目录 第一章三维欧氏空间中的张量………… s1-1引言—什么是张量 §1-2矢量代数…………………………………………4 §1-3坐标变换 §1-4三维欧氏空间中张量的定义 §1-5三维欧氏空间中的张量运算 S1-6张量场 …………40 第二章仿射空间与伪欧氏空间中的张量 46 §2-1引言—改变空间性质的必要性 46 §2-2仿射空间中的张量…… 48 §2-3伪欧氏空间中的张量………… S2-4复欧氏室间………… 第三章曲/坐标…… ·······.·“·.·· §3-1部标架 §3-2 坐标中的张量… §3-3 移动与联络 w4….…… §3-4”b变导数 第四章;黎面中的张量……灬……………105 §4-1黎曼空间与防时联络空间→……… 105 §4-2平行移动对路径的依赖性曲率张量……………113 s4-3黎曼空间的测地线…… 122 §4-4广义相对性原理 ……………I28
第一章三维欧氏空间中的张量 §1-1引言什么是张量 在物理学中常常会遇到一些不能单用一个数字表示的 量。最简单的例子是力F,速度U,加速度,电场强度E 电极化强度P等等。这些量除了大小以外还有方向,通常称 它们为矢量。许多物理规律用公式表示出来都是矢量之间的 等式。例如,牛顿第二定律 F=m得 11-1) 电介质的极化定律 P=ae (1-1-2) 等等。式中m和a分别是粒子的质量和介质的电极化率。 我们来较仔细地讨论后一个例子。在电介属中加上电场 E,使得介质的分子极化。在未加电场时,分子的正电荷中 心与负电荷中心重合,如图1-1(a)外电场E将分子的正、负 电荷中心拉开一个距离,如图1-1(6)。用±Q表示分子中 正、负电荷的电量,则有电偶极矩 = 9r 单位体积中的电偶极矩称为介质的电极化强度P 式(1-1-2)表示介质的电极化强度与加在介质上的电场 强度E成正比。比例系数a表征了所讨论的介质的性质,称 为虐极化率
但是,式(1-1-2)只适用 于各向同性介质。某些介质在 不同方向有不同性质。这种不 同方向有不同性质的介质称为 (a)加电场前(b)加电场后各向异性介质。对于这种介 的图,图表乔正华质,在不同方向加同样强度的 心,空心圆圈表示负电荷中心 电场,所产生的电极化强度的 图1-1 大小不同,而且其方向也不一 定和所加的电场方向一致。这种介质的电极化规律不能简单 地用(1-1-2)式表示,它们的“电极化率”不是一个简单的 数,这是物理量不能用一个单一的数字表示的又一例子。 所有这些不能用一个单一的数字表示的物理量统称为张 量注)。张量以它的阶数(又称为秩数)来分类,矢量是一阶 张量的例子,各向异性介质中的电极化率是二阶张量的例 通常定义矢量A为“既有大小,又有方向的量”,这种 定义不便于推广,下面我们采用A的另一定义,即矢量A为 “具有三个分量A,A,A的量”,为了便于书写,将x y,三个方向分别用1,2,3表示。于是矢量A可以用三个数表 示为(A1,A2,A3),或简写为A.(i=1,2,3)。由于它有一 个下标,所以称为一阶张量 各向异性介质中的电极化率是这样一个物理量,它将一 个矢量P和另一个矢量E建立对应关系,而P并不和E简单成 正比,其方向也不一定和E平行。但是,当电场E不太强 注〕这不是张量的精确定义,张量的定义将在§1-4中给出。另外,还应 指出,广义地说只用一个数就能表示的量也是一种张量即零阶验篮
