第5章线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1频率特性及其表示法 幅相曲线对数频率特性曲线 52典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3典型环节的幅相曲线的绘制 54稳定裕度和判据 5.2典型环节对数频率特性曲线的绘制 52.5最小相位系统与非最小相位系统 Minimum phase systems and non-minimum phase systems 在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数,称为最小相位传递 函数;反之,在右半S平面内有极点和(或)零点的传递函数,称为非 最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统, 反之,具有非最小相位传递函数的系统,称为非最小相位系统。 在具有相同幅值特性的系统中,最小相位传递函数(系统)的相角 范围,在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范 围,都大于最小相位传递函数的相角范围。 118
118 第 5 章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis 5.1 频率特性及其表示法 幅相曲线 对数频率特性曲线 5.2 典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.3 典型环节的幅相曲线的绘制 5.4 稳定裕度和判据 5.2 典型环节对数频率特性曲线的绘制 5.2.5 最小相位系统与非最小相位系统 Minimum phase systems and non-minimum phase systems 在右半 s 平面内既无极点也无零点的传递函数，称为最小相位传递 函数；反之，在右半 s 平面内有极点和（或）零点的传递函数，称为非 最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统， 反之，具有非最小相位传递函数的系统，称为非最小相位系统。 在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角 范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范 围，都大于最小相位传递函数的相角范围
对于最小相位系统,其传递函数由单一的幅值曲线唯确定。对于 非最小相位系统则不是这种情况 作为例子,考虑下列两个系统,它们的特性频率分别为 1+JoT I-joT Gi(jo)21+1m7,G2()-1+107,0<T<T1 Jo 1 图5-18最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图 如前所述,对于最小相位系统,幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应 关系。这意味着,如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上 给定,则相角曲线被唯一确定,反之亦然。这个结论对于非最小相位系统 不成立
119 对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于 非最小相位系统则不是这种情况。 作为例子，考虑下列两个系统，它们的特性频率分别为： 1 1 1 1 ( ) j T j T G j + + = ， 1 1 2 , 0 1 1 ( ) T T j T j T G j + − = jω σ T 1 − 1 1 T − 1 1 T − jω σ T 1 图 5-18 最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图 如前所述，对于最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应 关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上 给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然。这个结论对于非最小相位系统 不成立
ode Diagram 050 图5-19G1(s)和G1(s)的相角特性G(o)G2() 100 120 140 160
120 Bode Diagram Frequency (rad/sec) Phase (deg) Magnitude (dB) -20 -15 -10 - 5 0 10 - 2 10 - 1 10 0 10 1 10 2 -180 -135 -90 -45 0 图 5-19 ( ) ( ) 1 1 G s 和G s 的相角特性 ( ) G1 j ( ) G2 j 10-2 10-1 100 101 102 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0
