第二章人工智能的数学基础 ·本章主要介绍有关逻辑、概率论、模糊理论方 面的知识 ·逻辑 经典命题逻辑和一阶谓词逻辑：二值逻辑 一 除经典逻辑外的那些逻辑 ·三值逻辑 ·多值逻辑 ·模糊逻辑 与经典平行 ·携态逻辑 ·时态逻辑 经典扩充（语言、定理）
第二章 人工智能的数学基础 • 本章主要介绍有关逻辑、概率论、模糊理论方 面的知识 • 逻辑 – 经典命题逻辑和一阶谓词逻辑：二值逻辑 – 除经典逻辑外的那些逻辑 • 三值逻辑 • 多值逻辑 •模糊逻辑 与经典平行 •模态逻辑 •时态逻辑 经典扩充（语言、定理）
§2.1命题逻辑与谓词逻辑 调词逻辑是在命题逻辑基础上发展起来的， 命题逻辑是调词逻辑的一种特殊形式。 1命题：是具有真假意义的语句。代表人们进 行思维时的一种判断，或肯定（真T),或 否定（假F),只有两种情况。 例： 永真 北京是中华人民共和国的首都 有条件1+1=10是在二进制条件下成立 ·命题通常用大写字母表示 ·命题的缺陷是无法表达结构、逻辑关系
§ 2.1 命题逻辑与谓词逻辑 谓词逻辑是在命题逻辑基础上发展起来的， 命题逻辑是谓词逻辑的一种特殊形式。 1 命题：是具有真假意义的语句。代表人们进 行思维时的一种判断，或肯定（真T），或 否定(假F) ，只有两种情况。 例： 永真 北京是中华人民共和国的首都 有条件 1+1=10 是在二进制条件下成立 • 命题通常用大写字母表示 • 命题的缺陷是无法表达结构、逻辑关系
2调词：一个谓词可分为谓词名+个体两部 分。调词名用于刻画个体的性质、状态或个 体间的关系，个体表示某个独立存在的事物 或某个抽象的概念。 ·谓词的一般形式：P(X1,x2,,n） 一调词名用大写字母 一个体用小写字母，可为常量、变元、函数 ·调词中包含的个体数目称为谓词的元数 P(x) 一元谓词 P(x,y） 二元谓词 P(X1,x2,,x) n元谓词
2 谓词：一个谓词可分为 谓词名+个体 两部 分。谓词名用于刻画个体的性质、状态或个 体间的关系，个体表示某个独立存在的事物 或某个抽象的概念。 • 谓词的一般形式：P( x1,x2,…,xn) –谓词名用大写字母 –个体用小写字母,可为常量、变元、函数 • 谓词中包含的个体数目称为谓词的元数 P(x) 一元谓词 P(x,y) 二元谓词 P(x1,x2,…,xn) n元谓词
在P(x1,x2,,xn)中，若x1(1=1,..,n)都是个 体常量、变元、函数，称他为一阶调词。如 果x:本身又是一个一阶调词，称为二阶谓词 个体变元的取值范围称为个体域（有限，无限） 个体常量、个体变元、函数统称为《项” 例： 老张是教师 Teacher(zhang) 谓词名 个体 5>3 Greater (5,3) 调词名 个体 小王的父亲是教师Theacher(Father(wang) 函数
• 在P(x1,x2,…,xn)中，若xi(i=1,..,n)都是个 体常量、变元、函数，称他为一阶谓词。如 果xi本身又是一个一阶谓词，称为二阶谓词 • 个体变元的取值范围称为个体域(有限,无限) • 个体常量、个体变元、函数统称为“项” 例： 老张是教师 Teacher(zhang) 谓词名 个体 5 > 3 Greater (5，3) 谓词名 个体 小王的父亲是教师Theacher(Father(wang)) 函数
3谓词公式 (1)连结词 否定、非，P为真，一P为假 人：合取，与 V:析取，或 条件，蕴含P→Q,如果P则Q 与 双条件P占QP当且仅当Q P Q P PvQ PAQ P→Q P与Q T F T T T T HH F F T F F T F F T F F T T
3 谓词公式 (1)连结词 ：否定、 非，P为真， P为假 ：合取，与 ：析取，或 ：条件，蕴含PQ，如果 P 则 Q : 双条件 PQ P当且仅当Q P Q P PQ PQ PQ PQ T T F T T T T T F F T F F F F T T T F T F F F T F F T T
(2)量词 ·全称量词(x):对个体域中所有（任一个) 个体x ·存在量（们x):个体域中存在个体x 例 P(x)表示x是正数 F(x,y)表示x与y是朋支 (Vx)P(x)表示个体域中所有个体x都是正数 (Vx)(臼y)F(x,y)表示个体域中任何一个x, 都存在个体y,x与y是朋支