时,P和E的对应关系仍然是线性关系注),它可以用分量表 示为 E P2=a2:E1+a22E2+a23E (1-1-3) E E2+a33E 或缩写为 P,=∑a,E (i=1,2,3).(1-1-4) 由此可见,各向异性介质的电极化率可以用九个数a,(i,j =1,2,3)表示,它有两个下标,,所以称为二阶张量 但是,矢量分量的值是与坐标系的选择有关的。当我们 将坐标系(Oxy2z)转一个角度成为(Ox’y′)时,矢量A的 升量也由(A:,A,,A2)变为(A:,A,,A:)在不同的 坐标系中,同一灰量的分量有不同的值.我们知道,矢量(例如 力F,加速度,电场强度E,电极化强度F)是客观的物理 量,它们应该与坐标系的人为选择无关;然而,为了定量地 表示它们,又必须选定一个坐标系给出它们的分量。这是一 个矛盾。解决这一矛盾的方法是规定矢量分量在坐标变换时 的变换规律。知道了这一变换规律,只要在一个坐标系中给出 某一矢量的分量,也就等于在任意坐标系中都给出了它的分 量。这样给出的矢量就是一个与坐标系无关的客观物理量 同样的讨论也适用于二阶和更高阶的张量,一个n阶张 量的完整定义包括:在一个坐标系中给出3个数,和规定 〔注可以认为P是E的解析函数,满足条件:当E=0时,P=0.如界E 不太强,可以将这一函数展开成泰勒级数,只取不为零的第一项。这就是
这些数在坐标变换时的变换规律两部分。 我们看到,张量分量在坐标变换时的变换规律是张量定 义中的一个不可缺少的部分。因此,在§1-4中给出张量的 定义和运算之前,先在下两节中复习一下三维空间中的矢量 代数和坐标变换。 §1-2矢量代数 坐标基矢 在这一章中的全部讨论都采用直角坐标系(笛卡尔坐标 系),这种坐标系的三个坐标轴方向的单位矢量用,(i=1, 2,3)表示。可以区分下面两种情况:如果由e1按右手螺旋 旋转到e2可以得到e3,如图1-2(a),则称为右手坐标系;如 果由e1按左手螺旋旋转到e2得到,如图1-2(b),就称为左 手坐标系。 这一节只讨论右手坐标系。 三个单位矢量e〔i=1,2,3)称为坐标基矢。由于它们相 互垂直,所以,不同e的点积为零;而由于它们是单位矢量 所以,同一个e的自乘(点积)等于1。亦即 (a)右手坐标系 (b)左手坐标系 图1-2两类坐标系
0当与〕 ;c氵 定义二阶对称6符号为 0当i与j 1-2-2) 则可以将式(1-2-1)写为 1-2-3) 由定义式(1-2-2)可知,,对它的两个下标对称: 6;= J (12-4) 我们知道,矢量的乘积除点积外还有又积。两个矢量的 又积是一个垂直于这两个矢量所成平面的矢量,而其大小等 于这两矢量的大小之积再乘上两个矢量夹角的正弦。由此立 即可知,一个矢量和自身的又积为零。因此 c;=0,当i=了 另一方面,由于三个矢量c,相互垂直,且长度都等于1,所 以有 Ei xe2=exeI=e ca×2=c es×e 式(1-2-5)和式(1-2-6)可以借助于三阶完全反对称E符 号合写成一个式子。三阶完全反对称符号e,有三个下标, 每个下标都可以取1,2,3三个值。按定义,ε,;对它的三个 下标中任意两个的交换都反对称: 由此立即可知,ε,+的33=27个分量中,凡是有两个下标取
相同值的分量都是零;不为零的分量只是ij,k各不相等,分 别取1,2,3三个值的六个分量。又由于有(1-2-7)式,因而这六 个分量中只有一个是独立的。取这一个独立分量为 e 1 就完全确定了e,式(1-2-7)和式(1-2-8)合起来是e;的 定义。它也可以写为 e j或j=k或k (1-2-9 E123=E231=8312 e821 上式第二行可以表述为:e,当,,h为1,2,3的偶排列时等 于+1当i,,为1,2,3的奇排列时等于-1 利用e,可以将式(1-2-5)和式(1-2-6)合写为 (1-2-10) 实际上,由e,的性质,当=j时,式(1-2-10)的右边为 零,这就是(1-2-5),当i中j时,式(1-2-10)的右边和式的 三项中只有ki,h+j的一项不为零,而由式(12-9)就得到 (1-2-6) 式(1-2-3)和式(1-2-10)表达了坐标基矢e,(i=1,2,3) 的基本性质,它们是以下讨论矢量代数的出发点 二、任意矢量的点积和叉积 任意矢量和b可以用坐标基矢展开为 4=0,6,+0202+0363=2a, 2-11)
