第九节 连续虽数的运算与 初等盈数的连疾性 一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性 连续函数的运算与 初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积， 商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数. (利用极限的四则运算法则证明) 例如，sinx,cosx连续 →tanx,cotx在其定义域内连续 定理2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增 (递减) (递减) (证明略 y sinx 例如，y=sinx在[-受，]上连续单调递增， arcsin x 其反函数y=arcsinx在[l,1]上也连续单调 递增
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, y sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y arcsin x (递减) (证明略) 在[1, 1]上也连续单调 (递减) 1 1 O x y 2 π 2 π 递增. sin x arcsin x
又如，y=e在(-oo,+oo)上连续 v=e 单调递增，其反函数y=nx在 y=Inx (0,+0)上也连续单调递增 定理3.若limg(x)=,函数f(u)在点4，连续 x→X 则有1imf几g(x)]=f(4)=f[limg(x] 注：1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续。 2将x→x,换成x→o可得类似的定理
在 上连续 其反函数 在 上也连续单调递增. 又如, x y O y ln x e x y 1 1 单调 递增, 定理3. 0 0 0 0 0 0 lim ( ) , ( ) , lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. 若 函数 在点 连续 则有 x x x x x x g x u f u u f g x f u f g x 注: 1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续. 0 2.将x x x 换成 可得类似的定理
又如，y=e在(-o,+oo)上连续 =e 单调递增，其反函数y=nx在 y=Inx (0,+o0)上也连续单调递增， 定理3.若limg(x)=,函数f(u)在点，连续 则有Iimf几g(x】=f(4)=f[lim g(x] X->X x->xo 意义： 在定理的条件下，极限符号可以与函数符号 互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接 取在内层
在 上连续 其反函数 在 上也连续单调递增. 又如, x y O y ln x e x y 1 1 单调 递增, 定理3. 0 0 0 0 0 0 lim ( ) , ( ) , lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. 若 函数 在点 连续 则有 x x x x x x g x u f u u f g x f u f g x 意义: 在定理的条件下，极限符号可以与函数符号 互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接 取在内层
x-3 例1.求 lim x2-9 解： X-3 y- x2-9 可看作由y=G与u=x-3 x2二9复合而成， X-3 由于lim x2-9 。1y=面在点=运统， 所以 x-3 lim x→3 x2-9
例1. 求 解: 可看作由 与 复合而成， 由于 且 在点 连续，所以
定理4.设函数u=g(x)在点x=x,连续，且 g(x)=4o,而函数y=f(u)在点u=4,连续， 则复合函数y=f儿g(x】在点x=x,也连续 显然定理4是定理3的特殊情况
定理4. 0 0 0 0 0 ( ) , ( ) , ( ) , [ ( )] . 设函数 在点 连续 且 而函数 在点 连续 则复合函数 在点 也连续 u g x x x g x u y f u u u y f g x x x 显然 定理4是定理3的特殊情况
例如，y=sin二是由连续函数链 X y=Sinu,u∈(-o0,+o0】 1 u=-,x∈R=R\{O 复合而成，因此y=sin二在x∈R上连续 y=sin X
例如, 是由连续函数链 x R R= * \ {0} 因此 在 x R 复合而成 * 上连续 . , x y 1 sin x y O
二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 切初等函数 连续函数经四则运算仍连续 在定义区间内 连续 连续函数的复合函数连续 例如， y=√1-x2的连续区间为[-1,1]（端点为单侧连续 y=Insinx的连续区间为(2nπ，(2n+1)π)，n∈Z
二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 例如, 2 y 1 x 的连续区间为 (端点为单侧连续) y ln sin x 的连续区间为
例2.求lim loga(1+x) x>0 x 解：原式=1 lim log,+x)=loge= 1 x-→0 例3.求lim a'-1 x>0 解：令t=a-1,则x=loga(1+t) 原式=lim =Ina 1→0loga(1+t) 说明：由此可见当a=e,x→0时，有 In(1+x)~x ex-1~x
例2. 求 解: 原式 例3. 求 解: 令 1, x t a 则 x log (1 t), a 原式 log (1 ) lim 0 t t a t 说明: 由此可见当 时, 有 ln(1 x) ~ e 1 ~ x x x
例4.求1im(1+2x)m. 0 解： 原式=lim x-→0 =e6 原式=lime1n+2x) →取对数法 x→0 ms品lnl+2x)im 3 3.2x =ex =eo x=e6 般地，对于形如(x)(u(x)>0,u(x)≠1D的函数 称为幂指函数，如果 limu(x)=a>0,lim v(x)=b, 则 limu(x)")=ab
例4. 求 解: 原式 原式 ln(1 2 ) sin 3 x x ln(1 2 ) sin 3 x x 3 2x x