(2)量词 • 全称量词(x):对个体域中所有(任一个) 个体x • 存在量(x):个体域中存在个体x 例 P(x)表示x是正数 F(x,y)表示x与y是朋友 (x)P(x)表示个体域中所有个体x都是正数 (x)(y)F(x,y)表示个体域中任何一个x， 都存在个体y，x与y是朋友
(3)调词公式 ①单个谓词是合式公式，称为原子调词公式 ②若A是合式公式，则一A也是合式公式 ③若A、B都是合式公式，则AB,AVB,A→B,AB 也都是合式公式 ④若A是合式公式，X是任意个体变元，则(x)A和 (白x)A也都是合式公式 ⑤在合式公式中，连词的优先级别是、人、V、→、 今 ·辖域内与量词中同名的变元称为约束变元，其他称为自由变 元(3x)(P(x,y)→Q(xy)VR(x,y) 量词 辖域 x,y自由变元 X约束变元
(3)谓词公式 ①单个谓词是合式公式，称为原子谓词公式 ②若A是合式公式，则A也是合式公式 ③若A、B都是合式公式，则AB，AB，AB， AB 也都是合式公式 ④若A是合式公式，x是任意个体变元，则(x)A和 (x)A也都是合式公式 ⑤在合式公式中，连词的优先级别是、、、 、 • 辖域内与量词中同名的变元称为约束变元，其他称为自由变 元(x)(P(x,y)Q(x,y))R(x,y) 量词 辖域 x,y自由变元 x约束变元
(4)谓词公式的解释：在命题逻辑中，对命题公 式中各个命题变元的一次真值指派称为命 题公式的一个解释。 定义：设D为谓词公式P的个体域，若对P中 个体常量，函数和谓词按如下规定赋值 ①为每个个体常量指派D中的一个元素 ②为每个n元函数指派一个从Dn到D的映射， 其中Dn={(x1,x2,,xn)/x1,x2,.x∈D} ③为每个n元谓词指派一个从D到F,T}的映 射，则称这些指派为公式P到D上的一个解 释
(4)谓词公式的解释：在命题逻辑中，对命题公 式中各个命题变元的一次真值指派称为命 题公式的一个解释。 • 定义：设D为谓词公式P的个体域，若对P中 个体常量，函数和谓词按如下规定赋值 ①为每个个体常量指派D中的一个元素 ②为每个n元函数指派一个从D n 到D的映射， 其中D n ={(x1,x2,…,xn)/x1,x2,..xnD} ③为每个n元谓词指派一个从D n到{F,T}的映 射，则称这些指派为公式P到D上的一个解 释
例：设个体域D={1,2} 求公式A=(Vx)(臼x)P(区，y)在D上的解释，并 指出在每一种解释下公式A的真值。 设1：P(1,1)=T,P(1,2)=F,P(2,1)=T,P(2,2)=F ‘x=1时，y=1,P(x,y)=T x=2时，y=1,P(x,y)=T '.对于D中的所有x,都有y=1,使P(x,y)=T '.公式A的真值为T 设2：P(1,1)=T,P(1,2)=T,P(2,1)=F,P(2,2)=F 对D中所有x(x=1,x=2),不存在一个y使公式A 的真值为T
例：设个体域D={1,2} 求公式A=(x)(x)P(x,y)在D上的解释,并 指出在每一种解释下公式A的真值。 设1:P(1,1)=T,P(1,2)=F,P(2,1)=T,P(2,2)=F ∵x=1时 , y=1, P(x,y)=T x=2时 , y=1, P(x,y)=T ∴对于D中的所有x,都有y=1,使P(x,y)=T ∴公式A的真值为T 设2:P(1,1)=T,P(1,2)=T,P(2,1)=F,P(2,2)=F ∵对D中所有x(x=1,x=2),不存在一个y使公式A 的真值为T
(⑤)谓词公式的永真性，可满足性，不可满足性 ● 定义1：如果调词公式P对个体域D上的任何一 个解释都取得真值T,则称P在D上是永真的； 如果P在每个非空个体域上均永真，则称P永 真0 ●」 定义2：对于调词公式P,如果至少存在一个 解释使得公式P在此解释下的真值为T,则称 公式P是可以满足的。可满足性又称相容性 ● 定义3：如果谓词公式P对于个体域D上的任何 一个解释都取得真值F,则称P在D上是永假 的；如果P在每个非空个体域上均永假，则 称P永假。谓词公式的永假性称为不可满足 性
(5)谓词公式的永真性,可满足性,不可满足性 • 定义1:如果谓词公式P对个体域D上的任何一 个解释都取得真值T，则称P在D上是永真的; 如果P在每个非空个体域上均永真，则称P永 真。 • 定义2:对于谓词公式P，如果至少存在一个 解释使得公式P在此解释下的真值为T，则称 公式P是可以满足的。可满足性又称相容性 • 定义3:如果谓词公式P对于个体域D上的任何 一个解释都取得真值F，则称P在D上是永假 的；如果P在每个非空个体域上均永假，则 称P永假。谓词公式的永假性称为不可满足 性