图5-19G1(S)和G1(S)的相角特性 对于最小相位系统,相角在O=时变为-90°(m-m)dB/dec,n为 极点数,m为零点数。两个系统的对数幅值曲线在O=∞时的斜率都等 于-20(n-m)dB/dec。因此,为了确定系统是不是最小相位的既需要检 查对数幅值曲线高频渐近线的斜率,又需检查在O三∞时相角。如果当 O=0时对数幅值曲线的斜率为-20(n-m)dB/dec,并且相角等于 90°(n-m)dB/dec,那么该系统就是最小相位系统。 526传递延迟( Transport lag)See p190 传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施,高频时将造成严 重的相位滞后。这类传递延迟通常存在于热力、液压和气动系统中。 延迟环节的输入和输出的时域表达式为 c(t=l(t-Ir(t-T) G(s)= C(s) R(S) = e g(jo)=e or 其幅值总是等于1。这是因为 G(o)=cosar-jsin ar=1 因此,传递延迟的对数幅值等于0分贝。传递延迟的相角为
121 图 5-19 ( ) ( ) 1 1 G s 和G s 的相角特性 对于最小相位系统，相角在 = 时变为− 90(n − m)dB / dec ，n 为 极点数，m 为零点数。两个系统的对数幅值曲线在 = 时的斜率都等 于 − 20(n − m)dB / dec 。因此，为了确定系统是不是最小相位的既需要检 查对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在 = 时相角。如果当 = 时对数幅值曲线的斜率为− 20(n − m)dB / dec ，并且相角等于 − 90(n − m)dB / dec ，那么该系统就是最小相位系统。 5.2.6 传递延迟(Transport lag)See p190 传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施，高频时将造成严 重的相位滞后。这类传递延迟通常存在于热力、液压和气动系统中。 延迟环节的输入和输出的时域表达式为 c(t) = 1(t − )r(t − ) s e R s C s G s − = = ( ) ( ) ( ) j G j e − ( ) = 其幅值总是等于 1。这是因为 G( j) = cos − jsin =1 因此，传递延迟的对数幅值等于 0 分贝。传递延迟的相角为
p(o=-at(rad)=-573or(deg 100 10 图5-20传递延迟的相角特性曲线O 527系统类型与对数幅值之间的关系 考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述 了0型、1型和2型系统的低频特性。对于给定的系统,只有静态误差常 数是有限值,才有意义。当O趋近于零时,回路增益越高,有限的静态误 差常值就越大。 系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此,对于给定的输
122 () = − (rad) = −57.3 (deg) 10-1 100 101 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 图 5-20 传递延迟的相角特性曲线 5.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系 考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述 了 0 型、1 型和 2 型系统的低频特性。对于给定的系统，只有静态误差常 数是有限值，才有意义。当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误 差常值就越大。 系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输
入信号,控制系统是否存在稳态误差,以及稳态误差的大小,都可以从观 察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。 ①静态位置误差常数的确定 R(s E(s) c(s) G(S) 图5-21单位反馈控制系统 考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。假设系统的开环传递函数为 K(7s+1)T2s+1)…(Tms+1) S(Tis+1)(72s+1)…(Tn-vs+1) Go K(1jo+1)(2+1)…(mJ+1) (o)(7ijo+1)(72J0+1)…(Tn-jo+1) 图5-22为一个0型系统对数幅值曲线的例子。 在这个系统中,G()在低频段等于Kp,即 lim G(jo=K 由此得知,低频渐近线是条幅值为20lgK,分贝的水平线 15 G(s) (S+1)(0.2s+1)
123 入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观 察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。 静态位置误差常数的确定 + - R(s) E(s) C(s) G(s) 图 5-21 单位反馈控制系统 考虑图 5-21 所示的单位反馈控制系统。假设系统的开环传递函数为 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2 + + + + + + = − s T s T s T s K T s T s T s G s n m ( ) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( ) 1 2 1 2 + + + + + + = − j T j T j T j K T j T j T j G j n m 图 5-22 为一个 0 型系统对数幅值曲线的例子。 在这个系统中， G( j) 在低频段等于 K p ，即 Kp G j = → lim ( ) 0 由此得知，低频渐近线是一条幅值为 K p 20log 分贝的水平线。 ( 1)(0.2 1) 15 ( ) + + = s s G s
