第16讲 6.3串联校正 63.1串联超前校正(基于频率响应法) 用频率法对系统进行校正的基本思路是:通过所加校正装置,改变系 统开环频率特性的形状,即要求校正后系统的开环频率特性具有如下特点 ①低频段的增益充分大,满足稳态精度的要求; ②中频段的幅频特性的斜率为-20dB/dec,并具有较宽的频带,这一要求是 为了系统具有满意的动态性能; ③高频段要求幅值迅速衰減,以较少噪声的影响。 用频率法对系统进行超前校正的基本原理,是利用超前校正网络的相 位超前特性来增大系统的相位裕量,以达到改善系统瞬态响应的目点。为 此,要求校正网络最大的相位超前角岀现在系统的截止频率(剪切频率) 处 对截止频率没有特别要求时。 用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可归纳为 ①根据稳态误差的要求,确定开环增益K
183 第 16 讲 6.3 串联校正 6.3.1 串联超前校正（基于频率响应法） 用频率法对系统进行校正的基本思路是：通过所加校正装置，改变系 统开环频率特性的形状，即要求校正后系统的开环频率特性具有如下特点： 低频段的增益充分大，满足稳态精度的要求； 中频段的幅频特性的斜率为-20dB/dec,并具有较宽的频带，这一要求是 为了系统具有满意的动态性能； 高频段要求幅值迅速衰减，以较少噪声的影响。 用频率法对系统进行超前校正的基本原理，是利用超前校正网络的相 位超前特性来增大系统的相位裕量，以达到改善系统瞬态响应的目点。为 此，要求校正网络最大的相位超前角出现在系统的截止频率（剪切频率） 处。 对截止频率没有特别要求时。 用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可归纳为： 根据稳态误差的要求，确定开环增益 K
②根据所确定的开环增益K画岀未校正系统的波特图,计算末校正系 统的相位裕度y。 ③根据截止频率ω的要求,计算超前网络参数a和T;关键是选择最大 超前角频率等于要求的系统截止频率,即ωn=∞。,以保证系统的响应速度 并充分利用网络的相角超前特性。显然,on=o成立的条件是 L(2)=L(l)=10lga 由上式可求出aT=-1 (6-36) 由(6-36)求出T。 ④验证已校正系统的相位裕度γ。 ③由给定的相位裕度值γ,计算超前校正装置提供的相位超前量φ,即 =9 +E←补偿 给定的校正前 ε是用于补偿因超前校正装置的引入,使系统截止频率增嶒大而增加的相 角滞后量。ε值通常是这样估计的:如果未校正系统的开环对数幅频特性在 截止频率处的斜率为-40dB/dec,-般取s=5°~10°;如果为-60dB/dec则取 E=15°~20°。 ④根据所确定的最大相位超前角o按a=1+mgm(6-37) sin p 84
184 根据所确定的开环增益 K，画出未校正系统的波特图，计算未校正系 统的相位裕度 。 根据截止频率 c 的要求，计算超前网络参数 a 和 T；关键是选择最大 超前角频率等于要求的系统截止频率，即 m c = ，以保证系统的响应速度， 并充分利用网络的相角超前特性。显然， m c = 成立的条件是 − Lo (c ) = Lc (c ) =10lg a (6-35) 由上式可求出 a a T m 1 = (6-36) 由(6-36)求出Ｔ。 验证已校正系统的相位裕度 。 由给定的相位裕度值 ，计算超前校正装置提供的相位超前量 ，即 补偿 给定的 校正前 = = − + m 是用于补偿因超前校正装置的引入，使系统截止频率增大而增加的相 角滞后量。 值通常是这样估计的：如果未校正系统的开环对数幅频特性在 截止频率处的斜率为-40dB/dec，一般取 = 5 ~10 ；如果为-60dB/dec 则取 =15 ~ 20。 根据所确定的最大相位超前角 m 按 m m a 1 sin 1 sin − + = (6-37)