b=b:e1+b2e2+b。=∑be, a.(i=1,2,3)和b,(=1,2,3)分别是矢量a和b的分量。 在深入讨论之前,先对下标作一些说明。凡是进行了作 和的下标称为哑标,如式(1-2-11)中的和式(1-2-10)中的 k。哑标实际上并不取任何特定的值,而是取遍1,2,3三个 值。在进行作和以后,哑标不再存在。例如式(1-2-10)的右 边k是哑标,左边就不再有。反之,不作和的下标称为自由 标。任何等式左、右两边的自由标必须正好对应,如式(1 2-10)中的i和j 由于哑标只是对下标1,2,3作和的代号,所以它可以换 用任意符号。例如式(1-2-10)右边的k换成,或m或任何其 他符号均可,而对自由标就不能任意改动(如果要改动自由 标,必须对一个等式的所有各项中出现的这个指标同时改 动) 一条重要的规则是:当两个和式相乘时,哑标不能重 复。如果这两个和式原来采用的哑标相同,则在将它们相乘 时,应该将其中一个哑标换成其他符号。 % 现在来考虑任意矢量和b的点积和又积。为了避免哑标 重复,先将式(1-2-11)中的第二式的下标改为j。如是有 b=∑∑a,b,e axb= a 1 将式(1-2-3)、式(1-2-10)代入,得到 7
(1-2-12) axb=∑∑∑e,a,b,e (1-2-13) 根据式(1-2-7),ε,=e.代入式(1-2-13)并改换哑标符 号,可以将式(1-2-13)改写为 axb=∑∑∑ee,a,b (1-2-13) j·】·】i1 b是一个矢量,式(1-2-13)式(1-2-13)是它按坐标基矢 展开的展开式,因此,它的分量是 (axb),=∑∑e,1ab (1-2-14) 下面来将所得到的点积和叉积的公式化成熟悉的形式 式(1-2-12)右边的作和式中含有6;;因子。由于,的性 质(1-2-2),在对j作和时,不为零的只有j=一项,因而 有 b,,,=b 这可以总结成一条有用的规则 如果在一个式子的某一项中,含有因子,并对j求 和,就可以去掉这个8,,和作和符号,并将这一项里 的其他因子中的下标广都换成 将式(1-2-15)代入式(1-2-12)得到 ab=∑a,b,=a1b1+a2b2+asb。.(1-2-16)
再来看式(1-2-14).当i=1时,由e符号的性质(1-2-9), 右边的和必须等于2和3:而且当j=2,k=3时有正号,当 j=3,=2时有负号.当i=2,3时也有类似情况。于是有 (a×b)1=a2b8-a362 (1-2-17) axb)。=a1b2-a2b 式(1-2-16)和式(1-2-17)就是通常点积和叉积的公式 在进一步考虑三个矢量的连乘积之前,先来证明符号 和符号的儿个有用的公式。 三、δ符号和E符号的几个公式 首先来看用符号写出三阶行列式展开式的公式 G a2 a 6, b2 b ab2:c (1-2-18) 证考虑阶行列式 66. 6 它的展开式的每…项都是三个因子的乘积—从每一行都取 个而且只取一个因子,从每一列也取一个而且只取一个因 子。因此,展式的-般项可以写成 ±a,b;C (i午j+k) 其中取正号还是取负号,要视j是偶排列还是奇排列而 定。这样,利用E号的性质(1-2-9),就可以写出(1-2- 18 下面再宋明个将e符号和♂符号相联系的公式: