) lim g(x)=lim h(x)=4 x→X0 x→X0 (x→0 (x→0 lim f(x)=A X→xo
2. 函数极限存在的夹逼准则（准则Iʹ） ( , ) , 当 x U x0 时 g x h x A x x x x lim ( ) lim ( ) 0 0 g ( x) f (x) h( x) , f x A x x lim ( ) 0 ( x X 0 ) (x ) (x ) (x ) 且
例1求lim( 解 n m㎡+ +++n+ 又lim lim 11-→00 vn+n n→∞ n lim =lim 由夹逼准则得 n-→0 2 n-→0 =1 lim(- 十十 =)=1 71→0 +2 n+n
例1 2 2 2 1 1 1 lim( ). 1 2 求 n n n n n 解 2 2 2 2 1 1 , 1 1 n n n n n n n n 2 1 lim lim 1 1 又 n n n n n n 1, 2 2 1 lim lim 1 1 1 n n n n n 1, 由夹逼准则得 2 2 2 1 1 1 lim( ) 1. 1 2 n n n n n
3.单调有界准则 如果数列x满足条件 X≤X2≤Xn≤Xn≤.， 单调增加 单调数列 X1≥X2.≥Xn≥Xn+1≥， 单调减少 准则II单调有界数列必有极限： 几何解释： ●●●-●●● X1 X2 X3 XnX+1 A
3.单调有界准则 如果数列xn 满足条件 1 2 1 , n n x x x x 单调增加 1 2 1 , n n x x x x 单调减少 单调数列 几何解释: x 1 x 2 x 3 x n x n 1 x A M 准则II 单调有界数列必有极限
例2证明数列x=V3+V3+√+ (n重根 式)的极限存在 证 显然x1>xn,{xn}是单调递增的 又x=5<3,假定x<3,x1=√3+x<3+3<3 {xn}是有界的；.1imx,存在 x=VB+X,x21=3+x, lim=lim(3+x). 1n→00 f=3+么解得4=中西AL- (舍去) 2 2 1+√13 .limx= -→00 2
例 2 3 3 3 ( ) . 证明数列 重 根 式 的 极 限 存 在 n x n 证 1 显 然 , n n x x 是 单 调 递 增 的 ; n x 1 又 x 3 3, 假 定 3, k x 1 3 k k x x 3 3 3, 是有界的 ; n x lim . n 存在 n x 1 3 , n n x x 2 1 3 , n n x x 2 1 lim lim(3 ), n n n n x x 2 A A 3 , 1 13 1 13 , 2 2 解 得 A A (舍去 ) 1 13 lim . 2 n n x
二、两个重要极限 1.lim sinx x→0 x 证：当x∈(0，)时， △AOB的面积0 x-→0
1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 sin x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 π x x x x ( 0 , ) 2 π x 时， (0 ) 2 π 显然有 x △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 O B A x 1 D C
当0<x< 时 2 0<1-cos x=1-cos x =25nc2 2 .lim(1-cosx)=0 x→0 ∴.lim cosx=1 x→0 sinx =1 ∴.lim x-→0x 0
注 当 2 π 0 x 时 0 1 cos x 1 cos x 2 2sin2 x 2 2 2 x 2 2 x lim(1 cos ) 0 0 x x
tan x 例3.求lim x-→0 r 解： lim tan x sin x = lim x→0 X x→0 COSX sinx lim .lim = x→0 x x→0C0SX 例4.求1im arcsin x x→0 X 解：令t=arcsinx,则x=sint,因此 t 原式=lim 1 =lim =1 t→0s1nt 1>0 sint t
例3. 求 解: x x x tan lim 0 x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim 0 x cos x 1 lim 0 1 例4. 求 解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此 原式 t t t sin lim 0 t sint 1
说明：一般地 sin (x) lim =1 (x)→0 o(x) 例5.求1im 1-cosx x→0 2 解：原式=lim 2sin x→0 x 2x-0
2 0 sin lim x 2 x 2 x 2 1 例5. 求 解: 原式 = 2 2 2 0 2sin lim x x x 2 1 2 1 说明: 一般地