算出a的值。 ⑤计算校正裝置在ωn处的幅值l0lga图6-10)由未校正系统的对数幅 频特性曲线,求得其幅值为-l0lga处的频率,该频率ωn就是校正后系统的 开环截止频率∞”,即o"=an。 ⑥确定校正网络的转折频率a和o2。 √a ⑦画出校正后系统的波特土并演算相位裕度时候满足要求?如果不满 足,则需增大ε值,从第③步,开始重新进行计算。 例6-1某一单位反馈系统的开环传递函数为G(s)s+2) 设计一个超 前校正装置,使校正后系统的静态速度误差系数K,=20s-,相位裕度γ≥50°, 增益裕度20gh不小于10dB 解:⑩根据对静态速度误差系数的要求,确定系统的开环增益K。 K=1,4K2K=20 K=10 当K=10时,未校正系统的开环频率特性为 90°-arcg jo(@+2)
185 算出 a 的值。 计算校正装置在 m 处的幅值 10lga (图 6-10)。由未校正系统的对数幅 频特性曲线，求得其幅值为-10lga 处的频率，该频率 m 就是校正后系统的 开环截止频率 c ，即 c = m 。 确定校正网络的转折频率 1和2。 a m 1 = ，2 = m a 画出校正后系统的波特土，并演算相位裕度时候满足要求？如果不满 足，则需增大 值，从第步，开始重新进行计算。 例６-1.某一单位反馈系统的开环传递函数为 ( 2) 4 ( ) + = s s K G s ，设计一个超 前校正装置，使校正后系统的静态速度误差系数 1 20 − K = s v ,相位裕度 50， 增益裕度 20lg h 不小于 10dB。 解：根据对静态速度误差系数的要求，确定系统的开环增益 K。 2 20 ( 2) 4 lim 0 = = + = → K s s K K s s v ， K =10 当 K =10 时，未校正系统的开环频率特性为 2 90 ) 2 1 ( 20 ( 2) 40 ( ) 2 arctg j j G j − − + = + =
②绘制末校正系统的伯特图,如图6-16中的蓝线所示。由该图可知未 校正系统的相位裕度为y=17° 也可计算 lo=6.17y=1796° ③根据相位裕度的要求确定超前校正网络的相位超前角 p=y-n1+E=509-17+5°=38° ④由式6-37)知a I+sin 1+sn38=42 Snqm1-sn38° ⑤超前校正装置在on处的幅值为 l0ga=10g42=62dB,据此,在为校正系统的开环对数幅值为-62B 对应的频率ω=om=9s,这一频率就是校正后系统的截止频率o。 也可计算20g20-20gO-20g -6.2 O=8.93
186 绘制未校正系统的伯特图，如图 6-16 中的蓝线所示。由该图可知未 校正系统的相位裕度为 = 17 *也可计算 1 ) 2 1 ( 20 2 = + = 6.17 = 17.96 根据相位裕度的要求确定超前校正网络的相位超前角 = − + = 50 −17 + 5 = 38 1 由式(6-37)知 4.2 1 sin 38 1 sin 38 1 sin 1 sin = − + = − + = m m a 超前校正装置在 m 处的幅值为 10lg a = 10lg 4.2 = 6.2dB ，据此，在为校正系统的开环对数幅值为− 6.2dB 对应的频率 1 9 − =m = s ，这一频率就是校正后系统的截止频率 c *也可计算 6.2 4 20lg 20 20lg 20lg 1 2 − − + = − = 8.93
10 100 -120F 180 20 40 100 0
187 100 101 102 -60 -40 -20 0 20 40 100 101 102 -180 -160 -140 -120 -100 100 101 102 -60 -40 -20 0 20 40 100 101 102 -200 -150 -100 -50 0 50
图6-16校正后系统框图 ⑥计算超前校正网络的转折频率 a4244,02 9√42=184 +44 G2(s) s+1820231+0.227s 1+0.054s 为了补偿因超前校正网络的引入而造成系统开环增益的衰减,必须使 附加放大器的放大倍数为a=42 校正后系统的框图如图6-17所示,其开环传递函数为
188 100 101 102 -60 -40 -20 0 20 40 100 101 102 -200 -150 -100 -50 0 50 图 6-16 校正后系统框图 计算超前校正网络的转折频率 T a m 1 = 4.4 4.2 9 1 = = = a m ，2 =m a = 9 4.2 =18.4 s s s s G s c 1 0.054 1 0.227 0.238 18.2 4.4 ( ) + + = + + = 为了补偿因超前校正网络的引入而造成系统开环增益的衰减，必须使 附加放大器的放大倍数为 a=4.2 校正后系统的框图如图 6-17 所示，其开环传递函数为
