浙江大学：《量子力学》习题二

2003级研究生入学考试:量子力学试题 Iarch 11. 2003 第一题(35分) 1.如果业1和亚2是某一体系的含时薛定谔方程的两个解 ).它们的线性迭加 y=ay1+by (a,b是常数),是否满足同样的含时薛定谔方程? 2).若令=业1ψ2,你认为ψ是否满足同样的含时薛定谔方 2.质量相同的两个粒子分别在宽度不同的两个一维无限深势阱 中,试问窄势阱中粒子的基态能量低,还是宽势阱中的基态 能量低? 3.1).你是否认识这三个矩阵 01 0 10 10 在量子力学中他们称为什么? 2).大家知道,[,=请为量子力学中最基本的对易关系 (这里和分别是位置算符和动量算符)你是否记得角动 量Lx,L,L2之间的对易关系?请写出来! 3)请算一下[[Lx,L引,D+[Ly,L2],L]+[[L2,L,L=?

2003?ïÄ)\ÆÁµþfåÆÁK March 11, 2003 1K£35©¤ 1. XJΨ1ÚΨ2´,NX¹žÅ½™§ü‡) 1). §‚‚5S\ Ψ = aΨ1 + bΨ2, (a, b ´~ê)§´Ä÷vÓ¹žÅ½™§º 2). e-Ψ0 = Ψ1Ψ2§\@Ψ0´Ä÷vÓ¹žÅ½™ §º 2. ŸþƒÓü‡âf©O3°ÝØÓü‡‘Á³² ¥§Á¯Ä³²¥âfÄUþ$§„´°³²¥Ä Uþ$º 3. 1). \´Ä@£ùn‡Ý   0 1 1 0     0 −i i 0     1 0 0 −1   3þfåÆ¥¦‚¡Ÿoº 2). Œ[§[ˆx, pˆ] = ih¯ þfåÆ¥Äé´'X £ùpxˆÚpˆ©O´ ŽÎÚÄþŽÎ¤\´ÄPÄ þLˆ x, Lˆ y, Lˆ zƒmé´'XºžÑ5! 3). žŽe[ [Lˆ x, Lˆ y], Lˆ z] + [ [Lˆ y, Lˆ z], Lˆ x] + [ [Lˆ z, Lˆ x], Lˆ y] =? 1

第二题(20分) 有一个双势阱 x0,试写出各区域内波函数的合理形式以及连接各区域 的边界条件(不必具体求解) 第三题(25分) 处在均匀电场中的二维带电谐振子的哈密顿量为 、1(n2++2mu2(x2+y)+eEx (注:其中电场强度E是常数,c为基本电荷) 1.求出其能级 2.电场E的大小会产生什么影响? 第四题(20分) 如果把原子实看作由一个点核和价电子均匀分布在半径为ao的球 内所组成,那么其散射势可表示为 Ze2 0.F,r<a0 其中R=2,试用玻恩近似求微分散射截面

1K£20©¤ k‡V³² V0 =    ∞ x 0§Áш«SżêÜn/ª±9눫 >.^‡£Ø7äN¦)¤ 1nK£25©¤ ?3þ!>|¥‘‘>fMîþ Hˆ = 1 2m (p 2 x + p 2 y ) + 1 2 mω2 (x 2 + y 2 ) + eEx. (5µÙ¥>|rÝE´~ê§eÄ>Ö) 1. ¦ÑÙU?" 2. >|EŒ¬)ŸoKº 1oK£20©¤ XJrf¢wŠd‡:ØÚd>fþ!©Ù3Œ»a0¥ S¤|¤§@oÙѳŒL« V (r) =    Ze2 r − r R , r a0. Ù¥R = a 2 0 Ze2 , Á^ÀCq¦‡©Ñ¡"

第五题(22分) 考虑有二重内部自由度的粒子,其简并基态4,B)对应于同一能 量E,即 H04)=E|A HolB)=EolB 试求相互作用 H=(A)(4|+|B)(B)+(4)B|+|B)(41) 引起的能量修正。 (提示:(4|B)=0,HA=(4HA),HAB=(4HB)…) 第六题(28分) H=6(P2+p2)+mw2(x2+y2)+JS1 S2, <hu S1,S2表示粒子1和粒子2的自旋算符(提醒:要考虑全同性原理 不必用微扰论) 1.求由上述哈密顿量描写的自旋为1/2粒子系统的基态能量和基 态波函数 2.求由上述哈密顿量描写的自旋为1粒子系统的基态能量和基态 波函数

1ÊK£22©¤ Äk­SÜgdÝâf§Ù{¿Ä|Ai, |Bi éAuÓU þE0§= H0|Ai = E0|Ai H0|Bi = E0|Bi Á¦ƒpŠ^ H 0 = a 2 (|AihA| + |BihB|) + b 2 (|AihB| + |BihA|) ÚåUþ?" £J«µhA|Bi = 0, H0 AA = hA|H0 |Ai, H0 AB = hA|H0 |Bi · · ·) 18K£28©¤ Hˆ = 1 2m (p 2 x + p 2 y ) + 1 2 mω2 (x 2 + y 2 ) + J −→S1 · −→S2, J ¿ hω¯ −→S1, −→S2L«âf1Úâf2g^ŽÎ£J2µ‡ÄÓ5n§ Ø7^‡6ؤ 1. ¦dþãMîþ£g^1/2âfXÚÄUþÚÄ żê" 2. ¦dþãMîþ£g^1âfXÚÄUþÚÄ żê"