cfl dB=23.52182518111362 cf2dB=9.54242509439325 cf3dB=-30.45757490560675 20logK 20dB/dec -40db/dec 10 图5-22某一0型系统对数幅值曲线 ②静态速度误差常数的确定 考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。图5-23为一个1型系统对数幅值 曲线的例子。斜率为-20B/dec的起始线段/或其延长线,与O=1的
124 cfl_dB = 23.52182518111362 cf2_dB = 9.54242509439325 cf3_dB = -30.45757490560675 10-1 100 101 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 20logK -20dB/dec -40dB/dec 图 5-22 某一 0 型系统对数幅值曲线 静态速度误差常数的确定 考虑图 5-21 所示的单位反馈控制系统。图 5-23 为一个 1 型系统对数幅值 曲线的例子。斜率为−20dB/ dec 的起始线段/或其延长线，与 =1 的
直线的交点具有的幅值为20logK,。这可证明如下 在1型系统中G( 0<< 因此20h人f 200gK,斜率为-20dB/dlec的起始线段/或其 JO 延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于Ky。假设交点上的频率为 K O1,于是1 即 作为一个例子,考虑具有单位反馈的1型系统,其开环传递函数为 K S(7S+1) 如果定义转角频率为O2,假设斜率为-40dB/dec的直线与/或其延长线 K 与0分贝线的交点为3 K=K 由此得到O2=O2 即 在伯德图上,logO1-logo3=logo3-logo2
125 直线的交点具有的幅值为 Kv 20log 。这可证明如下： 在 1 型系统中 ( ) = , 1 j K G j v 因此 v v K j K 20log 20log 1 1 = = 斜率为 −20dB/ dec 的起始线段/或其 延长线与 0 分贝线的交点的频率在数值上等于 Kv 。假设交点上的频率为 1 ，于是 1 1 = j Kv 即 Kv =1 作为一个例子，考虑具有单位反馈的 1 型系统，其开环传递函数为： ( 1) ( ) + = s Ts K G s 如果定义转角频率为 2 ，假设斜率为−40dB/ dec 的直线与/或其延长线 与 0 分贝线的交点为 3 ， T 1 2 = ， T K = 2 3 ，1 = Kv = K 由此得到 2 1 2 =3 即 2 3 3 1 = 在伯德图上， 1 3 3 2 log −log = log −log
因此,C)3点恰好是O2点与O1点之间的中点。 20dB/dec 440dB/des 10 图5-23某个1型系统对数幅值曲线 cf2dB=602059991327962 cf1dB=2602059991327962 cf3dB=-3397940008672038 ③静态加速度误差常数的确定 考虑图5-21所示的单位反馈控制系统。图5-24为一个2型系统对数幅值 曲线的例子。斜率为-40B/dec的起始线段/或其延长线,与O=1的
126 因此， 3 点恰好是 2 点与 1 点之间的中点。 100 101 102 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 -20dB/dec -40dB/dec 图 5-23 某个 1 型系统对数幅值曲线 cf2_dB = 6.02059991327962 cf1_dB = 26.02059991327962 cf3_dB = -33.97940008672038 静态加速度误差常数的确定 考虑图 5-21 所示的单位反馈控制系统。图 5-24 为一个 2 型系统对数幅值 曲线的例子。斜率为−40dB/ dec 的起始线段/或其延长线，与 =1 的
直线的交点具有的幅值为20 nlog k。 由于低频时G(o)=ka 0<< 所以20b。Ka 20 log K 斜率为-40dB/dec的起始线段/或其延长线与0分贝线的交点的频率为 在数值上等于Na的平方根。证明如下 K 20k =20 logI=0 于是Oa B 40dB/dec -60dB/dec 20dB/dec O(对数坐标) 图5-242型系统对数幅值曲线 5.3极坐标图( Polar plot),幅相频率特性曲线,奈奎斯特曲线 频幸特性是复数。G(O)可用幅值((O)和相角()的向量表
127 直线的交点具有的幅值为 Ka 20log 。 由于低频时 , 1 ( ) ( ) 2 = j K G j a 所以 a a K j K 20log ( ) 20log 1 2 = = 斜率为 −40dB/ dec 的起始线段/或其延长线与 0 分贝线的交点的频率为 a 在数值上等于 Ka 的平方根。证明如下： 20log1 0 ( ) 20log 2 = = a a j K 于是 a = Ka ( 对数坐标 ) dB −40dB/dec −60dB/dec −20dB/dec =1 0 a = Ka 图 5-24 2 型系统对数幅值曲线 5.3 极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线 频率特性是复数。 G( j) 可用幅值 G( j) 和相角 () 的向量表