4.2×40s+44) 20(1+0.227s) G2(S)G0(s) (s+182)s(s+2)s(1+0.5s(1+0.0542s) R(S 201+0.227s s(1+0.59)1+0.0542s) 图6-17校正后系统框图 对应的伯特图中红线所示。由该图可见,校正后系统的相位裕度为 y≥50°,增益裕度为20gh=∞dB,均已满足系统设计要求。 基于上述分析,可知串联超前校正有如下特点 ①这种校正主要对未校正系统中频段进行校正使恔正后中频段幅值的 斜率为20dB/dec,且有足够大的相位裕度。 ②超前校正会使系统瞬态响应的速度变快。由例6-1知,校正后系统的 截止频率由未校正前的63增大到9。这表明校正后,系统的频带变宽,瞬 态响应速度变快;但系统抗高频噪声的能力变差。对此,在校正装置设计 时必须注意 ③超前校正一般虽能较有效地改善动态性能但未校正系统的相频特性 在截止频率附近急剧下降时,若用单级超前校正网络去校正,收效不大。 因为校正后系统的截至频率向高频段移动。在新的截至频率处,由于未校
189 (1 0.5 )(1 0.0542 ) 20(1 0.227 ) ( 18.2) ( 2) 4.2 40( 4.4) ( ) ( ) s s s s s s s s G s G s c o + + + = + + + = − R(s) C(s) (1 0.5 )(1 0.0542 ) 2 0(1 0.227 ) s s s s + + + 图 6-17 校正后系统框图 对应的伯特图中红线所示。由该图可见，校正后系统的相位裕度为 50 ，增益裕度为 20lg h = dB ，均已满足系统设计要求。 基于上述分析，可知串联超前校正有如下特点： 这种校正主要对未校正系统中频段进行校正，使校正后中频段幅值的 斜率为-20dB/dec，且有足够大的相位裕度。 超前校正会使系统瞬态响应的速度变快。由例 6-1 知，校正后系统的 截止频率由未校正前的 6.3 增大到 9。这表明校正后，系统的频带变宽，瞬 态响应速度变快；但系统抗高频噪声的能力变差。对此，在校正装置设计 时必须注意。 超前校正一般虽能较有效地改善动态性能，但未校正系统的相频特性 在截止频率附近急剧下降时，若用单级超前校正网络去校正，收效不大。 因为校正后系统的截至频率向高频段移动。在新的截至频率处，由于未校
正系统的相角滞后量过大,因而用单级的超前校正网络难以获得较大的相 位裕度。 6.3,2串联滞后校正(基于频率响应法) 由于滞后校正网络具有低通滤波器的特性,因而当它与系统的不可变 部分串联相连时,会使系统开环频率特性的中频和髙频投增益降低和截止 频率o减小,从而有可能使系统获得足够大的相位裕度,它不影响频率特 性的低频段。由此可见,滞后校正在一定的条件下,也能使系统同时满足 动态和静态的要求 不难看出,滞后校正的不足之处是:校正后系统的截止频率会减小, 瞬态响应的速度要变慢;在截山频率α处,滞后校正网络会产生一定的相 角滞后量。为了使这个滞后角尽可能地小,理论上总希望G()两个转折频 率a,o砒比o越小越好,但考虑物理实现上的可行性,一般取 (025~0.)l为宜 ①在系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的情况下可 考虑采用串联滞后校正。 ②保持原有的已满足要求的动态性能不变,而用以提高系统的开环增
190 正系统的相角滞后量过大，因而用单级的超前校正网络难以获得较大的相 位裕度。 6.3.2 串联滞后校正(基于频率响应法) 由于滞后校正网络具有低通滤波器的特性，因而当它与系统的不可变 部分串联相连时，会使系统开环频率特性的中频和高频段增益降低和截止 频率 c 减小，从而有可能使系统获得足够大的相位裕度，它不影响频率特 性的低频段。由此可见，滞后校正在一定的条件下，也能使系统同时满足 动态和静态的要求。 不难看出，滞后校正的不足之处是：校正后系统的截止频率会减小， 瞬态响应的速度要变慢；在截止频率 c 处，滞后校正网络会产生一定的相 角滞后量。为了使这个滞后角尽可能地小，理论上总希望 G (s) c 两个转折频 率 1 2比c , 越小越好，但考虑物理实现上的可行性，一般取 ( ) c T 0.25 ~ 0.1 1 2 = = 为宜。 在系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的情况下，可 考虑采用串联滞后校正。 保持原有的已满足要求的动态性能不变，而用以提高系统的开环增
益,减小系统的稳态误差。 如果所研究的系统为单位反馈最小相位系统,则应用频率法设计串联 滞后校正网络的步骤如下 ①根据稳态性能要求,确定开环増益K ②利用已确定的开环増益,画岀未校正系统对数频率特性曲线,确定未 校正系统的截止频率a、相位裕度和幅值裕度hdB) ③选择不同的o?,计算或查出不同的y值,在伯特图上绘制(o?)曲线; ⑨根据相位裕度γ"要求,选择校正系统的截止频率σ;考虑到滞后 网络在新的截止频率α处,会产生一定的相角滞后φ(o"),因此,下列等式 成立 y0)+ 指标要求值 可取-6° 根据(6-38舶的计算结果,在y(o)曲线上可査出相应的a值。 ⑥根据下述关系确定滞后网络参数b和T如下 0gb+L(o")=0 =0.1o bT (6-40)
191 益，减小系统的稳态误差。 如果所研究的系统为单位反馈最小相位系统，则应用频率法设计串联 滞后校正网络的步骤如下： 根据稳态性能要求，确定开环增益 K； 利用已确定的开环增益，画出未校正系统对数频率特性曲线，确定未 校正系统的截止频率 c 、相位裕度 和幅值裕度 h(dB) ； 选择不同的 c ，计算或查出不同的 值，在伯特图上绘制 ( ) c 曲线； 根据相位裕度 要求，选择已校正系统的截止频率 c ；考虑到滞后 网络在新的截止频率 c 处，会产生一定的相角滞后 ( ) c c ，因此，下列等式 成立： − = + 6 ( ) ( ) 指标要求值 可取 c c c (6-38) 根据(6-38)的计算结果，在 ( ) c 曲线上可查出相应的 c 值。 根据下述关系确定滞后网络参数 b 和 T 如下： 20lg b + L(c ) = 0 (6-39) c bT = 0.1 1 (6-40)
式(6-39)成立的原因是显然的,因为要保证已校正系统的截止频率为上 一步所选的a值,就必须使带后网络的衰减量20lgb在数值上等于未校正 系统在新截止频率上的对数幅频值L(o"),该值在未校正系统的对数幅频 曲线上可以查出,于是,通过式(6-39可以算出b值。 根据(640),由已确定的b值,可以算出滞后网络的T值。如果求得的 T值过大难以实现,则可将(640)式中的系数0.1适当增大,例如在01~025 范围内选取,而φ(o″)的估计值应在-6°~-14°范围内确定。 ⑥验算已校正系统的相位裕度和幅值裕度。 例6-2.控制系统如图6-18所示。若要求校正后的静态速度误差系数等于 30s-相位裕度不低于40°幅值裕度不小于10dB截止频率不小于2.3rads, 设计串联校正装置。 R(s) K S(0.1s+1)(0.2+1) 图6-18控制系统 解:①首先确定开环增益K K,=lim sG(s)=K=30
192 式(6-39)成立的原因是显然的，因为要保证已校正系统的截止频率为上 一步所选的 c 值，就必须使滞后网络的衰减量 20lgb 在数值上等于未校正 系统在新截止频率 c 上的对数幅频值 ( ) L c ，该值在未校正系统的对数幅频 曲线上可以查出，于是，通过式(6-39)可以算出 b 值。 根据(6-40)，由已确定的 b 值，可以算出滞后网络的 T 值。如果求得的 T 值过大难以实现，则可将(6-40)式中的系数 0.1 适当增大，例如在 0.1~ 0.25 范围内选取，而 ( ) c c 的估计值应在− 6 ~ −14 范围内确定。 验算已校正系统的相位裕度和幅值裕度。 例 6-2. 控制系统如图 6-18 所示。若要求校正后的静态速度误差系数等于 1 30 − s ，相位裕度不低于 40 ，幅值裕度不小于 10dB，截止频率不小于 2.3rad/s， 设计串联校正装置。 − R(s) C(s) s(0.1s +1)(0.2s +1) K 图 6-18 控制系统 解：首先确定开环增益 K lim ( ) 30 0 = = = → K sG s K s v